線性代數(shù)n維向量空間小結(jié)

1、2021/6/161 第四章第四章 n維向量空間小結(jié)維向量空間小結(jié) n維向量空間維向量空間 線性方程組線性方程組 2021/6/162 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 一兩個(gè)重要概念：一兩個(gè)重要概念： 1122 1 0 0 nn n xxx xx 線性相關(guān)性： 本質(zhì)上考察 是否“只有” 時(shí)成立； 線性表出： 1 1 000 , + + + n n 例如:任意向量組， 線性無關(guān)。 2021/6/163 12 , n (1) 二、 向量組線性相關(guān) 1 0(,) ( ) n AXA R An 有非零解， : n 未知量個(gè)數(shù)， 向量個(gè)數(shù)。 矩陣的秩就是向量組的秩。 向量組線性相關(guān)向量組的秩 向量維數(shù)相關(guān) 關(guān)至少

2、有一個(gè)向量 部分相關(guān)整體相關(guān)，整體無關(guān)部分無 可由 其余個(gè) 關(guān) 線性表出 1 1 , , n n 線性表出，則表達(dá)式唯一 線 可由 性無關(guān)。 2021/6/165 (2) (2) 線性表出：線性表出： 1122 , nn xxx“有數(shù)”就行 1 1 11 , (,) ( )( ) (,)(, ) n n nn AXA R AR A 線性表出 有解， 秩秩 可由 . .“向量組的秩”即為“矩陣的秩” 1, ,( ). n R An 對于非齊次線性方程組,首先有沒有解， 有唯一解線性無關(guān)， 2021/6/166 三、最大無關(guān)組，向量組的秩三、最大無關(guān)組，向量組的秩 最大無關(guān)組的兩個(gè)等價(jià)命題：最大無

3、關(guān)組的兩個(gè)等價(jià)命題： 命題命題1 1：(1)(1)線性無關(guān)；線性無關(guān)； (2) (2) 向量組中任何一個(gè)可由它們線性表出；向量組中任何一個(gè)可由它們線性表出； 命題命題2 2：有：有r 個(gè)線性無關(guān)，任意個(gè)線性無關(guān)，任意r+1個(gè)則相關(guān)；個(gè)則相關(guān)； 判斷是最大無關(guān)組：任意判斷是最大無關(guān)組：任意“n個(gè)個(gè)” “線性無關(guān)線性無關(guān)”的的“n維維 向量向量”都是都是 的最大無關(guān)組。的最大無關(guān)組。 和矩陣的秩類似：和矩陣的秩類似：有有r階子式階子式0，任意，任意r+1階子式階子式0. n 2021/6/167 1, , n n 例：無關(guān) 1, , n n任一 維向量可由線性表出； 1 11 ): ): n nn

4、 證：是最大無關(guān)組，顯然。 ， ,可由其表出； ， ,可由 ， ,表出； 等價(jià)。所以秩相等。 結(jié)結(jié)論論: :設(shè)設(shè)向向量量組組T T的的秩秩為為r r，則則T T中中任任意意r r個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān) 的的向向量量均均為為T T的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組。 組組(I)(I)無關(guān)，組無關(guān)，組(I)(I)可由可由(II)(II)表出，表出， 則組則組(I)(I)的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù) 組組(II)(II)的個(gè)數(shù)。的個(gè)數(shù)。 關(guān)于向量空間和子空間關(guān)于向量空間和子空間: : 基，維數(shù)?；?，維數(shù)。 2021/6/168 0-( )X AXn R A 四、解空間，維數(shù)： ( )0 0 nR AAX AX 任個(gè)線性無關(guān)的的

5、解向量均為 的基解系。 1 122 rt xkkk 12 ,. t k kk其其中中是是任任意意常常數(shù)數(shù) 2021/6/169 1.R ,0 n n n bAXbA 有解 bA任意向量 都可以由 的列向量組線性表出, 1 ,R n n n，線性無關(guān)任一 維向量均可由 其線性表出. 11 11221 1 122 1 122 0 2.11,2, 0 0 nn iiinn nnnnn a xa xa x a xa xa xin a xa xa x A 對都有解 2021/6/1610 1212 1212 nn nn 證： ， ， 可由，線性表出， 又，可由 ， ， 線性表出， 向量組等價(jià)，秩相等。

6、122311 1., nnn ， ， 相關(guān)性？ 12 (1) (2) n n n 為偶數(shù)：必相關(guān)。 為奇數(shù)：線性無關(guān)，線性無關(guān)。 2021/6/1611 122331123 3 101 ,110 011 n 例如時(shí)， P 0P 當(dāng)， 1 123122331 ,P 122331123 , 所以向量組 與 ，等價(jià)。 122331 123 0(,) min, ( )3 PR RR P 當(dāng) 時(shí)， 2021/6/1612 此方法對很多問題都有效：此方法對很多問題都有效： 123 213213 3., , l m lm 線性無關(guān)，問滿足什么條件時(shí)， 線性無關(guān)。 方法類似：方法類似： 213213123 1

