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文檔簡介
1、高三數(shù)學第二輪專題講座復(fù)習:關(guān)于不等式證明的常用方法高考要求 不等式的證明,方法靈活多樣,它可以和很多內(nèi)容結(jié)合 高考解答題中,常滲透不等式證明的內(nèi)容,純不等式的證明,歷來是高中數(shù)學中的一個難點,本節(jié)著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力,邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力 重難點歸納 1 不等式證明常用的方法有 比較法、綜合法和分析法,它們是證明不等式的最基本的方法 (1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟,變形的主要方向是因式分解、配方,判斷過程必須詳細敘述 如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式,則考慮用判別式法證 (2)綜合法是由因?qū)Ч?,而分析法是?zhí)果索因,兩法相互轉(zhuǎn)
2、換,互相滲透,互為前提,充分運用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開擴視野 2 不等式證明還有一些常用的方法 換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等 換元法主要有三角代換,均值代換兩種,在應(yīng)用換元法時,要注意代換的等價性 放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮要有的放矢,目標可以從要證的結(jié)論中考查 有些不等式,從正面證如果不易說清楚,可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題,適宜用反證法 證明不等式時,要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點 典型題例示范講解 例1證明不
3、等式(nN*)命題意圖 本題是一道考查數(shù)學歸納法、不等式證明的綜合性題目,考查學生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力 知識依托 本題是一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題,首先想到應(yīng)用數(shù)學歸納法,另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等 錯解分析 此題易出現(xiàn)下列放縮錯誤 這樣只注重形式的統(tǒng)一,而忽略大小關(guān)系的錯誤也是經(jīng)常發(fā)生的 技巧與方法 本題證法一采用數(shù)學歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法 證法二先放縮,后裂項,有的放矢,直達目標 而證法三運用函數(shù)思想,借助單調(diào)性,獨具匠心,發(fā)人深省 證法一 (1)當n等于1時,不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立 (2)假設(shè)n=k(k1)時,不等式成
4、立,即1+2,當n=k+1時,不等式成立 綜合(1)、(2)得 當nN*時,都有1+2 另從k到k+1時的證明還有下列證法 證法二 對任意kN*,都有 例2求使a(x0,y0)恒成立的a的最小值 命題意圖 本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學生邏輯分析能力 知識依托 該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目,所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來,等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口,然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值錯解分析 本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍,此時我們習慣是將x、y與cos、sin來對應(yīng)進行換元,即令=cos,=sin(0),這樣也得
5、asin+cos,但是這種換元是錯誤的 其原因是 (1)縮小了x、y的范圍 (2)這樣換元相當于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件,顯然這是不對的 技巧與方法 除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系,af(x),則amin=f(x)max 若 af(x),則amax=f(x)min,利用這一基本事實,可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題 還有三角換元法求最值用的恰當好處,可以把原問題轉(zhuǎn)化 解法一 由于a的值為正數(shù),將已知不等式兩邊平方,得 x+y+2a2(x+y),即2(a21)(x+y),x,y0,x+y2, 當且僅當x=y時,中有等號成
6、立 比較、得a的最小值滿足a21=1,a2=2,a= (因a0),a的最小值是 解法二 設(shè) x0,y0,x+y2 (當x=y時“=”成立),1,的最大值是1 從而可知,u的最大值為,又由已知,得au,a的最小值為 例3已知a0,b0,且a+b=1 求證 (a+)(b+) 證法一 (分析綜合法)欲證原式,即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40,即證4(ab)233(ab)+80,即證ab或ab8a0,b0,a+b=1,ab8不可能成立1=a+b2,ab,從而得證 證法二 (均值代換法) 設(shè)a=+t1,b=+t2 a+b=1,a0,b0,t1+t2=0,|t1|,|t2|顯然當且僅當t=
7、0,即a=b=時,等號成立 證法三 (比較法)a+b=1,a0,b0,a+b2,ab學生鞏固練習 1 已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且=1,x+y的最小值為 _ 2 設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c,且|ad|bc|,則ad與bc的大小關(guān)系是_ 3 若mn,pq,且(pm)(pn)0,(qm)(qn)0,則m、n、p、q的大小順序是_ 4 已知a,b,c為正實數(shù),a+b+c=1 求證 (1)a2+b2+c2 (2)6參考答案 1 解析 令=cos2,=sin2,則x=asec2,y=bcsc2,x+y=asec2+bcsc2=a+b+atan2+bcot2a+b+2 答案 a+b+22 解析 由0|ad|bc|(ad)2(bc)2(a+b)24ad(b+c)24bca+d=b+c,4ad4bc,故adbc 答案 adbc3 解析 把p、q看成變量,則mpn,mqn 答案 mpqn4 (1)證法一 a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21) =3a2+3b2+3c2(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=(ab)2+(bc)2+(c
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