專題2.9 函數(shù)的應(yīng)用-最值及解決問題-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點專項突破真題精選（人教A版2019必修第一冊）（原卷版） 附答案

1、專題2.9 函數(shù)的應(yīng)用最值及解決問題重難點知識講解一函數(shù)最值的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】 函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值在日常生活中我們常常會遇到如何使成本最低,如何用料最少,如何占地最小等等的問題,這里面就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題另外,最值可分為最大值和最小值【技巧方法】 這種題的關(guān)鍵是把現(xiàn)實的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的問題,具體的說是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,這里面需要同學(xué)們要具有轉(zhuǎn)化思維,具有一定的建模能力,在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn),所以務(wù)必引起重視這里我們以具體的例題來講解二根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【基礎(chǔ)知識】1實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里,事物之間存在著廣泛的聯(lián)系,

2、許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫用函數(shù)的觀點看實際問題,是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容【技巧方法】常用到的五種函數(shù)模型：直線模型：一次函數(shù)模型ykx+b（k0）,圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k0）,通過圖象可以直觀地認識它,特例是正比例函數(shù)模型ykx（k0）反比例函數(shù)模型：y（k0）型,增長特點是y隨x的增大而減小指數(shù)函數(shù)模型：yabx+c（b0,且b1,a0）,其增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b1,a0）,常形象地稱為指數(shù)爆炸對數(shù)函數(shù)模型,即ymlogax+n（a0,a1,m0）型,增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a1,m0）冪函數(shù)模型,即yaxn+b（a0

3、）型,其中最常見的是二次函數(shù)模型：yax2+bx+c（a0）,其特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值先減小后增大（a0）在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時,要注意函數(shù)圖象的直觀運用,分析圖象特點,分析變量x的范圍,同時還要與實際問題結(jié)合,如取整等真題解析一選擇題（共10小題）1（2019春道里區(qū)校級月考）某公司一年購買某種貨物900噸,現(xiàn)分次購買,若每次購買噸,運費為9萬元次,一年的總存儲費用為萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則的值是A10B15C30D452（2019春南平期末）已知某物體的溫度（單位：攝氏度）隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律是,若物體的溫度總不低于2攝氏度,則實數(shù)的取值范圍

4、是A,B,C,D,3（2020開福區(qū)校級期末）若存在正數(shù)使成立,則的取值范圍是ABCD4（2020河南期中）已知函數(shù),則不等式的解集為ABCD5（2020營口期中）已知,若對任意的,存在,使,則實數(shù)的取值范圍是ABCD6（2020南陽期中）已知函數(shù)有最大值,則的值為A1BC4D7（2020吉林四模）某品牌牛奶的保質(zhì)期（單位：天）與儲存溫度（單位：滿足函數(shù)關(guān)系,該品牌牛奶在的保質(zhì)期為270天,在的保質(zhì)期為180天,則該品牌牛奶在的保質(zhì)期是A60天B70天C80天D90天8（2020春紅河州期末）已知碳14是一種放射性元素,在放射過程中,質(zhì)量會不斷減少已知1克碳14經(jīng)過5730年,質(zhì)量經(jīng)過放射消耗

5、到0.5克,則再經(jīng)過多少年,質(zhì)量可放射消耗到0.125克A5730B11460C22920D458409（2020鄱陽縣校級月考）已知函數(shù),若數(shù)列滿足,且是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)的取值范圍是ABC,D10（2019秋湖北期中）記函數(shù)在區(qū)間,上的最大值和最小值分別為、,則的值為ABCD二填空題（共5小題）11（2020春廬江縣期末）已知函數(shù),若在上恒成立,則的取值范圍是 12（2020江蘇期中）設(shè),其中,滿足條件,則的最大值為 13（2020浙江月考）對任意的兩個實數(shù),定義,若,則,的最大值為 14（2019重慶）設(shè),則的最大值為 15（2020春福州期末）某企業(yè)開發(fā)一種產(chǎn)品,生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定

6、成本為3600萬元,每生產(chǎn)千件,需投入成本萬元,若該產(chǎn)品每千件定價萬元,為保證生產(chǎn)該產(chǎn)品不虧損,則的最小值為 三解析題（共5小題）16（2020浙江學(xué)業(yè)考試）現(xiàn)有長為11的鋁合金材料,用它做成如圖所示的窗框,要求中間豎隔,且材料全部用完設(shè),窗框面積為（長度單位：米）（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若,求的最大值17（2020春濰坊期中）為保護環(huán)境,某市有三家工廠要建造污水處理廠三家工廠分別位于矩形的頂點及的中點處,已知,按照規(guī)劃要求污水處理廠建在矩形的區(qū)域上（含邊界）,且與,等距離的一點處,并鋪設(shè)排污管道,設(shè)排污管道的總長為（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè),將表示成

