嵌套函數(shù)零點問題---徐明進---教師版

1、嵌套函數(shù)零點問題一、基礎(chǔ)知識: 1、嵌套函數(shù)定義：設(shè))，= /), . = g(x),且函數(shù)g(M的值域為了)定義域的子集， 那么)，通過/的聯(lián)系而得到自變量X的函數(shù)，稱)，是X的嵌套函數(shù)，記為y = /g(x) 2、嵌套函數(shù)函數(shù)值計算的步驟：求y = g/(x)函數(shù)值遵循由內(nèi)到外”的順序，一層層 求出函數(shù)值。例如：已知/(x) = 2g(x) = Y五，計算g/(2)解：2) = 2? =4 .g/(2) = g(4) = 123、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求工的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一 層層拆解直到求出x的值。例如：已知/( = 2，&(戈)=/_2工，若g/(x) =

2、 O, 求x,解：令z = /(x),則8(/) = 0 =/-2/=0解得/ = 01=2當p=0 = /(x) = 0 = 2=0,則xe0；當f = 2 = /(x) = 2 = 2、=2,則x = l； 綜上所述：x = 由上例可得，要想求出g/(x) = 0的根，則需要先將/(x)視為整體，先求出/(x) 的值，再求對應(yīng)x的解，這種思路也用來解決嵌套函數(shù)零點問題，先回顧零點的定義：4、函數(shù)的零點：設(shè)/(x)的定義域為。，若存在玉)eO,使得/(與)=0,則稱x = x0為 /(的一個零點5、嵌套函數(shù)零點問題的特點：考慮關(guān)于x的方程g/(x) = 0根的個數(shù)，在解此類問題時， 要分為兩

3、層來分析，第一層是解關(guān)于/(X)的方程，觀察有幾個/(X)的值使得等式成立： 第二層是結(jié)合著第一層/(x)的值求出每一個/(x)被幾個x對應(yīng)，將x的個數(shù)匯總后即為 g/(x) =。的根的個數(shù)6、求解嵌套函數(shù)y = g/(x)零點問題的技巧：(1)此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出了(x),g(x)的圖像(2)若已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計關(guān)于/(x)的方程g/(%) = 0中/(x)解 的個數(shù)，再根據(jù)個數(shù)與/(x)的圖像特點，分配每個函數(shù)值(x)被幾個x所對應(yīng)，從而確 定工(工)的取值范圍，進而決定參數(shù)的范圍復合函數(shù)：二、典型例題1-豐 1例1 ：設(shè)定義域為R的函數(shù)/

4、(%)= |%-1|,若關(guān)于x的方程.x = 1f1 (x)+bf (x) + c =。由 3 個不同的解 0工2，*3 則 X： +X； +X； = 思路：先作出了(X)的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對于任意的兒，滿足 = /(1)的X的個數(shù) 分別為2個(%0,%工1)和3個(% = 1),已知有3個解，從而可得/(x) = l必為 /2(x) + (x) + c = 0的根，而另一根為1或者是負數(shù)。所以%)=1,可解得:2=0,占=1，匕=2 ,所以x：+x；+x；=5 答案：5例2：關(guān)于X的方程(一小2一卜2 = 0的不相同實根的個數(shù)是()A. 3B. 4C. 5D. 8思昭:可將k2一視為一個

5、整體，即(工)=卜2一1卜則方程變?yōu)楫a(chǎn)3, + 2 = 0可解得： f = l或1 = 2,則只需作出，工)=k2-1的圖像，然后統(tǒng)計與1=1與，=2的交點總數(shù)即可, 共有5個答案：C例 3：已知函數(shù)/(x)=lx + L-lx-|,關(guān)于 X 的方程/2(x) + d/(x)|+Z? = 0 XX(。力/?)恰有6個不同實數(shù)解，則。的取值范圍是 思路：所解方程/2(x)+a|/(x)|+z?=o可視為|/(工)+叩3卜/?=0,故考慮作出-,x則|/(x)|的圖像X|/(x)的圖像:/W=2x,0 x 12x,1 x 0二 x-如圖，由圖像可知，若有6個不同實數(shù)解，則必有X力(x) = 2,0

