專題01 解三角形（知識梳理）-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)一遍過（人教A版必修5）（原卷版） 附答案

1、專題01 解三角形（知識梳理）一、解三角形基礎(chǔ)知識點(diǎn)1、正弦定理：。 (其中為的外接圓的半徑)正弦定理的變形公式：,；,；2、三角形面積定理：； ； (其中為的內(nèi)切圓的半徑)3、余弦定理：；4、射影定理：,5、設(shè)、是的角、的對邊,則：若,則；若,則；若,則。6、三角形解的個(gè)數(shù)的討論為銳角為鈍角或直角或 兩解一解無解一解無解7、解三角形處理三角形問題,必須結(jié)合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四類基本可解型,特別要多角度(幾何作圖,三角函數(shù)定義,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“邊邊角”型問題可能有兩解、一解、無解的三種情況,根據(jù)已知條件判斷解的情況,并能正確求解。(1)三角形中的邊角關(guān)系三

2、角形內(nèi)角和等于；三角形中任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊；三角形中大邊對大角,小邊對小角；(2)利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形已知條件應(yīng)用定理一般方法解的情況一邊和兩角正弦定理由求第三角,由正弦定理求其它兩邊一解兩邊和夾角余弦定理或正弦定理由余弦定理求第三邊,由正弦定理求較小邊對應(yīng)的較小角,由求第三角一解三邊余弦定理由余弦定理求兩角,由求第三角一解兩邊和其中一邊的對角正弦定理或余弦定理由正弦定理求另一邊的對角,由求第三角,利用正弦定理求第三邊由余弦定理列關(guān)于第三邊的一元二次方程,根據(jù)一元二次方程的解求,然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素兩解一解或無解(3)利用正

3、、余弦定理判斷三角形的形狀常用方法是：化邊為角；化角為邊.8、三角形中的三角變換(1)角的變換在中,則；,；(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式,正弦定理,余弦定理。面積公式：, 其中為三角形內(nèi)切圓半徑,為周長之半；二、解三角形的應(yīng)用1、坡角和坡度：坡面與水平面的銳二面角叫做坡角,坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度,用表示。根據(jù)定義可知：坡度是坡角的正切,即。2、俯角和仰角：如圖所示,在同一鉛垂面內(nèi),在目標(biāo)視線與水平線所成的夾角中,目標(biāo)視線在水平視線的上方時(shí)叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線的下方時(shí)叫做俯角。3、方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如點(diǎn)的方位角為。注：仰角、俯角、方位角

4、的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的,而方位角是相對于正北方向而言的。4、方向角：相對于某一正方向的水平角。5、視角：由物體兩端射出的兩條光線,在眼球內(nèi)交叉而成的角叫做視角。三、解題技巧1、三角函數(shù)恒等變形的基本策略。(1)常值代換：特別是用“”的代換,如等。(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊。在三角化簡、求值、證明中,表達(dá)式往往出現(xiàn)較多的相異角,可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余的關(guān)系,運(yùn)用角的變換,交流條件與結(jié)論中的角,使問題獲解。分拆項(xiàng)：；配湊角：,等。特別地,與為互余角,它們之間可以互相轉(zhuǎn)化在三角變形中使用頻率最高。(3)降次與升次：利用升冪和降冪公式,注意遇無理變有理

5、。(4)轉(zhuǎn)化法：遇切化弦,求角把邊都化成角,求角把角都化成邊。異角化同角,負(fù)角化單角,異名化同名,高次化低次,特殊值化特殊角。(5)合一變形：把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù),一個(gè)角,一次方”的的形式：,這里輔助角所在象限由、的符號確定,角的值由確定。2、證明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式進(jìn)行化名,化角,改變運(yùn)算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式。(2)證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3、證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4、解答三角高考題的策略。(1

6、)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異,即進(jìn)行所謂的“差異分析”。(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?促使差異的轉(zhuǎn)化。兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視,通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來,用向量方法證明兩定理,突出了向量的工具性,是向量知識應(yīng)用的實(shí)例。另外,利用正弦定理解三角形時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解。5、特殊值的記憶(1)常用勾股數(shù),仍然注意“符號看象限”。(2)；。例1、在中,、分別是角、的對邊,且。(1)求的大?。?2)若,求的面積。例2、如圖,中

