簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

1、第三節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 【知識梳理【知識梳理】 1.1.必會知識教材回扣填一填必會知識教材回扣填一填 (1)(1)命題命題pq,pqpq,pq, , p p的真假判斷的真假判斷: : p pq qpqpqpqpqp p 真真真真_ 真真假假_ 假假真真_ 假假假假_ 真真真真假假 假假真真假假 假假真真真真 假假假假真真 (2)(2)全稱量詞和存在量詞全稱量詞和存在量詞: : 量詞名稱量詞名稱常見量詞常見量詞符號表示符號表示 全稱量詞全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等所有、一切、任意、全部、每一個等_ 存在量詞存在量詞存在一個、至少一個、有些、某些等存在一個、至少一

2、個、有些、某些等_ (3)(3)全稱命題和特稱命題全稱命題和特稱命題: : 名稱名稱 形式形式 全稱命題全稱命題特稱命題特稱命題 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 對對M M中的任意一個中的任意一個x,x, 有有p(xp(x) )成立成立 存在存在M M中的一個中的一個x x0 0, , 使使p(xp(x0 0) )成立成立 簡記簡記_ 否定否定_, ,p(xp(x0 0) )_, ,p(xp(x) ) xM,p(xxM,p(x) ) x x0 0M,p(xM,p(x0 0) ) x x0 0MM xMxM 2.2.必備結(jié)論教材提煉記一記必備結(jié)論教材提煉記一記 含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假判斷: :

3、(1)pq(1)pq中一假則假中一假則假, ,全真才真全真才真. . (2)pq(2)pq中一真則真中一真則真, ,全假才假全假才假. . (3)p(3)p與與p p真假性相反真假性相反 3.3.必用技法核心總結(jié)看一看必用技法核心總結(jié)看一看 (1)(1)常用方法常用方法: :含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷方法含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷方法; ;含一個量詞的命含一個量詞的命 題的否定方法題的否定方法. . (2)(2)數(shù)學思想數(shù)學思想: :轉(zhuǎn)化與化歸轉(zhuǎn)化與化歸. . (3)(3)記憶口訣記憶口訣: : 邏輯聯(lián)詞或且非邏輯聯(lián)詞或且非, ,或命題一真就真或命題一真就真, ,且命題全真才真且命題全真才

4、真, ,非命題真假交換非命題真假交換. . 量詞一般有兩個量詞一般有兩個, ,全稱量詞所有的全稱量詞所有的, ,存在量詞有一個存在量詞有一個, ,若要否定變形式若要否定變形式. . 【小題快練【小題快練】 1.1.思考辨析靜心思考判一判思考辨析靜心思考判一判 (1)(1)命題命題“5656或或52”52”是假命題是假命題.(.() ) (2)(2)若命題若命題pqpq為真為真, ,則則p p為真或為真或q q為真為真.(.() ) (3)“(3)“長方形的對角線相等長方形的對角線相等”是特稱命題是特稱命題.(.() ) (4)(4)命題命題“菱形的對角線相等菱形的對角線相等”的否定是的否定是“

5、菱形的對角線不相等菱形的對角線不相等”.(.( ) ) 【解析【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .命題命題p pq q中中,p,p或或q q有一真則有一真則p pq q為真為真. . (2)(2)錯誤錯誤.pq.pq為真為真, ,則則p,qp,q同時為真同時為真.(3).(3)錯誤錯誤. .命題命題“長方形的對角線長方形的對角線 相等相等”可敘述為可敘述為“任意長方形的對角線相等任意長方形的對角線相等”, ,是全稱命題是全稱命題.(4).(4)錯錯 誤誤.“.“菱形的對角線相等菱形的對角線相等”是全稱命題是全稱命題, ,其否定為其否定為“有的菱形的對角線有的菱形的對角線 不相等不相等”. . 答

6、案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4) 2.2.教材改編鏈接教材練一練教材改編鏈接教材練一練 (1)(1)(選修選修1-1P18T1(3)1-1P18T1(3)改編改編) )若若p:2p:2是偶數(shù)是偶數(shù),q:3,q:3不是素數(shù)不是素數(shù), ,則命題則命題pqpq是是 命題命題,pq,pq是是命題命題.(.(填填“真真”“”“假假”) ) 【解析【解析】命題命題p p是真命題是真命題,q,q是假命題是假命題, ,則則p pq q是真命題是真命題,p,pq q是假命題是假命題. . 答案答案: :真假真假 (2)(2)(選修選修1-1P26T3(2)1-1P26T3(2)改編改

