整理剪力與彎矩的計(jì)算方法

1、精品文檔7-2剪力與彎矩一、剪力和彎矩根據(jù)作用在梁上的已知載荷，求出靜定梁的支座反力以后，梁橫截面上的內(nèi)力可利用前面講過(guò)的“截面法”來(lái)求解，如圖7-8a所示簡(jiǎn)支梁在外力作用下處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)在討論距A支座距離為x的m-m截面上的內(nèi)力。圖7-8簡(jiǎn)支梁指定截面的剪力、彎矩計(jì)算根據(jù)截面法計(jì)算內(nèi)力的基本步驟“切、代、平”，計(jì)算梁的內(nèi)力的步驟為： 、首先根據(jù)靜力平衡方程求支座反力FAy和FBy，為推導(dǎo)計(jì)算的一般過(guò)程，暫且用FAy和FBy代替。 、用截面假想沿 m - m處把梁切開(kāi)為左、右兩段，如圖 7-8b、7-8c所示，取左段梁為脫離體，因梁原來(lái)處于平衡狀態(tài)，所以被截取的左段梁也同樣保持平衡狀態(tài)。從圖

2、7-8b中可看到，左段梁上有一向上的支座反力FAy、向下的已知力R作用，要使左段梁不發(fā)生豎向移動(dòng)，則在 mm截面上必定存在一個(gè)豎直方向的內(nèi)力Fs與之平衡；同時(shí)，F(xiàn)Ay、pi對(duì)m -m截面形心0點(diǎn)有一個(gè)力矩，會(huì)引起左段梁轉(zhuǎn)動(dòng)，為了使其不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，在m-m截面上必須有一個(gè)力偶矩 M與之平衡，才能保持左段梁的平衡。Fs和m即為梁橫截面上的內(nèi)力，其中內(nèi)力Fs使橫截面有被剪開(kāi)的趨勢(shì)，稱為剪力；力偶矩 M將使梁發(fā)生彎曲變形， 稱為彎矩。由于外載荷的作用線垂直于梁的軸線，所以軸力為零，通常不予考慮。剪力Fs和彎矩M的大小可由左段梁的靜力平衡方程來(lái)求解。由送 丫 =0 得：FAyRFs=0，得Fs=FAy-

3、R由瓦 Mo=0 得.FAyX+ R（Xa ）+M =0 得M = Fax R（x a ）如圖7-8c所示，如果取右段梁為脫離體，同樣可求得 m-m截面的剪力Fs和彎矩m。根據(jù)作用力與反作用力原理，右段梁在m-m截面上的剪力 Fs和彎矩m與左段梁在m -m截面上的剪力Fs和彎矩M應(yīng)大小相等，方向相反。二、剪力與彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定從上面的分析可知， 用截面法將梁切開(kāi)分成兩段，同一截面上的內(nèi)力， 取左段梁為脫離體和取右段梁為脫離體所得結(jié)果雖然數(shù)值相等，但方向卻是相反的，為此根據(jù)剪力和彎矩引起梁的變形情況來(lái)規(guī)定它們的正負(fù)號(hào)。 、剪力正負(fù)號(hào)的規(guī)定如圖7-9a、7-9b所示，在橫截面 mm處，從梁中取出一

4、微段，若剪力Fs使微段順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，則該截面上的剪力為正；反之為負(fù)。 、彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定如圖7-9c、7-9d所示，在橫截面 mm處，從梁中取出一微段，若彎矩M使微段產(chǎn)生向下凸的變形，即上部受壓，下部受拉，則該截面上的彎矩為正； 反之為負(fù)。為方便起見(jiàn)，在計(jì)算時(shí)通常將剪力和彎矩假設(shè)成正方向，它的實(shí)際方向根據(jù)最后計(jì)算結(jié)果的正負(fù)號(hào)來(lái)確定，如果計(jì)算結(jié)果為正，則說(shuō)明實(shí)際方向與假設(shè)方向相同；否則，相反。三、用截面法求指定截面上的內(nèi)力下面舉例說(shuō)明用截面法求梁指定截面上的內(nèi)力。例7-1如圖7-10a所示外伸梁，試計(jì)算 1-1、2-2和3-3截面上的剪力和彎矩。3k N * niA4mmnwmnwnl A9