7、的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長度最短18（2020春武漢期末）如圖,有一矩形空地,米,現(xiàn)計劃種植甲、乙兩種蔬菜,已知單位面積種植甲蔬菜的經(jīng)濟價值是種植乙蔬菜經(jīng)濟價值的3倍,但種植甲蔬菜需要有輔助光照邊中點處處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足甲蔬菜生長的需要,該光源照射范圍是,其中、分別在邊,上（1）若,求四邊形的面積；（2）求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種蔬菜的面積19（2020春桂林期末）一邊長為的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長都為的小正方形,然后做成一個無蓋方盒（1）試把方盒的容積表示為的函數(shù)（2）多大時,方盒的容積最大？20（20

8、20春宣城期末）新冠肺炎疫情發(fā)生以后,口罩供不應(yīng)求,某口罩廠日夜加班生產(chǎn),為抗擊疫情做貢獻生產(chǎn)口罩的固定成本為200萬元,每生產(chǎn)萬箱,需另投入成本萬元,當(dāng)產(chǎn)量不足90萬箱時,；當(dāng)產(chǎn)量不小于90萬箱時,若每箱口罩售價100元,通過市場分析,該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完專題2.9 函數(shù)的應(yīng)用最值及解決問題重難點知識講解一函數(shù)最值的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】 函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值在日常生活中我們常常會遇到如何使成本最低,如何用料最少,如何占地最小等等的問題,這里面就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題另外,最值可分為最大值和最小值【技巧方法】 這種題的關(guān)鍵是把現(xiàn)實的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

9、上的問題,具體的說是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,這里面需要同學(xué)們要具有轉(zhuǎn)化思維,具有一定的建模能力,在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn),所以務(wù)必引起重視這里我們以具體的例題來講解二根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【基礎(chǔ)知識】1實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里,事物之間存在著廣泛的聯(lián)系,許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫用函數(shù)的觀點看實際問題,是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容【技巧方法】常用到的五種函數(shù)模型：直線模型：一次函數(shù)模型ykx+b（k0）,圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k0）,通過圖象可以直觀地認識它,特例是正比例函數(shù)模型ykx（k0）反比例函數(shù)模型：y（k0）型,增長特點是y隨x的增大而減小指數(shù)函數(shù)模型：yabx+c（

10、b0,且b1,a0）,其增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b1,a0）,常形象地稱為指數(shù)爆炸對數(shù)函數(shù)模型,即ymlogax+n（a0,a1,m0）型,增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a1,m0）冪函數(shù)模型,即yaxn+b（a0）型,其中最常見的是二次函數(shù)模型：yax2+bx+c（a0）,其特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值先減小后增大（a0）在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時,要注意函數(shù)圖象的直觀運用,分析圖象特點,分析變量x的范圍,同時還要與實際問題結(jié)合,如取整等真題解析一選擇題（共10小題）1（2019春道里區(qū)校級月考）某公司一年購買某種貨物900噸,

11、現(xiàn)分次購買,若每次購買噸,運費為9萬元次,一年的總存儲費用為萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則的值是A10B15C30D45【解析】解：由題知一年總運費為；一年的總運費與總存儲費用之和為,當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立,當(dāng)時一年的總費用與總存儲費用之和最小故選：2（2019春南平期末）已知某物體的溫度（單位：攝氏度）隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律是,若物體的溫度總不低于2攝氏度,則實數(shù)的取值范圍是A,B,C,D,【解析】解：由基本不等式可知,當(dāng)且僅當(dāng)“”時取等號,由題意有,即,解得故選：3（2020開福區(qū)校級期末）若存在正數(shù)使成立,則的取值范圍是ABCD【解析】解：根據(jù)題意,設(shè),其導(dǎo)數(shù)為,則

12、函數(shù)在上為增函數(shù),且,則在上,恒成立；若存在正數(shù)使成立,即有正實數(shù)解,必有；即的取值范圍為；故選：4（2020河南期中）已知函數(shù),則不等式的解集為ABCD【解析】解：函數(shù),是奇函數(shù),在上是減函數(shù),不等式,可得,解得：,可得,所以不等式的解集故選：5（2020營口期中）已知,若對任意的,存在,使,則實數(shù)的取值范圍是ABCD【解析】解：若對任意,存在,使得成立只需,即,故選：6（2020南陽期中）已知函數(shù)有最大值,則的值為A1BC4D【解析】解：令,則,知函數(shù)有最大值,故選：7（2020吉林四模）某品牌牛奶的保質(zhì)期（單位：天）與儲存溫度（單位：滿足函數(shù)關(guān)系,該品牌牛奶在的保質(zhì)期為270天,在的保質(zhì)

13、期為180天,則該品牌牛奶在的保質(zhì)期是A60天B70天C80天D90天【解析】解：某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：滿足函數(shù)關(guān)系,該品牌牛奶在的保質(zhì)期為270天,在的保質(zhì)期為180天,解得,該品牌牛奶在的保質(zhì)期：（天故選：8（2020春紅河州期末）已知碳14是一種放射性元素,在放射過程中,質(zhì)量會不斷減少已知1克碳14經(jīng)過5730年,質(zhì)量經(jīng)過放射消耗到0.5克,則再經(jīng)過多少年,質(zhì)量可放射消耗到0.125克A5730B11460C22920D45840【解析】解：由題可知,碳14的半衰期為5730年,則過5730年后,質(zhì)量從0.5克消耗到0.25克,過11460年后,質(zhì)量可消耗到0.