7、01 ,10 01 lml m P 10Plm 當(dāng)，可逆時(shí)，兩向量組等價(jià)，無關(guān)。 2021/6/1613 123213 121 4., mm mm ，判定兩向量組秩的關(guān)系。 1212 12 0111 1011 , 1101 1110 , mm m P 解: 0P ，等價(jià)，秩相等。 2021/6/1614 一、向量組線性關(guān)系的判定一、向量組線性關(guān)系的判定 二、求向量組的秩二、求向量組的秩 三、向量空間的判定三、向量空間的判定 四、基礎(chǔ)解系的證法四、基礎(chǔ)解系的證法 五、解向量的證法五、解向量的證法 典型例題 2021/6/1615 研究這類問題一般有兩個(gè)方法研究這類問題一般有兩個(gè)方法 方法方法1

8、1從定義出發(fā)從定義出發(fā) 0 0 0 , 0 2 1 2 22 21 2 1 12 11 1 2211 a a a k a a a k a a a k kkk mn m m m nn mm 令令 整理得線性方程組整理得線性方程組 一、向量組線性關(guān)系的判定 2021/6/1616 )( , 0 , 0 , 0 2211 2222112 1221111 kakaka kakaka kakaka mmnnn mm mm . ,)( ., ,)( 21 21 線線性性相相關(guān)關(guān) 則則有有非非零零解解若若線線性性方方程程組組 線線性性無無關(guān)關(guān) 則則只只有有唯唯一一零零解解若若線線性性方方程程組組 m m 2

9、021/6/1617 方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān) 系判定系判定 .,)( ,)( ).(),( , 21 21 21 21 線線性性相相關(guān)關(guān)則則若若 線線性性無無關(guān)關(guān)則則若若 首首先先求求出出相相應(yīng)應(yīng)的的矩矩陣陣 就就得得到到一一個(gè)個(gè)維維向向量量給給出出一一組組 m m m m mAR mAR ARA n 2021/6/1618 例例研究下列向量組的線性相關(guān)性研究下列向量組的線性相關(guān)性 . 2 0 1 , 5 2 0 , 3 2 1 321 解一解一 0 0 0 2 0 1 5 2 0 3 2 1 , 0 321 332211 kkk kkk 即即令令

10、 2021/6/1619 整理得到整理得到)( . 0253 , 022 , 0 321 21 31 kkk kk kk . ,)( , 0 253 022 101 )( 321 線線性性相相關(guān)關(guān) 從從而而必必有有非非零零解解線線性性方方程程組組 的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式線線性性方方程程組組 2021/6/1620 解二解二 , 2 0 1 , 5 2 0 , 3 2 1 321 , 253 022 101 ),( 321 A矩陣矩陣 2021/6/1621 000 220 101 253 022 101 初初等等行行變變換換 A ., , 32)( 321 線線性性相相關(guān)關(guān)故故向向量量組組

11、AR 2021/6/1622 . )2(, , :, 2211 21 21 線線性性相相關(guān)關(guān) 都都有有使使對對任任何何向向量量為為零零的的數(shù)數(shù) 存存在在不不全全證證明明線線性性相相關(guān)關(guān)設(shè)設(shè) r ttt ttt rr r r 例例2 2 分析分析考考察察向向量量方方程程我我們們從從定定義義出出發(fā)發(fā) , 0)( 2211 2211 tktktk kkk rr rr 即即向向量量方方程程 0)()()( 222111 tktktk rrr 2021/6/1623 ., , 21 因因此此可可得得如如下下證證明明恒恒有有非非零零解解每每個(gè)個(gè) 而而使使得得對對數(shù)數(shù)是是否否有有某某組組不不全全為為零零的的

12、 kkk r 證明證明 0 , , 2211 21 21 rr r r kkk kkk 使使為為零零的的數(shù)數(shù) 所所以以存存在在不不全全線線性性相相關(guān)關(guān)因因?yàn)闉?0 2211 xkxkxk rr 考考慮慮線線性性方方程程 都都有有則則對對任任意意向向量量零零解解 為為任任一一非非設(shè)設(shè)它它必必有有非非零零解解因因?yàn)闉?, ),(, 2 21 ttt r r 2021/6/1624 0)( 2211 2211 tktktk kkk rr rr . , :, 2211 21 線線性性相相關(guān)關(guān) 不不全全為為零零得得知知由由 ttt kkk rr r 2021/6/1625 . , ,:, 2 121 一

13、一個(gè)個(gè)最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組 成成它它的的個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量均均構(gòu)構(gòu)中中任任意意 證證明明的的秩秩是是已已知知向向量量組組 r r s s 例例3 3 證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成最大線性無證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成最大線性無 關(guān)組的基本方法就是：關(guān)組的基本方法就是： 分析分析 根據(jù)最大線性無關(guān)組的定義來證，它往往還根據(jù)最大線性無關(guān)組的定義來證，它往往還 與向量組的秩相聯(lián)系與向量組的秩相聯(lián)系 2021/6/1626 證明證明 ., ,), 2 , 1( , , 21 21 21 r sk r k iii k s iii r r 否否則則這這向向量量組組的的秩秩大大于于相相關(guān)關(guān)

