考點03 利用函數(shù)的圖像探究函數(shù)的性質(zhì)（1）（解析版）[共10頁]

1、考點03 利用函數(shù)的圖像探究函數(shù)的性質(zhì)（1）【知識框圖】【自主熱身,歸納提煉】1、(2017蘇州暑假測試） 若函數(shù)的值域是,則實數(shù)的取值范圍是 【參考答案】 解析 作出函數(shù)的圖象,易知當時,要使的值域為,由圖可知,顯然且,即2、(2016蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研） 已知函數(shù)f(x)(x(1,2),則函數(shù)yf(x1)的值域為_【參考答案】0,2)解法1 由于平移不改變值域,故只需要研究原函數(shù)的值域畫出函數(shù)f(x)|2x2|的圖像由下圖易得值域為0,2)解法2 因為x(1,2),所以2x,2x2,所以|2x2|0,2)因為yf(x1)是由f(x)向右平移1個單位得到的,所以值域不變,所以yf(x1)的值域為0

2、,2)3、(2017蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)2x恰有三個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是_【參考答案】(1,2解法1 問題轉(zhuǎn)化為g(x)0,即方程f(x)2x有三個不同的解,即或解得或或因為方程f(x)2x有三個不同的解,所以解得1m2.解法2 由題意知函數(shù)g(x)畫出函數(shù)y42x和yx22x3的圖像,可知函數(shù)g(x)的三個零點為3,1,2,因此可判斷m在1與2之間當m1時,圖像不含點(1,0),不合題意；當m2時,圖像包含點(2,0),符合題意所以10時,要使它們有四個大眾點,則需ykx1與y(x1)有一個大眾點,此時kx1,即方程kx2x20有兩個相等的實數(shù)解,

3、從而18k0,解得k；當k0時,根據(jù)對稱性可得k.從而滿足條件的k的取值范圍是. 本題會忽視當直線與y相切時,其實就是有四個交點處理動直線與曲線交點時要注意兩個特殊情形：一是過端點,二是相切的時候5、(2017南京學情調(diào)研）已知函數(shù)f(x)當x(,m時,f(x)的取值范圍為16,),則實數(shù)m的取值范圍是_參考答案：2,8解析： 由于f(x)的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性及相關(guān)的性質(zhì),然后根據(jù)f(x)的取值范圍為16,),求出它的值等于16時的x的值,借助于函數(shù)f(x)的圖像來對m的取值范圍進行確定當x0時,f(x)12xx3,所以f(x)123x2.令f(x)

4、0,則x2(正值舍去),所以當x(,2)時,f(x)0,此時f(x)單調(diào)遞減；當x(2,0時,f(x)0,此時f(x)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在x0時的極小值為f(2)16.當x0時,f(x)2x單調(diào)遞減,f(0)0,f(8)16,因此,根據(jù)f(x)的圖像可得m2,8解后反思 根據(jù)函數(shù)的解析式來得到函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),然后由此畫出函數(shù)的圖像,借助于函數(shù)的圖像可以有效地進行解題,這就是數(shù)形結(jié)合的魅力6、(2017南京、鹽城二模） 若函數(shù)f(x)x2mcosxm23m8有唯一零點,則滿足條件的實數(shù)m組成的集合為_. 參考答案. 2思路點撥 首先判斷f(x)是偶函數(shù),而偶函數(shù)有唯一零點時,零點只能是x0

5、.解析：f(x)是偶函數(shù),若f(x)有唯一零點,故f(0)0,由f(0)0,得m22m80,解得m2或m4.當m2時,f(x)x22cosx2x24sin2,有唯一零點x0；當m4時,f(x)x24cosx4.因為f(2)4cos20,f()280,所以在(2,)內(nèi)也有零點,不合題意解后反思 因為f(0)0只是偶函數(shù)f(x)有唯一零點的必要條件,所以檢驗是必須的說明不充分常用舉反例的方法【問題探究,開拓思維】題型一、運用圖像研究函數(shù)零點的個數(shù)知識點撥：運用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的零點問題的關(guān)鍵要正確做出函數(shù)的圖像,觀察圖像交點的個數(shù)。由于參考答案依賴于圖像因此,要正確規(guī)范的做出圖像,該標的關(guān)鍵的點

