立體幾何證明垂直專項(xiàng)含練習(xí)題及答案

1、立 體 幾 何 證 明一.復(fù)習(xí)引入1. 空間兩條直線的位置關(guān)系有：,三種。2. （公理4）平行于同一條直線的兩條直線互相 .3. 直線與平面的位置關(guān)系有,種。4. 直線與平面平行判定定理：如果的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行5. 直線與平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么.6. 兩個(gè)平面的位置關(guān)系：,.7. 判定定理1:如果一個(gè)平面內(nèi)有 線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.8. 線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面 .9. 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的 行.10. 如果兩個(gè)平面平行

2、，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都 于另一個(gè)平面.二.知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一、直線和平面垂直的定義與判定定義判定語(yǔ)言描述如果直線l和平面a內(nèi)的任意一條直線都 垂直，我們就說直線l與平面互相垂直， 記作1丄a一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都 垂直，則這條直線與該平面垂直圖形1I/條件b為平面a內(nèi)的任一直線，而1對(duì)這一直線總有1丄al丄 m， l 丄 n， m n n = b， mu口， nuo結(jié)論l丄l丄a要點(diǎn)詮釋：定義中“平面二內(nèi)的任意一條直線”就是指“平面內(nèi)的所有直線”，這與“無(wú)數(shù)條直線”不同線線垂直線面垂直）知識(shí)點(diǎn)二、直線和平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)語(yǔ)言描述一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線 垂直

3、于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線垂直于冋一個(gè)平面的兩條直線平行圖形L1/1r 1條件1丄G溜匚桃：丄電戰(zhàn)丄盤.結(jié)論1丄m知識(shí)點(diǎn)三、二面角I 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角（dihedral angle）.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面 記作二面角:-AB -.（簡(jiǎn)記P AB Q ）面角的平面角的三個(gè)特征i 點(diǎn)在棱上ii . 線在面內(nèi)iii . 與棱垂直內(nèi)分別作垂直于棱丨n .二面角的平面角：在二面角:l -：的棱丨上任取一點(diǎn)0，以點(diǎn)0為垂足，在半平面:-，:的射線0A和0B，則射線0A和0B構(gòu)成的.AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范圍：0 ：

4、 v ： 180.知識(shí)點(diǎn)四、平面和平面垂直的定義和判定定義判定文字描述兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是 直二面角，就說這兩個(gè)平面垂直.一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè) 平面垂直圖形- ZJ /結(jié)果0aA =l al-伊90a 丄B/丄 & J U 肚二 d丄戸（垂直問題中要注意題目中的文字表述，特別是“任何“隨意”無(wú)數(shù)”等字眼）三常用證明垂直的方法立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法(1) 通過“平移”。(2) 利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。(3) 利用勾股定理。(4) 利用直徑所對(duì)的圓周角是直角(1)通過“平移”，根據(jù)若a/ /b

5、,且b丄平面a,則a丄平面a1.在四棱錐P-ABCD中， PBC為正三角形,求證：AE平面PDC.AB丄平面 PBC AB/ CD1AB=i DC, E為 PD 中點(diǎn).22. 如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA丄底面ABCD ,/ PDA=45。，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).求證：平面 PCE丄平面PCD;D(第 2題圖)PAP 二 BP 二 AB，PC _ AC .(2) 利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)3、在三棱錐 P-ABC 中，AC 二 BC=2 , ACB =90 ,(I )求證：PC _ AB ;(3) 利用勾股定理4如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA CD,

6、PA=1,PD壬$2. 求證：PA 平面ABCD ;PCBE(4) 利用直徑所對(duì)的圓周角是直角5、如圖，AB是圓0的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA丄平面ABC.(1)求證：平面FAC丄平面PBC;課堂及課后練習(xí)題：1. 判斷下列命題是否正確，對(duì)的打“V”，錯(cuò)誤的打“x” 。(1) 垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行()(2) 垂直于同一平面的兩條直線互相平行()(3) 條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線垂直()關(guān)系是F是CD上2. 已知直線 a,b 和平面，且 a _ b,a _,貝U b 與的位置3.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB 平面PAD ,AB/CD ,PD =A

7、D,E是PB的中點(diǎn),1的點(diǎn)，且DF AB ,PH為 PAD中AD邊上的高。2(1)證明：PH 一平面ABCD ;4如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形 BA_ AD, CD _ AD, CD =2AB, PA _底面ABCD, E為PC的中點(diǎn)，PA= AD。證明：BE _平面PDC ;5.如圖，在三棱錐P-ABC中，/ PAB是等邊三角形，/ PAC= / PBC=90 o證明：AB丄PC6.如圖，四面體 ABCD中，0、E分別是BD、BC的中點(diǎn),CA =CB =CD =BD =2, AB =AD = .2.(1) 求證：AO _平面BCD ;(2) 求異面直線 AB與CD所成角的大小；

8、c7如圖，四棱錐S-ABCD中，AB_BC ,BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形,AB =BC =2,CD =SD =1(I)證明：SD -平面SAB；8如圖，在圓錐PO中，已知PO= & ,o O的直徑AB =2,c是狐AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).證明：平面POD 平面PAC ；P圖5課堂及課后練習(xí)題答案：1(1) V (2) V (3) V2. b或者 b 二：3.證明：因?yàn)镻H為 PAD中AD邊上的高，所以 PH _ AD，又因?yàn)锳B _平面PAD，所以AB _ PH ,ABAD=A，所以 PH 平面ABCD4分析：取PD的中點(diǎn)F，易證AF/BE,易證AF丄平面PDC從而BE丄平面PDC5證明：因?yàn)?PAB是等邊三角形， PAC=. PBC=90 ,所以 Rt PBC 三 Rt PAC ,可得 AC = BC。如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD, CD,則 PD _ AB, CD _ AB,所以AB _平面PDC,所以AB _ PC。6. (1)證明：連結(jié)0C：B0 二 DO, AB = AD, AO_BD.B0 二 DO, BC 二CD, CO _ BD.在 AOC中，由已知可得 AO =1,CO二.3.而 AC =2,.AO2 CO2 二 AC2,. AOC =90,即 AO _ OC.tbd Roc =o, ao 平面 bcd7.(I)取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形BCDE