拉普拉斯變換拉普拉斯變換的概念教學內(nèi)容1拉普拉

1、第九章拉普拉斯變換 12教學內(nèi)容:1、拉普拉斯變換的定義2、拉普拉斯變換存在條件教學要求:1、正確理解拉普拉斯變換的定義2、了解拉普拉斯變換存在條件第節(jié)拉普拉斯變換的概念教學過程傅氏變換具有廣泛的應(yīng)用，特別是在信號處理領(lǐng)域，直到今天它仍然是最基本的分析和處理工具，甚至可以說信號分析本質(zhì) 就是傅里葉積分變換.但任何東西都有局限性，傅里葉變換也一 樣，人們對傅里葉積分變換的局限性做了各種各樣的改進.一方面 提高它對問題的刻畫能力，如窗口傅里葉變換、小波變換等；另 一方面，擴大它本身的使用范圍，比如本章要介紹的拉普拉斯變 換就是.我們知道傅里葉變換對函數(shù)有一定的要求，即滿足狄利克 雷條件，還要求在(

2、-8,+8)上絕對可積，才有古典意義下的傅里 葉積分變換，而絕對可積是一個很強的條件，即使一些簡單函數(shù), 有吋也不能滿足這個條件，引入狄拉克函數(shù)后，傅里葉積分變換 應(yīng)用廣泛了很多，但對于指數(shù)增長的函數(shù)仍然不能使用，另外傅 里葉積分變換必須在整個實數(shù)軸上定義，但在工程實際問題中， 許多以時間為自變量的函數(shù)，就不能在整個實數(shù)上定義，因此傅 里葉積分變換在處理這樣的問題時，有一定的局限性.19世紀末英 國工程師赫維賽德發(fā)明了一種算子法，最后發(fā)展成了今天的拉普 拉斯積分變換，而其數(shù)學上的根源還是來自拉普拉斯，所以稱其 為拉普拉斯積分變換.一、拉普拉斯變換的定義定義設(shè)函數(shù)/是定義在0,+8)上的實值函數(shù)

3、，如果對于在復(fù)平面S的某一域內(nèi)收斂，則稱FG)為/的拉普拉斯變換，H4-ooo f(t)e-stdt,稱/(f)為F($)的拉普拉斯逆 變換，記為/(o=r_iF(5)., f($)稱為像函數(shù)，口)稱為原像函 數(shù).事實上，我們從下面可以看出傅里葉積分變換和拉普拉斯積 分變換的關(guān)系：令s = p + jco,則矽口)啲嚴訂:f(t)e-stdt=F(S)=Lf(t).由此可以知道，/的拉普拉斯積分變換就是的傅里 葉積分變換，首先通過單位階躍函數(shù)“(f)使函數(shù)/在f0的部分乘一個衰減的指數(shù)函數(shù)丘 以降低其增長速度，這樣就有希望使函數(shù)/“()滿足傅里葉 積分變換的條件，從而對它進行傅里葉積分變換.例

4、9.1分別求出單位階躍函數(shù)u，符號函數(shù)sgnf, /(0 = 1 的拉普拉斯積分變換.H+OCA 4-00If(t)e-stdt = f es,dt = -, (Re s 0) 0Josu(t)es,dt =estdt = 一 , (Re 5 0)r+oo1sgnf = | sgntes dt = | dt = - , (Re5 0)JoJo$例9.2求指數(shù)函數(shù)f(t) = ekt的拉氏變換(&為實數(shù)).解:4/(0 = Cektesldt=E=1八八 JoJoJos _k05-所以 Lekt = -(Re(s)k).s-k二、拉普拉斯積分變換存在條件拉氏變換的存在定理若函數(shù)/滿足：(1) 在

5、r 0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2) 當乜時，/的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即存在常數(shù)M 0及C 0,使得1/(0 |MZ,(0r c 一定J 0存在，并且在Re(5) c的半平面內(nèi)，F(xiàn)(s)為解析函數(shù).證明 設(shè)s = p+ jco,貝J|= ep,所以I F(s) |=|f(t)e5tdt | c,可以知道右端積分在上半平面上收斂.關(guān)于解析性的證明省略.注1:大部分常用函數(shù)的拉普拉斯變換都存在(常義下)；注2：存在定理的條件是充分但非必要條件.對于任意函數(shù)來說，其拉普拉斯變換有三種情況，或者不存在，或者在整個復(fù)平面上存在，或者在一個半平面內(nèi)存在.第二節(jié)拉氏變換的性質(zhì)教學內(nèi)容：拉普拉斯變換

6、的性質(zhì).教學要求：1、掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)2、理解卷積和卷積定理教學過程一、拉普拉斯變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)4/(0 土 0g(O = 4/(01 土 阻 g(。；= 4他0心(2、相似性質(zhì)設(shè)4/(0 = F(s),則對任意常數(shù)a0,有4/()=丄- a &丿證明：令x = at,貝ljf+ 15-1 o,r 1二.卷積和卷積定理1、卷積的定義(/)*厶= U()/2(f-必，結(jié)合率、交換律和分配率仍然成 立.2、卷積定理設(shè)&() =片G)也$() =坊G),則有； (0 * f2 (01 = % (s)遲(s); J 片(s)遲(5) = /； * f2 (r)證明由定義 * fl (01 =人(0 * /2 嚴力=卩 4 (r)A (t-T)dTe-stdt 然后交換二重積分的次序，令t=t-TCf * f2 (01 = 17 f(r) f2(t - T)estdtdT=f0 /l(r)f0 /2G1X Ste=2(5)f0dr =片(3)尸2(3)例914求函數(shù)j(t) = t與ZW) = sin/的卷積.解X ()* fi = /i (CZ