6、v4(x)v2,所以一。= /(x) +力(x)e(2,4), 解得-4vv2 ：答案：-46/ -22|r-，l-l,0x0時，f(x) = 1,則關(guān)于x的方,(x 2口 2程6/(x)丁 -x)i=o的實數(shù)根個數(shù)為()A. 6B. 7C. 8D. 9得/ (1) = /(x) = _,，只需統(tǒng)計思路:已知方程6/(x)2/(x) l = 0可解， 丁 = _!_,)，= 一，與y = /(X)的交點個數(shù)即可。由奇 函數(shù)可先做出x 0的圖像，x 2時， /(%) = l/(x-2),則x2,4的圖像只需將 不(0,2的圖像縱坐標縮為一半即可。正半軸圖像 完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負半軸圖

7、像。通 過數(shù)形結(jié)合可得共有7個交點 答案：B【重要提醒】在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點屬于哪一段區(qū)間。例5：已知函數(shù)4x + 3,若方程/(x)T+(x) + c = O恰有七個不相同的 實根，則實數(shù)的取值范圍是()A. (2,0)C. (0,1)D. (0,2)第9頁共20頁思路：考慮通過圖像變換作出/(x)的圖像(如圖)，因為/(x)+zy.(x) + c = o最多只 能解出2個/(x),若要出七個根，則/(x) = l/(x)0,l),所以 。/(式)+ &(x)(1,2),解得：e(2,1) , 答案：B例6、已知函數(shù)/(%) = 00+1的零點個數(shù)判斷正確的是()Mj時，

8、有。時，零點 MaB.當00時，有3個零點：當”0時，有2個零點 MHIC.無論。為何值，均有2個零點 D.無論。為何值，均有4個零點思路：所求函數(shù)的零點，即方程/(工)=-1的解的個數(shù)，先作出/(x)的圖像，直線y = ca + l為過定點(0,1)的一條直線，但需要對。的符號進行分類討論，當。0時，圖像 21如圖所示，先拆外層可得力(X)=一二 0）已知函數(shù)/*） =（ ）,則實數(shù)1k一2是關(guān)于x的方程/2（x） + /（x） +，= 0.lg（T）（X 0設(shè)定義域為R的函數(shù)fM = 一 ，若關(guān)于x的方程 + 4x + 4,xo)-x2 -2x (x0)則關(guān)于x的函數(shù)y = 2/2(x)

9、3/(x) + l的零點的個數(shù)為【答案】7已知函數(shù)/(%) = x+l,x 0則函數(shù)y = /(/。)一1的零點個數(shù)為ax+ ,x 0【答案】3則下列關(guān)于函數(shù)y = /(/Cv)+1的零點個數(shù)的判斷正確的是()4、當。0時，有4個零點：當avO時，有1個零點B、當0時，有3個零點：當。無論。為何值，均有4個零點 【答案】A已知函數(shù)f(x)=0)(2)零點，下列判斷不正確的是() A.若，= Lg(x)有一個零點4C.若f = -2,g(x)有三個零點函數(shù)g(x) = /2(x)+ /(%) +.關(guān)于 g(x)的B .若一2v，vLg(x)有兩個零點4D.若fv-2,g(x)有四個零點【答案】D

10、則關(guān)于x的方程 f2(x) + bf(x) + c = o有5個不JX+ - (X H 0)已知函數(shù)/(x)= X0(x=0)同的實數(shù)解的充要條件是()A、一2且c0 B、2且cvOC、bv-2且c = 0D、人之一2且c = 0【答案】C則函數(shù)y = /(x)+l的零點個數(shù)為(A、2B、3C、4D、5【答案】Cax + ,x02時，關(guān)于x的方程/(x) = a的實數(shù)解的第15頁共20頁個數(shù)為()A、2B、3C、4D、5【答案】C21+2已知函數(shù)/(“=2，則函數(shù)物(x) = /x)_2/(x)二的零點個2數(shù)為(A、4B、5C、6【答案】AD、7已知函數(shù)/(*)=|log5(l-x)| , X

11、1(x 2) +2,xNl1，則方程/ X + -2=。的實根個數(shù)不可能()A、8B、7C、6D、5【答案】D已知/)是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意的XR，都有/(2 + x)+/(x) =。，當xwO,l時,/(x)=-x2 + l ,若d/2-八(x)+3 = 0在區(qū)間一1,5上有5個根,則這定義在r上的函數(shù)、）=氐不,關(guān)于x的函數(shù)g（x）=/2（x）+va）+1有5個 2不同的零點X，工2，工3，羽，兌，貝Ijx：+X；+X；+X；+X；=（）設(shè)函數(shù)/（x） = 竺一，若八/卜）=工恒成立，則實數(shù)。的值為2x + 3【答案】-3設(shè)“X）是定義在（0,+8）上的單調(diào)函數(shù)，對于任意的x0,有