5、3kN/mlwM)3kN/AC6圖7-10 外伸梁指定截面的內(nèi)力計(jì)算FAy和FBy，根據(jù)梁的整體平衡方程：FBy 漢 6 _3匯6匯5 + 3 = 0 得 FBy =14.5 (kN)FAy FBy _ 36=0 得 F Ay = 3.5 kN解：、求梁的支座反力由 Ma =0丫丸， 、求1-1截面上的內(nèi)力將剪力Fsi、彎矩 由 丫,在1-1截面處將梁切開(kāi)成左右兩段，取左段為脫離體，受力圖如圖7-10b所示,M1的方向都按規(guī)定的正方向標(biāo)出。根據(jù)脫離體的平衡方程得：FAy-Fs1=0 得 Fs1=FAy=3.5 (kN)1-1截面的形心取矩 Ms :得 M 1 = FAy 1 = 3.5 kN

6、.m由所有外力對(duì)-FAy 1 M0求得1-1截面的剪力Fs1及彎矩M1均為正值，表示所假設(shè)的Fs1及M 1的方向 與實(shí)際方向相同，在脫離體上，剪力和彎矩的方向一律設(shè)為正向，計(jì)算結(jié)果為正則內(nèi)力就為正，計(jì)算結(jié)果為負(fù)則內(nèi)力就為負(fù)。 、求2-2截面上的內(nèi)力在2-2截面處將梁切開(kāi)成左右兩段，取左段為脫離體，受力圖如圖7-10C所示,將剪力Fs2、彎矩M2的方向都按規(guī)定的正方向標(biāo)出。根據(jù)脫離體的平衡方程得：由 送丫 = 0, FAy -3T Fs2 =0，得 Fs2 = FAy6 = -2.5 (kN)由所有外力對(duì)2-2截面的形心取矩 M02 = :FAy 漢4+3 + 32d+M2=0 得 M2=FAy

7、 4-3-3 2 仁 5 kN.m求得2-2截面的剪力Fs2為負(fù)值，表示所假設(shè) Fs2的方向與實(shí)際方向相反。 、求3-3截面上的內(nèi)力在3-3截面處將梁切開(kāi)成左右兩段，如果取左段為脫離體進(jìn)行計(jì)算，則作用在左段上的載荷較多，計(jì)算要麻煩一些，為方便起見(jiàn)，通常取受力較簡(jiǎn)單的右段進(jìn)行計(jì)算，受力圖如圖 7-10d所示，將剪力Fs3、彎矩M3的方向都按規(guī)定假設(shè)成正方向，根據(jù)脫離體的平衡方程 得：由無(wú)丫=0， Fs33如=0，得 Fs3=3 （kN）由所有外力對(duì)3-3截面的形心取矩 Mg = 0 :M3 3如/2=0 得 M3 =3/2 =1.5 （kN.m ）求得3-3截面的彎矩M3為負(fù)值，表示所假設(shè) M3

8、的方向與實(shí)際方向相反。由上面例題看出，截面上的剪力和彎矩與梁上外力之間存在著下列關(guān)系： 、梁內(nèi)任一橫截面上的剪力Fs，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力的代數(shù)和。 、梁內(nèi)任一橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和。從上面例題看出，剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)還可以由外力方向直接來(lái)確定：、截面左側(cè)向上的外力與截面右側(cè)向下的外力引起該截面的剪力為正，反之為負(fù)。、截面左側(cè)與截面右側(cè)向上的外力引起該截面上的彎矩為正，反之為負(fù)。當(dāng)取左段進(jìn)行分析時(shí)，任意截面的剪力等于所有向上的載荷減去所有向下的載荷，即:Fs 二二二:(7-1)如果取右段進(jìn)行分析時(shí)，則有：_

9、Fs八 （也即Fs八）；當(dāng)取左段（或右段）進(jìn)行分析時(shí)，任意截面的彎矩等于所有產(chǎn)生向上的線位移的力對(duì)該 點(diǎn)之矩減去所有產(chǎn)生向下的線位移的力對(duì)該點(diǎn)之矩，即：(7-2)利用式7-1、72可以直接寫(xiě)出指定截面的剪力和彎矩。四、計(jì)算剪力、彎矩的簡(jiǎn)便方法彎矩，從而利用上面的關(guān)系，可以直接根據(jù)作用在梁上的外力計(jì)算出任意截面的剪力、 省去取脫離體列平衡方程的步驟，使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化。=0 ：_卩人漢3+6匯2漢1=0，得FAy =4 kNF By。例7-2計(jì)算圖7-11所示梁1-1和2-2截上的內(nèi)力。 解：、求支座反力由梁的整體平衡方程：如果每次取左段進(jìn)行分析，則可以不必計(jì)算右端的支座反力利用式7-1、7-2，可以直接得到1-1、2-2截面的剪力、彎矩:Fs = FAy = 4 kNFs2 二 FAy -6 1 = -2 kN特別注意：當(dāng)取左段進(jìn)行分析時(shí)，支座反力 Ay向上，取止號(hào)，均布載荷向下取負(fù)號(hào)。A j j 2 4 i B圖7