7、編) )命題命題“所有可以被所有可以被5 5整除的整數(shù)整除的整數(shù), ,末位數(shù)字末位數(shù)字 都是都是0”0”的否定為的否定為. . 【解析【解析】全稱命題的否定為特稱命題全稱命題的否定為特稱命題, ,其否定為其否定為“有些可以被有些可以被5 5整除的整除的 整數(shù)整數(shù), ,末位數(shù)字不是末位數(shù)字不是0 0”. . 答案答案: :“有些可以被有些可以被5 5整除的整數(shù)整除的整數(shù), ,末位數(shù)字不是末位數(shù)字不是0 0” 3.3.真題小試感悟考題試一試真題小試感悟考題試一試 (1)(2014(1)(2014湖南高考湖南高考) )設命題設命題p:p:xR,xxR,x2 2+10,+10,則則p p為為( ()

8、) A.A.x x0 0R, R, x x0 02 2+10+10 B.B.x x0 0R, R, x x0 02 2+10+10 C.C.x x0 0R, R, x x0 02 2+10+1y,xy,則則-x-y;-xy,xy,則則x x2 2yy2 2. .在命題在命題 pq;pq;pq;pq;p(p(q);q);( (p)qp)q中中, ,真命題是真命題是( () ) A.A.B.B.C.C.D.D. (2)(2)若命題若命題“pqpq”為假命題為假命題, ,且且“p”p”為假命題為假命題, ,則則( () ) A.“pA.“p或或q”q”為假為假B.qB.q假假 C.qC.q真真D.p

9、D.p假假 【解題提示【解題提示】(1)(1)先判斷命題先判斷命題p,qp,q的真假的真假, ,再根據(jù)真值表求解再根據(jù)真值表求解. . (2)(2)根據(jù)真值表判斷根據(jù)真值表判斷. . 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.由不等式的性質(zhì)由不等式的性質(zhì), ,得得p p真真,q,q假假. .由由“或、且、非或、且、非” 的真假判斷得到的真假判斷得到假假, ,真真, ,真真, ,假假. . (2)(2)選選B.B.由由“p”p”為假為假, ,知知“p”p”為真為真, ,又又“pqpq”為假命題為假命題, ,從而從而q q為為 假命題假命題. . 【規(guī)律方法【規(guī)律方法】 1.1.判斷含有邏輯聯(lián)

10、結(jié)詞命題真假的步驟判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的步驟 (1)(1)先判斷簡單命題先判斷簡單命題p,qp,q的真假的真假. . (2)(2)再根據(jù)真值表判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假再根據(jù)真值表判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假. . 2.2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價關(guān)系含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價關(guān)系 (1)pq(1)pq真真p,qp,q至少一個真至少一個真( (p)(p)(q q) )假假. . (2)pq(2)pq假假p,qp,q均假均假( (p)(p)(q q) )真真. . (3)pq(3)pq真真p,qp,q均真均真( (p)(p)(q q) )假假. . (4)pq(4)pq假假p,qp,q

11、至少一個假至少一個假( (p)(p)(q q) )真真. . (5) (5) p p真真p p假假; ; p p假假p p真真. . 【變式訓練【變式訓練】(2015(2015長春模擬長春模擬) )已知命題已知命題p:p:函數(shù)函數(shù)y=2-ay=2-ax+1 x+1(a0 (a0且且a1)a1) 恒過恒過(1,2)(1,2)點點; ;命題命題q:q:若函數(shù)若函數(shù)f(x-1)f(x-1)為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,則則f(xf(x) )的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x=1x=1對稱對稱, ,則下列命題為真命題的是則下列命題為真命題的是( () ) A.pqA.pqB.pqB.pqC. C. pqpqD.

12、pD.pq q 【解析【解析】選選D.D.函數(shù)函數(shù)y=2-ay=2-ax+1 x+1恒過定點 恒過定點(-1,1),(-1,1),故命題故命題p p是假命題是假命題, , p p 是真命題是真命題; ;函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )的圖象是由函數(shù)的圖象是由函數(shù)f(x-1)f(x-1)的圖象向左平移一個單位的圖象向左平移一個單位 得到的得到的, ,所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=-1x=-1對稱對稱, ,因此因此q q為假命題為假命題, , q q為真命題為真命題, ,從而從而p pq q為真命題為真命題, ,故選故選D.D. 【加固訓練【加固訓練】1.1.命題命題

13、p:p:函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=x)=x3 3-3x-3x在區(qū)間在區(qū)間(-1,1)(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減內(nèi)單調(diào)遞減, ,命命 題題q:q:函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=|sin2x|)=|sin2x|的最小正周期為的最小正周期為,則下列命題為真命題的是則下列命題為真命題的是 ( () ) A.pqA.pqB.(B.(p)qp)q C.pqC.pqD.(D.(p)(p)(q q) ) 【解析【解析】選選C.C.由由f f(x(x)=3x)=3x2 2-30,-30,解得解得-1x1,-1x00B.B.xN,xxN,x2 200 C.C.x x0 0R,R,l ln xn x0 011D.D.x x0