6、、線要標出,另外有時為了更好地作圖也要多對函數(shù)進行調(diào)整,變成常見的函數(shù)。1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間2,4)上則函數(shù)的零點的個數(shù)為 【參考答案】. 5【解析】因為f(x4)f(x),可得f(x)是周期為4的奇函數(shù),先畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4)上的圖像,根據(jù)奇函數(shù)和周期為4,可以畫出f(x)在R上的圖像,由yf(x)log5| x|0,得f(x)log5| x|,分別畫出yf(x)和ylog5|x|的圖像,如下圖,由f(5)f(1)1,而log551,f(3)f(1)1,log5|3|1,可以得到兩個圖像有5個交點,所以零點

7、的個數(shù)為5. 本題考查了函數(shù)的零點問題,以及函數(shù)的奇偶性和周期性,考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想,函數(shù)的零數(shù)問題,常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像的交點個數(shù)來處理,其中能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖像并能靈活地運用圖像,找到臨界點是解題的關(guān)鍵也是難點【變式1】(2017南通期末） 已知函數(shù)f(x)是定義在1,)上的函數(shù),且f(x)則函數(shù)y2xf(x)3在區(qū)間(1,2 015)上的零點個數(shù)為_【參考答案】11【解析】解法1 由題意得當1x2時,f(x)設(shè)x2n1,2n)(nN*),則1,2),又f(x)f,當時,則x2n1,32n2,所以f(x)f,所以2xf(x)32x30,整理得x222n2x322n40

8、.解得x32n2或x2n2.由于x2n1,32n2,所以x32n2；當時,則x(32n2,2n),所以f(x)f,所以2xf(x)32x30,整理得x242n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x(32n2,2n),所以無解綜上所述,x32n2.由x32n2(1,2 015),得n11,所以函數(shù)y2xf(x)3在區(qū)間(1,2 015)上零點的個數(shù)是11.解法2 由題意得當x2n1,2n)時,因為f(x)f,所以f(x)maxf.令g(x).當x2n1時,g(x)g,所以當x2n1,2n)時,x2n1為y2xf(x)3的一個零點下面證明：當x2n1,2n)時,y2xf(x)3只有一個

9、零點當x2n1,32n2時,yf(x)單調(diào)遞增,yg(x)單調(diào)遞減,f(32n2)g(32n2),所以x2n1,32n2時,有一零點x32n2；當x(32n2,2n)時,yf(x),k1f(x),g(x),k2g(x),所以k1k2.又因為f(32n2)g(32n2),所以當x2n1,2n)時,y2xf(x)3只有一個零點由x32n2(1,2 015),得n11,所以函數(shù)y2xf(x)3在區(qū)間(1,2 015)上零點的個數(shù)是11.解法3 分別作出函數(shù)yf(x)與y的圖像,如圖,交點在x1,x23,x36,xn32n2處取得由x32n2(1,2 015),得n11,所以函數(shù)y2xf(x)3在區(qū)間

10、(1,2 015)上零點的個數(shù)是11.【變式2】（2017年江蘇試卷） 設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間0,1)上,f(x)其中集合D,則方程f(x)lgx0的解的個數(shù)是_【參考答案】 8【解析】首先f(x)0,1),所以方程f(x)lgx的解x01,10)由圖像可知,在9,10)上方程無解,方程在1,9)上的整數(shù)解只有x1.再按xkD和xkD兩種情況,討論f(x)lgx在(k,k1)上的解,其中k1,2,8.若xkD,且x(k,k1),其中k1,2,3,8,設(shè)xk,nN*且n2.則方程為lg,即10(n1)2n2,這樣的n不存在若xkD,且x(k,k1),其中k1,2,8,則方