14、 線線性性向向量量組組的的 于于是是對對于于任任意意個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量中中的的任任意意 是是設(shè)設(shè)不不失失一一般般性性 ., , 21 21 線線性性表表出出以以由由 可可所所以以線線性性無無關(guān)關(guān)又又向向量量組組 iii k iii r r ., , 21 21 的的一一個(gè)個(gè)最最大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組 是是這這就就證證明明了了由由定定義義 s iii r 2021/6/1627 求一個(gè)向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的求一個(gè)向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的 秩來求，這個(gè)矩陣是由這組向量為列向量所排成的秩來求，這個(gè)矩陣是由這組向量為列向量所排成的 二、求向量組的秩 2021/6/16

15、28 .)1, 4, 6, 2( ),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0( ),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1( 5 43 21 的秩的秩 求向量組求向量組 T TT TT 例4例4 解解 為為階階梯梯形形化化行行變變換換 作作初初等等對對作作矩矩陣陣 A AA , , 54321 2021/6/1629 11110 42110 63121 21011 54321 A 11012 01124 00035 00000 . 54321 U 記記作作 2021/6/1630 , 3)( ARA的的列列秩秩 . 3, 54321 的的秩秩為為故故向向量量組組 00000

16、 53000 42110 21011 ) ( 54321 U , , 421 無無關(guān)關(guān)組組 線線性性的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大是是又又U . , 421 線線性性無無關(guān)關(guān)組組 的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大也也是是所所以以A 2021/6/1631 判斷向量的集合是否構(gòu)成向量空間，需看集合判斷向量的集合是否構(gòu)成向量空間，需看集合 是否對于加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉若封閉，則構(gòu)是否對于加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉若封閉，則構(gòu) 成向量空間；否則，不構(gòu)成向量空間成向量空間；否則，不構(gòu)成向量空間 . )1 , 0 , 0( 3 向向量量空空間間所所組組成成的的集集合合是是否否構(gòu)構(gòu)成成 不

17、不平平行行的的全全體體向向量量中中與與向向量量判判斷斷 R 例例5 5 解解 三、向量空間的判定 ),0)(1 , 0(),0 , 0( 21 kkk 對對向向量量 ),1 , 0 , 0(, 21 均均不不平平行行于于 ).1 , 0 , 0( 21 2021/6/1632 例例證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組 也是基礎(chǔ)解系也是基礎(chǔ)解系 四、基礎(chǔ)解系的證法 分析分析 (3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示方程組的任一解均可由該向量組線性表示 (1)該組向量都是方程組的解；該組向量都是方程組的解； (2)該組向量線性無關(guān)；該組向量線性無關(guān)； 要證明某

18、一向量組是方程組的基礎(chǔ)解要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解 系，需要證明三個(gè)結(jié)論系，需要證明三個(gè)結(jié)論: 0 AX 2021/6/1633 1 1 1 , ,.: (1),; (2), 1. (3), 1,1. n r n r n r AXb AXb nr AXbX nr 設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解 是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ) 解系證明 線性無關(guān) 是方程組的 個(gè)線性無關(guān)的解 方程組的任一解都可以表示為這 個(gè)解的線性組合 而且組合系數(shù)之和為 例例7 7 五、解向量的證法 2021/6/1634 . 0 )(, 0)1( 0 1 10 k kkk rn rn 其其中中必必有有 令令 證明證明 1 0 1

19、00 ,0. n r n r kk k kk 否則 有矛盾 所以 , 0 ,)(0 2 2 1 1 0 rn rnkkk k 則有則有式式代入代入將將 12 12 0, ,. n r n r kkk 于是線性無關(guān) 2021/6/1635 .,), , 2 , 1()2( 再再證證它它們們線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解都都是是 知知由由線線性性方方程程組組解解的的性性質(zhì)質(zhì) BAXrn i i 所所以以線線性性無無關(guān)關(guān)的的證證明明知知由由 則則 令令 ,)1( , 0)( , 0)()( 21 1 110 1 10 rn rn rnrn rn rn kkkkk kkk ., , 0 , 21 210 線

20、性無關(guān)線性無關(guān)故故 得得解之解之 rn rnkkkk 2021/6/1636 可可表表為為則則的的任任一一解解為為方方程程組組設(shè)設(shè)XBAXX,)3( rn rnttt X 2 2 1 1 )()( 1 1 rn rntt )( )()1( 1 11 rn rn rn t ttt 2021/6/1637 第四章測試題 一、填空題一、填空題( (每小題每小題5 5分，共分，共4040分分) ) .,1 , 2 , 0 , 1 , 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 1 4 321 線線性性相相關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)則則 設(shè)設(shè) k k .,0 , 3 , 1 ,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 2 4 321 線線性性無無關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)則則 設(shè)設(shè) tt 則則該該向向量量組組的的秩秩是是 已已知知向向量量組組 ,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3 ,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 3 4 321 2021/6/1638 則向量個(gè)數(shù)則向量個(gè)數(shù)線性表出線性表出 均可由向量組均可由向量組維單位向量組維單位向量組 , , . 4 2121 s n n 10100 11