14、0NN* *,sin x,sin x0 0=1=1 2 【解題提示【解題提示】聯(lián)系二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì) 解答解答. . 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選B.B.對于對于B,B,當當x=0 x=0時時,x,x2 2=0,=0,因此因此B B中命題是假命題中命題是假命題. . 命題角度命題角度2:2:全稱命題、特稱命題的否定全稱命題、特稱命題的否定 【典例【典例3 3】(1)(2014(1)(2014福建高考福建高考) )命題命題“xx 0,+0,+) ),x,x3 3+x0”+x0”的否的否 定是定是( () ) A.A.x(-,

15、0 x(-,0) ),x,x3 3+x0+x0 B.B.xx( (-,0-,0) ),x,x3 3+x0+x0 C.C.x x0 0 0,+), 0,+), x x0 03 3+x+x0 000 D.D.x x0 0 0,+), 0,+), x x0 03 3+x+x0 000 (2)(2015(2)(2015武漢模擬武漢模擬) )命題命題“x x0 0 R RQ, Q,x x0 03 3Q”Q”的否定是的否定是( () ) A.A.x x0 0 R RQ, Q,x x0 03 3QQB.B.x x0 0 R RQ, Q,x x0 03 3 Q Q C.C.x x R RQ,x Q,x3 3Q

16、QD.D.x x R RQ,x Q,x3 3 Q Q 【解題提示【解題提示】(1)(1)全稱命題的否定為特稱命題全稱命題的否定為特稱命題. . (2)(2)從改量詞從改量詞, ,否定結(jié)論兩個方面著手否定結(jié)論兩個方面著手. . 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.命題命題“x0,+),xx0,+),x3 3+x0”+x0”的否定是的否定是 “x x0 00,+),0,+),x x0 03 3+x+x0 00”.0”. (2)(2)選選D.“D.“x x0 0 R RQ” Q”的否定為的否定為“xx R RQ”, Q”,根據(jù)條件根據(jù)條件“x x0 03 3Q”Q” 的否定改寫為的否定改寫

17、為“x x3 3 Q”.Q”. 悟悟技法技法 1.1.全稱命題與特稱命題真假的判斷方法全稱命題與特稱命題真假的判斷方法 命題名稱命題名稱真假真假判斷方法一判斷方法一判斷方法二判斷方法二 全稱命題全稱命題 真真所有對象使命題真所有對象使命題真否定為假否定為假 假假存在一個對象使命題假存在一個對象使命題假否定為真否定為真 特稱命題特稱命題 真真存在一個對象使命題真存在一個對象使命題真否定為假否定為假 假假所有對象使命題假所有對象使命題假否定為真否定為真 提醒提醒: :不管是全稱命題不管是全稱命題, ,還是特稱命題還是特稱命題, ,若其真假不容易正面判斷時若其真假不容易正面判斷時, ,可可 先判斷其

18、否定的真假先判斷其否定的真假. . 2.2.全稱命題與特稱命題的否定全稱命題與特稱命題的否定 (1)(1)否定量詞否定量詞: :確定命題所含量詞的類型確定命題所含量詞的類型, ,省去量詞的要結(jié)合命題的含省去量詞的要結(jié)合命題的含 義加上量詞義加上量詞, ,再對量詞進行否定再對量詞進行否定. . (2)(2)否定結(jié)論否定結(jié)論: :對原命題的結(jié)論進行否定對原命題的結(jié)論進行否定. . 通通一類一類 1.(20131.(2013新課標全國卷新課標全國卷)已知命題已知命題p:p:xR,2xR,2x x33x x; ;命題命題q:q:x x0 0R,R, x x0 03 3=1-x=1-x0 02 2, ,

19、則下列命題中為真命題的是則下列命題中為真命題的是( () ) A.pqA.pqB. B. pqpq C.pC.pq qD. D. ppq q 【解析【解析】選選B.B.對于命題對于命題p:p:取取x=-1,x=-1,可知為假命題可知為假命題, , p p為真命題為真命題; ;對于對于 命題命題q:q:令令f(xf(x)=x)=x3 3+x+x2 2-1,-1,則則f(0)f(1)0,f(0)f(1)0+1)0 C.pC.p是真命題是真命題; ;p:p:xR,logxR,log2 2(3(3x x+1)0+1)0 D.pD.p是真命題是真命題; ;p:p:xR,logxR,log2 2(3(3x

20、 x+1)0+1)0 【解析【解析】選選B.B.因為因為3 3x x+11,+11,所以所以loglog2 2(3(3x x+1)0+1)0恒成立恒成立, ,則命題則命題p p是假命題是假命題; ; 又又p:p:x xR,logR,log2 2(3(3x x+1)0,+1)0,故選故選B.B. 考點考點3 3根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍 【典例【典例4 4】(1)(2015(1)(2015太原模擬太原模擬) )已知命題已知命題p:p:x x0 0R,eR,ex x0 0-mx-mx0 0=0,=0, q:q:xR,xxR,x2 2+mx+10,+mx+10,若若

