專題16 對數(shù)函數(shù)（講）（解析版）

1、2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講練測（新教材人教A版必修第一冊）專題16對數(shù)函數(shù)（講）本節(jié)知識點與題型快速預(yù)覽知識點課前預(yù)習(xí)與精講精析1對數(shù)函數(shù)的定義一般地,我們把函數(shù)ylogax(a0,且a1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,).知識點撥(1)由于指數(shù)函數(shù)yax中的底數(shù)a滿足a0,且a1,則對數(shù)函數(shù)ylogax中的底數(shù)a也必須滿足a0,且a1.(2)對數(shù)函數(shù)的解析式同時滿足：對數(shù)符號前面的系數(shù)是1；對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正實數(shù)(常數(shù))；對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地,對數(shù)函數(shù)ylogax(a0,且a1)的圖象和性質(zhì)如下表所示：a10a1圖象性質(zhì)定義

2、域：(0,)值域：R圖象過定點(1,0),即當x1時,y0在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)非奇非偶函數(shù)3.反函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0,且a1)和指數(shù)函數(shù)yax(a0,且a1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線yx對稱4對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)yfg(x)是由yf(x)與yg(x)復(fù)合而成,若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反,則其復(fù)合函數(shù)fg(x)為減函數(shù).對于對數(shù)型復(fù)合函數(shù)ylogaf(x)來說,函數(shù)ylogaf(x)可看成是ylogau與uf(x)兩個簡單函數(shù)復(fù)合而成的,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律即可判斷

3、另外,在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先要考慮函數(shù)的定義域5對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域?qū)τ谛稳鐈logaf(x)(a0,且a1)的復(fù)合函數(shù),其值域的求解步驟如下：(1)分解成ylogau,uf(x)兩個函數(shù)；(2)解f(x)0,求出函數(shù)的定義域；(3)求u的取值范圍；(4)利用ylogau的單調(diào)性求解1已知函數(shù),若,則_【參考答案】-7【解析】根據(jù)題意有,可得,所以,故參考答案是.2函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_.【參考答案】【解析】由題意,函數(shù)滿足,解得或,即函數(shù)的定義域為,令,則函數(shù)在單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故參考答案為.3函數(shù)在上是x的減函數(shù),則實數(shù)a的取

4、值范圍是_【參考答案】【解析】函數(shù),所以真數(shù)位置上的在上恒成立,由一次函數(shù)保號性可知,當時,外層函數(shù)為減函數(shù),要使為減函數(shù),則為增函數(shù),所以,即,所以,當時,外層函數(shù)為增函數(shù),要使為減函數(shù),則為減函數(shù),所以,即,所以,綜上可得的范圍為.故參考答案為.4方程的解_【參考答案】【解析】解：,經(jīng)檢驗滿足故參考答案為：.5已知,則等于_.【參考答案】2014【解析】令,則,故參考答案為2014典型題型與解題方法重要考點一：對數(shù)函數(shù)概念【典型例題】下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是( )AB CD 【參考答案】C【解析】由對數(shù)函數(shù)定義可以,本題選C【題型強化】已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點M（9,2）,則此對數(shù)函數(shù)的解析式

5、為Ay=log2xBy=log3xCy=logxDy=logx【參考答案】B【解析】設(shè)函數(shù)f（x）=logax（x0,a0且a1）,對數(shù)函數(shù)的圖象過點M（9,2）,2=loga9,a2=9,a0,解得a=3此對數(shù)函數(shù)的解析式為y=log3x故選B【收官驗收】若函數(shù)y(a23a3)logax是對數(shù)函數(shù),則a的值為_【參考答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義結(jié)合題意可知：,據(jù)此可得：.【名師點睛】對于對數(shù)概念要注意以下兩點：(1)在函數(shù)的定義中,a0且a1.(2)在解析式y(tǒng)logax中,logax的系數(shù)必須為1,真數(shù)必須為x,底數(shù)a必須是大于0且不等于1的常數(shù)重要考點二：對數(shù)函數(shù)的定義域【典型例題】函

6、數(shù)的定義域為_【參考答案】【解析】要使對數(shù)函數(shù)有意義,則需真數(shù)大于0,即需使解得或,所以函數(shù)定義域為,故填：.【題型強化】函數(shù)的定義域為_.【參考答案】【解析】對函數(shù)有意義,即.故參考答案為：【收官驗收】對數(shù)表達式中的的取值范圍是_【參考答案】【解析】由題意可得,解得且,所以的取值范圍是.故參考答案為：【名師點睛】定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ),若已知函數(shù)解析式求定義域,常規(guī)為：分母不能為零,0的零次冪與負指數(shù)次冪無意義,偶次方根的被開方式(數(shù))非負,求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時,除遵循前面求函數(shù)定義域的方法外,還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意底數(shù)；三是按底數(shù)的取值

7、應(yīng)用單調(diào)性重要考點三：忽略對數(shù)函數(shù)的定義域致錯【典型例題】已知函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域為R,求a的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.【參考答案】（1）；（2）.【解析】（1）（2）因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),故只需在上單調(diào)遞減,且.則且,解得且.故.【題型強化】已知函數(shù)=其中且.（1）求函數(shù)的定義域；（2）若,求的取值范圍.【參考答案】（1） （2）參考答案見解析【解析】(1)由,得函數(shù)的定義域為；(2)當時,由得,解得,當時,由得,解得,綜上可知：當時,x的取值范圍為,當時,x的取值范圍為.【收官驗收】已知函數(shù)（1）求的值；（2）求函數(shù)的定義域（3）判斷函數(shù)的奇偶性