11、程為xklgx.記g(x)xlgxk,則g(x)110,所以g(x)在(k,k1)上遞增因為g(k)lgk,g(k1)1lg(k1)0,所以在(1,2)內(nèi)無解,當k2,3,8時,在x(k,k1)內(nèi)各恰有一解,共有7解與類似,可證這些解都是無理數(shù),從而滿足xkD.綜上所述,方程共有8解【變式3】（2014年江蘇高考題）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于任意的x0,),滿足f(x2)f(x)若當x0,2)時,f(x)|x2x1|,則函數(shù)yf(x)1在區(qū)間2,4上的零點個數(shù)為_參考答案：7解析：作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖),則它與直線y1在2,4上的交點的個數(shù),即為函數(shù)yf(x)1在2,4的

12、零點的個數(shù),由圖像觀察知共有7個交點,從而函數(shù)yf(x)1在2,4上的零點有7個【關(guān)聯(lián)1】 已知函數(shù)f(x)當x0,100時,關(guān)于x的方程f(x)x的所有解的和為_【參考答案】10 000思路點撥 注意到方程f(x)x的解可以看做函數(shù)yf(x)與yx的圖像交點的橫坐標,同時,注意到f(x)f(x1)1具有“周期性”的特點,由此可作出的圖像,由圖像來得到解的規(guī)律,進而得到所有解的和分別作出函數(shù)yf(x)與yx的圖像(如圖)當x0,1)時,令f(x)(x1)22(x1)1x,即x2x0,此時兩根之和為1；由圖可知,當x1,2),x2,3)時,它們的兩個根的和組成公差為2的等差數(shù)列,從而當x0,10

13、0時,所有的解的和為10 000.題型二 、根據(jù)函數(shù)的零點確定參數(shù)的范圍知識點撥：求解函數(shù)的零點問題的填空題,其基本策略是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法來加以解決,在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時,一般地會將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點問題來加以解決,此時,為了方便起見,轉(zhuǎn)化后的兩個函數(shù),其中一個是不含參數(shù)的函數(shù),另一個是含有參數(shù)的函數(shù),即轉(zhuǎn)化為“一靜一動”兩個函數(shù),這樣,通過研究“動”函數(shù)的圖像與“靜”函數(shù)的圖像的相對位置關(guān)系就可以得到問題的解例1、(2019通州、海門、啟東期末） 函數(shù)f(x)有3個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍為_【參考答案】 【解析】 注意到x1時,f(x)x22ax的零點是可求的

14、,即x0(舍去)或x2a,為此,就需要對2a是否小于1來進行討論,若2a大于或等于1,則需要x1時,f(x)有三個零點,從而通過數(shù)形結(jié)合的方式來加以研究；若2a小于1,則需要x1時,f(x)有兩個零點,從而通過數(shù)形結(jié)合的方式來加以研究,進而得到問題的參考答案由x22ax0得x0或x2a,因為x1,所以x0不合題意(1)當2a1,即a0不滿足條件,故不成立若yxa與yex相交(如圖2),此時要有兩個交點,必需,解得1a1,即a時,如圖3,此時只可能有一個交點,故不成立綜上,實數(shù)a的取值范圍是.【變式1】、1、(2019揚州期末）已知函數(shù)f(x)a3|xa|有且僅有三個零點,并且這三個零點組成等差

15、數(shù)列,則實數(shù)a的值為_【參考答案】 或1【解析】 函數(shù)f(x)有且僅有三個零點,通常轉(zhuǎn)化為方程f(x)0有三相異實根,再轉(zhuǎn)化為兩個新函數(shù)的圖像有三個不同的交點,這兩個新函數(shù)如何構(gòu)建是關(guān)鍵,通常的原則是：一是兩個新函數(shù)圖像是常見初等函數(shù)圖像,二是一個函數(shù)圖像是定的,另一個函數(shù)圖像是動的,三是參數(shù)放在直線型中,即定曲線動直線,這樣便于解決問題,基于這三點,所以構(gòu)造的是函數(shù)y3與y|xa|a的圖像有且僅有三個不同的交點,再通過分類討論的思想方法和三個零點組成等差數(shù)列建立關(guān)于a的方程,從而求得a的值 注意所研究的函數(shù)為分段函數(shù)f(x)因此,分別來研究每一段中的零點的個數(shù),由于函數(shù)分為兩段,因此,只有兩