7、,點(diǎn)在線段上,且,。(1)求的長；(2)求的面積。例3、在中,角、的對邊分別是、,且。(1)求角的大?。?2)求的取值范圍。專題01 解三角形（知識梳理）一、解三角形基礎(chǔ)知識點(diǎn)1、正弦定理：。 (其中為的外接圓的半徑)正弦定理的變形公式：,；,；2、三角形面積定理：； ； (其中為的內(nèi)切圓的半徑)3、余弦定理：；4、射影定理：,5、設(shè)、是的角、的對邊,則：若,則；若,則；若,則。6、三角形解的個(gè)數(shù)的討論為銳角為鈍角或直角或 兩解一解無解一解無解7、解三角形處理三角形問題,必須結(jié)合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四類基本可解型,特別要多角度(幾何作圖,三角函數(shù)定義,正、余弦定理,勾股定理等角度

8、)去理解“邊邊角”型問題可能有兩解、一解、無解的三種情況,根據(jù)已知條件判斷解的情況,并能正確求解。(1)三角形中的邊角關(guān)系三角形內(nèi)角和等于；三角形中任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊；三角形中大邊對大角,小邊對小角；(2)利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形已知條件應(yīng)用定理一般方法解的情況一邊和兩角正弦定理由求第三角,由正弦定理求其它兩邊一解兩邊和夾角余弦定理或正弦定理由余弦定理求第三邊,由正弦定理求較小邊對應(yīng)的較小角,由求第三角一解三邊余弦定理由余弦定理求兩角,由求第三角一解兩邊和其中一邊的對角正弦定理或余弦定理由正弦定理求另一邊的對角,由求第三角,利用正弦定理求第三邊

9、由余弦定理列關(guān)于第三邊的一元二次方程,根據(jù)一元二次方程的解求,然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素兩解一解或無解(3)利用正、余弦定理判斷三角形的形狀常用方法是：化邊為角；化角為邊.8、三角形中的三角變換(1)角的變換在中,則；,；(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式,正弦定理,余弦定理。面積公式：, 其中為三角形內(nèi)切圓半徑,為周長之半；二、解三角形的應(yīng)用1、坡角和坡度：坡面與水平面的銳二面角叫做坡角,坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度,用表示。根據(jù)定義可知：坡度是坡角的正切,即。2、俯角和仰角：如圖所示,在同一鉛垂面內(nèi),在目標(biāo)視線與水平線所成的夾角中,目標(biāo)視線在水平視線的上方時(shí)叫做仰角,目

10、標(biāo)視線在水平視線的下方時(shí)叫做俯角。3、方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如點(diǎn)的方位角為。注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的,而方位角是相對于正北方向而言的。4、方向角：相對于某一正方向的水平角。5、視角：由物體兩端射出的兩條光線,在眼球內(nèi)交叉而成的角叫做視角。三、解題技巧1、三角函數(shù)恒等變形的基本策略。(1)常值代換：特別是用“”的代換,如等。(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊。在三角化簡、求值、證明中,表達(dá)式往往出現(xiàn)較多的相異角,可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余的關(guān)系,運(yùn)用角的變換,交流條件與結(jié)論中的角,使問題獲解。分拆項(xiàng)：；配湊角：,

11、等。特別地,與為互余角,它們之間可以互相轉(zhuǎn)化在三角變形中使用頻率最高。(3)降次與升次：利用升冪和降冪公式,注意遇無理變有理。(4)轉(zhuǎn)化法：遇切化弦,求角把邊都化成角,求角把角都化成邊。異角化同角,負(fù)角化單角,異名化同名,高次化低次,特殊值化特殊角。(5)合一變形：把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù),一個(gè)角,一次方”的的形式：,這里輔助角所在象限由、的符號確定,角的值由確定。2、證明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式進(jìn)行化名,化角,改變運(yùn)算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式。(2)證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3、證明三角不等式的方法：比較法、配方法

12、、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4、解答三角高考題的策略。(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異,即進(jìn)行所謂的“差異分析”。(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?促使差異的轉(zhuǎn)化。兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視,通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來,用向量方法證明兩定理,突出了向量的工具性,是向量知識應(yīng)用的實(shí)例。另外,利用正弦定理解三角形時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解。5、特殊值的記憶(1)常用勾股數(shù),仍然注意“符號看象限”。(2)；。例1、在中,、分別是角、的對邊,且。(1)求的大小；(2)若,求的面積?！窘馕觥?1)由已知得,又,