14、125克故選：9（2020鄱陽縣校級月考）已知函數(shù),若數(shù)列滿足,且是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)的取值范圍是ABC,D【解析】解：是單調(diào)遞增數(shù)列,（1）（2）,可得即；當(dāng)時,遞增,可得；綜上可得：；故選：10（2019秋湖北期中）記函數(shù)在區(qū)間,上的最大值和最小值分別為、,則的值為ABCD【解析】解：,在,上為減函數(shù),（3）,（4）,故選：二填空題（共5小題）11（2020春廬江縣期末）已知函數(shù),若在上恒成立,則的取值范圍是或【解析】解：,可化為,即在上恒成立；又；（當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立）；在上恒成立；即或；故參考答案為：或12（2020江蘇期中）設(shè),其中,滿足條件,則的最大值為6【解析】解：作出可

15、行域,如圖,作出直線,并平移,當(dāng)直線經(jīng)過點時取最大值,解方程組,得,此時最大值,故參考答案為：613（2020浙江月考）對任意的兩個實數(shù),定義,若,則,的最大值為3【解析】解：,當(dāng)或時,當(dāng)時,故,易知,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故,的最大值為；故參考答案為：314（2019重慶）設(shè),則的最大值為【解析】解：由題意,的最大值為,故參考答案為：15（2020春福州期末）某企業(yè)開發(fā)一種產(chǎn)品,生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定成本為3600萬元,每生產(chǎn)千件,需投入成本萬元,若該產(chǎn)品每千件定價萬元,為保證生產(chǎn)該產(chǎn)品不虧損,則的最小值為130【解析】解：由題意,可知利潤函數(shù)若生產(chǎn)該產(chǎn)品不虧損,則存在,有解,即,也就

16、是存在有解而,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,即保證生產(chǎn)該產(chǎn)品不虧損,則的最小值為130故參考答案為：130三解析題（共5小題）16（2020浙江學(xué)業(yè)考試）現(xiàn)有長為11的鋁合金材料,用它做成如圖所示的窗框,要求中間豎隔,且材料全部用完設(shè),窗框面積為（長度單位：米）（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若,求的最大值【解析】解：（1）,又,且,窗框面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由,得,解不等式,得的取值范圍為由于,當(dāng)時,是減函數(shù),當(dāng)（米時,取得最大值為（平方米）17（2020春濰坊期中）為保護環(huán)境,某市有三家工廠要建造污水處理廠三家工廠分別位于矩形的頂點及的中點處,已知,按照規(guī)劃要求污水處理廠建在矩形的區(qū)域上

17、（含邊界）,且與,等距離的一點處,并鋪設(shè)排污管道,設(shè)排污管道的總長為（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式,確定污水處理廠的位置,使三條排污管道總長度最短【解析】解：（1）設(shè)為的中點,則垂直平分,若,則,故所求函數(shù)關(guān)系式為若,則,所求函數(shù)關(guān)系式為（2）選擇函數(shù)模型,令,得,當(dāng)時,單調(diào)遞減；當(dāng),時,單調(diào)遞增當(dāng)時,取得最小值此時污水處理廠位于線段的中垂線上,且距離邊處選擇函數(shù)模型,令,解得或,當(dāng),單調(diào)遞減；當(dāng),單調(diào)遞增當(dāng)時,取得最小值此時污水處理廠位于線段的中垂線上,且距離邊處18（2020春武漢期末）如圖,有一矩

18、形空地,米,現(xiàn)計劃種植甲、乙兩種蔬菜,已知單位面積種植甲蔬菜的經(jīng)濟價值是種植乙蔬菜經(jīng)濟價值的3倍,但種植甲蔬菜需要有輔助光照邊中點處處恰有一可旋轉(zhuǎn)光源滿足甲蔬菜生長的需要,該光源照射范圍是,其中、分別在邊,上（1）若,求四邊形的面積；（2）求該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種蔬菜的面積【解析】解：（1）由,可知,為中點,四邊形為正方形在中,米,四邊形的面積為平方米（2）設(shè),則,過點作于點,在中,在中,設(shè)單位面積種植乙蔬菜的經(jīng)濟價值為,該空地產(chǎn)生的經(jīng)濟價值為,則令,若該空地產(chǎn)生的經(jīng)濟價值最大,則應(yīng)取得最小值,為,此時,平方米故該空地產(chǎn)生最大經(jīng)濟價值時種植甲種蔬菜的面積為200平方米19（2020春桂林期末）一邊長為的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長都為的小正方形,然后做成一個無蓋方盒（1）試把方盒的容積表示為的函數(shù)（2）多大時,方盒的容積最大？【解析】解：（1）無蓋方盒的容積（2）因為,所以,令得（舍,或當(dāng)時,當(dāng)時,因此是函數(shù)的極大值點,也是最大值點,故當(dāng)時,方盒的容積最大20（202