21、p(p(q q) )為假命題為假命題, ,則實數(shù)則實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍 是是( () ) A.(-,0)(2,+)A.(-,0)(2,+)B.0,2B.0,2 C.RC.RD.D. (2)(2)已知已知c0,c0,且且c1,c1,設設p:p:函數(shù)函數(shù)y=cy=cx x在在R R上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減;q:;q:函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=x)=x2 2- - 2cx+12cx+1在在( ,+)( ,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù), ,若若“p p且且q”q”為假為假,“p,“p或或q”q”為真為真, ,求實求實 數(shù)數(shù)c c的取值范圍的取值范圍. . 1 2 【解題提示【解題提示】(1)(1)根據(jù)

22、根據(jù)p p( (q q) )為假命題確定為假命題確定p,qp,q的真假的真假, ,再根據(jù)再根據(jù)p,qp,q的的 真假求真假求m m的取值范圍的取值范圍. . (2)(2)先求先求p,qp,q為真時為真時c c的取值范圍的取值范圍, ,再根據(jù)再根據(jù)p,qp,q的真假求實數(shù)的真假求實數(shù)c c的范圍的范圍. . 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.由由p(p(q q) )為假命題知為假命題知p p假假q q真真. .由由p p假知命題假知命題 “xR,exR,ex x-mx0”-mx0”為真命題為真命題, ,即函數(shù)即函數(shù)y=ey=ex x與與y=mxy=mx的圖象無交點的圖象無交點. .設

23、設 直線直線y=mxy=mx與曲線與曲線y=ey=ex x相切的切點為相切的切點為(x(x0 0,y,y0 0),),則切線方程為則切線方程為y-y- = (x-x= (x-x0 0),),又切線過原點又切線過原點, ,則可求得則可求得xx0 0=1,y=1,y0 0=e,=e,從而從而m=e,m=e,所所 以命題以命題p p為假時有為假時有0me.0me.命題命題q q為真時有為真時有=m=m2 2-40.-40.即即-2m2.-2m2.綜綜 上知上知,m,m的取值范圍是的取值范圍是0m2.0m2. 0 x e 0 x e (2)(2)因為函數(shù)因為函數(shù)y=cy=cx x在在R R上單調(diào)遞減上

24、單調(diào)遞減, ,所以所以0c1.0c1. 即即p:0c1,p:0c0c0且且c1,c1,所以所以p:cp:c1.1. 又因為又因為f(xf(x)=x)=x2 2-2cx+1-2cx+1在在( ,+)( ,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù), , 所以所以c .c . 即即q:0c ,q:00c0且且c1,c1, 所以所以q:cq:c , ,且且c1.c1. 又因為又因為“p p或或q”q”為真為真,“p,“p且且q”q”為假為假, , 所以所以p p真真q q假或假或p p假假q q真真. . 1 2 1 2 1 2 1 2 當當p p真真,q,q假時假時, , c|0c c|0c 且且c1=c| c1.

25、c1=c| c1c|01c|0c = . . 綜上所述綜上所述, ,實數(shù)實數(shù)c c的取值范圍是的取值范圍是c| c1.c| c2m2或或m0.m0. 【規(guī)律方法【規(guī)律方法】根據(jù)命題的真假求參數(shù)取值范圍的求解策略根據(jù)命題的真假求參數(shù)取值范圍的求解策略 (1)(1)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的( (一個或兩個一個或兩個) )簡單命簡單命 題的真假題的真假, ,求出此時命題成立的參數(shù)的取值范圍求出此時命題成立的參數(shù)的取值范圍, ,再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞 的命題成立的參數(shù)的取值范圍的命題成立的參數(shù)的取值范圍. . (2)(2)全稱命題可轉(zhuǎn)化

26、為恒成立問題全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題. . 【變式訓練【變式訓練】命題命題“x x0 0R,2R,2x x0 02 2-3ax-3ax0 0+90”+90-2x+m0對任意對任意x x恒成恒成 立立. .若命題若命題q(pqq(pq) )真、真、p p真真, ,則實數(shù)則實數(shù)m m的取值范圍是的取值范圍是. . 【解析【解析】由于由于p p真真, ,所以所以p p假假, ,則則p pq q假假, ,又又q q(p(pq q) )真真, ,故故q q真真, ,即命即命 題題p p假、假、q q真真. .當命題當命題p p假時假時, ,即方程即方程x x2 2-mx+1=0-mx+1=0無實數(shù)解無實數(shù)解, ,