16、種可能,一段為兩個零點,另一段為一個零點另外,注意到當xa時,函數(shù)為f(x)x3不含參數(shù),可以直接求解,因此需對這兩個零點是否在解法1由f(x)a3|xa|0,得3|xa|a,原函數(shù)有三個零點,即可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y3與y|xa|a圖像有且僅有三個不同的交點,設(shè)三個交點的橫坐標為x1,x2,x3,且x1x20.如圖1所示,圖1)由解得x21,x34.又三個零點組成等差數(shù)列,則x2,得x16,則有3(6)2a,解得a符合題意(2)a0,但a0,則a滿足題意解法2因為f(x)所以由f(x)x30得x1或4.(1)若1a,即a1時,由于函數(shù)有三個零點,且成等差數(shù)列,所以,另一個零點x01,故24x0,從而

17、x06,故632a0,解得a,滿足條件；(2)若1a,即a1時,設(shè)函數(shù)f(x)x32a(xa)的兩個零點為x1,x2(x10,而a0)相切時有且僅有一個交點,交點即為切點(1,0),ky1,故函數(shù)f(x)與直線ykxk至少有兩個不同的交點時,k的取值范圍為(1,),即關(guān)于x的方程f(x)kxk至少有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為(1,)解后反思 本題旨在考查將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題從而運用函數(shù)與方程思想【變式3】(2018南京學情調(diào)研）已知函數(shù)f(x)若存在唯一的整數(shù)x,使得0成立,則實數(shù)a的取值范圍為_【參考答案】. 0,23,8 從形的角度來看,代數(shù)式“”表示了點(0

18、,a)與點(x,f(x)連線的斜率,因此,“存在唯一的整數(shù)x,使得0成立”等價于“存在唯一一個整點(0,a)與點(x,f(x)連線的斜率大于0.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,易知,點A(1,3),B(1,2),C(2,0),D(2,8)當a0時,則點M(0,a)與點C,以及點A連線的斜率都大于0,故不符；當0a2時,則僅有點M(0,a)與點A連線的斜率大于0,故符合；當2a8時,則點M(0,a)與點B,以及點D連線的斜率都大于0,故不符綜上,實數(shù)a的取值范圍為0,23,8 一般地,對于以下結(jié)構(gòu)的問題需要注意其式子的幾何意義：(1)表示兩點間的距離或向量的模；(2)k表示過點(a,b)與(x,y)

19、的直線的斜率；(3)AxBy與直線AxByC0的截距有關(guān)；(4)P(cos,sin)表示單位圓x2y21上的任意一點；(5)a2abb2與余弦定理有關(guān),在解題過程中可以利用這些式子的幾何意義達到簡化不等式來求解或證明的目的【變式4】(2019宿遷期末）已知函數(shù)f(x) 如果函數(shù)g(x)f(x)k(x3)恰有2個不同的零點,那么實數(shù)k的取值范圍是_. 【參考答案】 (1,0) 函數(shù)g(x)f(x)k(x3)恰有2個不同的零點,表示函數(shù)yf(x),yk(x3)的圖像有2個交點,所以關(guān)鍵是畫出函數(shù)yf(x)的圖像,將函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,2)上的圖像每一點的橫坐標和縱坐標都伸長2倍,就得到了yf(x)在區(qū)間2,4)上的圖像,將函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,4)上的圖像每一點的橫坐標和縱坐標都伸長2倍,就得到了yf(x)在區(qū)間4,8)上的圖像,依次類推,然后考察兩函數(shù)圖像有兩個交點時直線的斜率函數(shù)g(x)f(x)k(x3)恰有2個不