8、,并證明.【參考答案】(1)；(2)；(3)偶函數(shù),證明見解析【解析】(1)令,則(2)由題意:,解得,故定義域為；(3)函數(shù)為偶函數(shù)證明：對任意,由偶函數(shù)的定義可得函數(shù)為偶函數(shù)重要考點四：底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖像的影響【典型例題】圖中曲線是對數(shù)函數(shù)的圖象,已知取,四個值,則相應(yīng)于,的值依次為A,B,C,D,【參考答案】A【解析】解：由已知中曲線是對數(shù)函數(shù)的圖象,由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得,的值從小到大依次為：,由取,四個值,故,的值依次為,故選：【題型強化】已知函數(shù)為常數(shù),其中的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是（ ）Aa1,c1Ba1,0c1C0a1,c1D0a1,0c1【參考答案】D【解析】解：由

9、圖可知,的圖象是由的圖象向左平移個單位而得到的,其中,再根據(jù)單調(diào)性易知.故選：D.【收官驗收】在同一坐標系中,函數(shù)與的圖象都正確的是（ ）ABCD【參考答案】A【解析】因為,所以函數(shù)單調(diào)遞減,排除B,D.因為,所以函數(shù)單調(diào)遞減.排除C.故本題選A.【名師點睛】觀察下列對數(shù)函數(shù)圖象,分析底數(shù)a的變化對函數(shù)圖象的影響,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(1)不管a1還是0abaBbcaCacbDabc【參考答案】D【解析】,；且；.【題型強化】設(shè),則（ ）ABCD【參考答案】A【解析】因為,所以.故選：A.【收官驗收】設(shè)alog54,b（log53）2,clog45,則（）AacbBbcaCabcDbac【參考答

10、案】D【解析】alog54log551,b（log53）2（log55）21,clog45log441,所以c最大單調(diào)增,所以又因為所以ba所以ba0函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域是（2）是奇函數(shù)證明：函數(shù)的定義域為,定義域關(guān)于原點對稱（或證明）是奇函數(shù)【題型強化】已知函數(shù).（1）若為奇函數(shù),求a的值；（2）在（1）的條件下,若在上的值域為,求m,n的值.【參考答案】（1）（2）,【解析】（1）為奇函數(shù),即,解得（舍去）.（2）由（1）知,則,即或解得,即其定義域為.時,為減函數(shù),而在定義域內(nèi)為增函數(shù),在其定義域內(nèi)是減函數(shù).又在上的值域為,無意義,.即,.【收官驗收】已知(1)求的定義域；(2)判

11、斷的奇偶性并予以證明；(3)求使的的取值范圍【參考答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.【解析】(1)由0 ,解得x(1,1)(2)f(x)logaf(x),且x(1,1),函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)(3)若a1,f(x)0,則1,解得0x1；若0a0,則01,解得1x0.重要考點九：忽視對數(shù)函數(shù)的定義域而致誤【典型例題】函數(shù)的定義域為_【參考答案】【解析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于0,化簡可得：故：,解得或函數(shù)的定義域為：故參考答案為：【題型強化】方程的解是_.【參考答案】【解析】解：,所以有： 解得： 故參考答案為：.【收官驗收】函數(shù)的定義域是R,則a的取值范圍是_.【參考答案】0,4）【解析】當a

12、=0時,函數(shù)解析式為：,其定義域為,滿足題意,當時,應(yīng)滿足：,求解不等式組可得：,綜上可得,實數(shù)的取值范圍是0,4）.故參考答案為0,4）重要考點十：綜合應(yīng)用所學(xué)知識分析解決問題的能力【典型例題】已知函數(shù)且當時,求實數(shù)x的取值范圍若在上的最大值大于0,求a的取值范圍【參考答案】（1）；（2）【解析】（1）當a=3時,得（2）a0,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,當a1時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,得即a,又a1,故a1；當0a1時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,得；又因為在上恒成立,故,即綜上：的取值范圍.【題型強化】已知函數(shù)f（x）lg（axbx）,a1b0（1）求f（x）的定義域；（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同

13、的兩點,使過這兩點的直線平行于x軸；（3）當a,b滿足什么條件時,f（x）在（1,+）上恒取正值【參考答案】（1）（0,+）（2）見解析（3）ab1【解析】解：（1）由axbx0得,由于所以x0,即f（x）的定義域為（0,+）（2）任取x1,x2（0,+）,且x1x2；f（x1）f（x2）a1b0,yax在R上為增函數(shù),ybx在R上為減函數(shù),即又ylgx在（0,+）上為增函數(shù),f（x1）f（x2）f（x）在（0,+）上為增函數(shù)所以任取x1x2則必有y1y2故函數(shù)f（x）的圖象L不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸（3）因為f（x）是增函數(shù),所以當x（1,+）時,f（x）f（1）,這樣只需f（1）lg（ab）0,即當ab1時,f（x）在（1,+）上恒取正值【收官驗收】已知函數(shù).（1）當時,求；（2）求解關(guān)于的不等式；（3）若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【參考答案】（1）；（2）當時,的解集為,當時；（3）.【解析】（1）當時,（2）由得：或當時,解不等式可得：或當時,解不等式可得：或綜上所述：當時,的解集為；當時,的解集為（3）由得：或當時,或,解得：當時,或,解得：綜上所述：的取