用叉乘求法向量

1、向時，大拇指所指的方向規(guī)定為f y1乙X1Z1X1y1、y y2z2JX2 zx2 y2(注:1、二階行列式：M二=ad -cb ； 2、適合右手定則。）A1C1已知，a(2,1,0),bl(-1,2,1)，試求(1): aK b; (2)： b漢a.圖1-1平面法向量的求法及其應用一、平面的法向量仁定義：如果a _,那么向量a叫做平面:-的法向量。平面:-的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。2、平面法向量的求法方法一（內積法）：在給定的空間直角坐標系中，設平面的法向量n-（x,y,1）或44-14 Hn =（x,1,z），或n =（1,y,z），在平面:-內任找兩個不共線的向量a,b。

2、由n工，得n a =0且n b =0，由此得到關于x, y的方程組，解此方程組即可得到n。方法二：任何一個 x, y,z的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是x, y,z的一次方程。Ax By Cz D = 0 （A,B,C不同時為0），稱為平面的一般方程。其法向量n =（A,B,C）；若平面與3個坐標軸的交點為 R（a,0,0）,P2（0,b,0）,R（0,0,c）,如圖所示,則x y z平面方程為：1,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法a b c向量。方法三（外積法）：設，.為空間中兩個不平行的非零向量，其外積 a b為一長度等于|a|b|s d ,（

3、0為.兩者交角，且0 二），而與皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由.的方向轉為的方T TT T T Ta b 的方向，ab-ba。TT T(x1,y1,z1),b =(x2,y2,z2),則：a b 二xT TT TKey: (1) a (12,5) ;(2) b a =(-1,2,5)例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體 ABCD - AB6U 中,/T n廠4/a 8_1平面法向量的應用n t t2-5ABT T 兀n AB-arccos 2In|AB|n AB 二 二:n, AB -一二arccos-2t t22In I |AB| 2求平面AEF的一個法向量n。key:

4、法向量n； AF AE二（1,2,2）m1aB所成的角為30m圖2-1圖 2-1-2圖 2-1-2:二T Tn,AB量，AB是平面:-的一條斜線Tn分別是平面：T（2）、求面面角：設向量m1、求空間角圖 2-1-1:二:的法向量，則二面角-丨-：的平面角為T、求線面角：如圖2-1,設n是平面的法向A三卅，則AB與平面sin j -| cos :04圖2-2圖2-32-2m n e 、- m, n *= arccos （圖 2-2）;|m| |n|T T、m nv - ：m, n - ： - arccos（圖 2-3）|m| |n|兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角

5、。約定，在圖TT門T中，m的方向對平面:-而言向外，n的方向對平面：而言向內；在圖2-3中，m的方向對 平面而言向內，n的方向對平面：而言向內。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“外 積”，滿足“右手定則”）使得兩個半平面的法向量一個向內一個向外，則這兩個半平面的法 向量的夾角即為二面角 -:的平面角。2、求空間距離（1 ）、異面直線之間距離：方法指導：如圖2-4,作直線a、b的方向向量a、b , 求a、b的法向量n，即此異面直線 a、b的公垂線的方向向量;d = 1AB *n 1,其中 n _ a, n _ b, A a, B b(2)、點到平面的距離：方法指導：如圖2-5,若點B為平面a外一

6、點，點A為平面a內任一點，平面的法向量為n，則點p到T T平面a的距離公式為d = 1 An|(3 )、直線與平面間的距離：方法指導：如圖2-6,直線a與平面之間的距離:AB n，其中A - ,B a。n是平面:-的法向量(4 )、平面與平面間的距離：方法指導：如圖2-7兩平行平面:之間的距離:nT TId二1AB *n 1，其中A ，B :。n是平面：、1的法向量。|n|3、證明圖2-8.T(1 )、證明線面垂直：在圖 2-8中,m向是平面a的法向量,直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線(T(2)、證明線面平行：在圖 2-9中,m向是平面G的法向量,Ta是直線的方向向量，證明

7、平面的法向量與直線所在向量垂直(T T m a = 0）。TT(3)、證明面面垂直：在圖 2-10中，m是平面的法向量，n是平面T T的法向量，證明兩平面的法向量垂直(mn =0)圖 2-11a口圖 2-10圖2-9在直線a、b上各取一點 A、B,作向量 AB ； 求向量 AB在n上的射影d，則異面直線a、b間的距離為 (4)、證明面面平行：在圖2-11中，m向是平面ot的法向量，n是平面-的法向量，證明兩平面的法向量共線(m -，n )。三、高考真題新解1、( 2005全國1, 18)(本大題滿分12分)已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB / DC ,1./DAB =9

8、0 , PA _底面 ABCD，且 PA=AD=DC= AB=1 ,2MM是PB的中點.(I)證明：面 PAD丄面PCD ;(H)求AC與PB所成的角；(川)求面 AMC與面BMC所成二面角的大小. 解：以A點為原點，以分別以AD , AB , 如圖所示.圖 3-1 CAP為x軸,y軸，z軸,建立空間直角坐標系 A-xyz(I). AP = (0,0,1)，AD =(1,0,0)，設平面PAD的法向量為m=AP AD=(0,-1,0)又 DC =(0,1,0)，DP =(-1,0,1)，設平面T T TPCD的法向量為n = DC DP= (1,0,1)T TT T.m*n=0, . m_n，

9、即平面 PAD-平面PCD。TT(II ). AC =(1,1,0)，PBT TACPBT f=(0,2,-1)，: AC, PB = arccos |AC|PB|V10-arccos5CA =(-1,-1,0)，設平在AMC的法向量為AB圖T1(III ) CM =(-1,0,2),丿 1 1m =CM CA=( ,1).2 21 1又 CB =(-1,1,0),設平面PCD的法向量為n -CM CB =(,廠1).2 2T Tm*n/ 2、:m, n *=arccosarccos(- ).|m|n|322-面AMC與面BMC所成二面角的大小為 arccos().或蔥-arccos-332、

10、(2006年云南省第一次統(tǒng)測 19題)(本題滿分12分)如圖3-2，在長方體 ABCB ABCD中，已知 AB= AA = a, BC= . 2 a, M是 AD的中點。(I )求證：AD/平面ABC（II）求證：平面 AMCL平面ABD;（皿）求點A到平面AMC的距離。D-xyz如圖所示.的法向量為解：以D點為原點,分別以DA,DC,DD為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系(I). BC =(- . 2a,0,0) , BA(0a,a),設平面 A1BCn -BC BA(0. 2a2, ,2a2)f/T TT T又 AD2a,0,0),. n AD =0, AD _ n ,即 AD/平面

11、A1BC.(II ). MC =( ； a,0,a) , MA。2 a a 0),設平面 AMC2的法向量為：m = MC MA -(a2,12a2, 22 2a2),又=(- 2a,-a,a) , BA1= (O,-a,a),設平面ABD的法向量為： 、 2 2n 二 BD1 BA1 二(0, 2a , . 2a ),T TT T.m*n =0,. m _ n ,即平面 A1MC平面 AiBDi.（III ）.設點A到平面AiMC的距離為d,T T T m =MC MAi四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”= （a： a ）是平面A1MC的法向量，2 2T T 又 MA =(上2a,0,0), . a點到平面A1MC的距離為：d Jm*MA|2T2|m|（1）、建立空間直角坐