12、/（x）f /M+- =3 ,則/= X7【答案】-2設(shè)函數(shù)/(可=匚石,71(6=/(%)，加(x)=(/(x)，則/劉 7(-2)=3【答案】-0),則“ f 都恰好有兩個零點”的()A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件【答案】C已知函數(shù)/) = /+以，則“。0”是“/(/)的最小值與/(X)的最小值相等”的()A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件【答案】A已知函數(shù)/(x)的定義域為若對任意不巧w。,當王 七時，都有/區(qū))工/(七)，則稱函數(shù)/0)在0上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)/(x)在0,1上為非減函數(shù)，且滿足以

13、下三個條件：VI11/(0) = 0；/(：) = J(x)：/(17)= 2 /(X).則/(；) + /(；)=()323o35A、 1B、二C、 2D、二22【答案】BJT % 0已知函數(shù)/(x) =1 J,若關(guān)于x的方程/2(x) 3/(x) + a = 0(aeR)有8 2x +1, x 0個不等的實數(shù)根，則。的取值范圍是()119A. (0,)B, (一,3)C. (L2)D. (2,一)434【答案】D設(shè)定義域為/?的函數(shù)/3）=網(wǎng)一 0, x = .7個不同實數(shù)解的充要條件是（）則關(guān)于x的方程/（x）2 + （X）+ c = 0有Ab0KcOKc0 C.b7?0Hc = 0【答

14、案】C關(guān)于%的方程（V If - N - 1 + % =。，給出下列4個命題：存在實數(shù)k,使得方程恰有2個不同的實根:存在實數(shù)h使得方程恰有4個不同的實根:存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根:存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根。 其中假命題的個數(shù)是（）AOBAC.2D.3【答案】A己知定義R的函數(shù)/(x)Txl-l,關(guān)于x的方程/2(幻一/3)一攵=0,給出下列四個命題中真命題的序號有存在出值使方程恰有2個不同的實根存在k值使方程恰有4個不同的實根存在女值使方程恰有5個不同的實根存在k值使方程恰有8個不同的實根【答案】己知函數(shù)/*)=1p一1|L = 1,關(guān)于X的方程/2(x) + /

15、(x) + c = 0有3個不同的實數(shù)解*，4，X3，則占2 +W? +&2=【答案】5已知函數(shù)/(%)=k一2| 關(guān)于x的方程/-(x) + (x) + c = O有5個不同的實數(shù)解 L , x = 2,xpx2,x3,x4,x5,則/(2+當+均+七+工5)=()A.lB.lC.D.481216【答案】B第17貞共20頁已知函數(shù)/(x) = k l,若關(guān)于X的方程/(/)= ?(/?)恰有四個互不相等的實數(shù)根 匹，,占,口，則X勺工3工4的取值范圍是.【答案】(一 3,0)己知函數(shù)/&) = cos2x + asinx在區(qū)間(0,球內(nèi)恰有8個零點，則實數(shù)。的取值范圍與 最小正整數(shù)的值分別為

16、()A(-l,l),2B.(-l,l),4C.-l,l,2P.-l,l,4【答案】A已知函數(shù)/(a) = |lgx|,若0 a bQf (a) = f(b),則。+力的取值范圍是()A.(2 無司C.(3,+oo)D.3,+co)【答案】C第#頁共20頁函數(shù)),=_L的圖像與函數(shù)y = 2sin 4x(2 b關(guān)于X的方程/*) = ?(? e R)恰有3個互不相等的實數(shù)根玉,勺,與，則x3的取值范圍是Q已知兩條直線/,：y = 和： 丁 = 在斤（m 0） ,4與函數(shù)y = |log2 乂的圖像從左到右相交于點A, B，A與丫 = |1。&聞的圖像從左到右相交于C，D.記線段AC和80在X軸上

17、的投影長度分別為。，.當機變化時，的最小值為（） aA 167288 后C.8 班D4 班【答案】B)gx|(0x10)的取值范圍是()A.(l,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【答案】c|log3 x|,0x3已知函數(shù)/（x） = 1jr.若存在實數(shù)內(nèi),占，石，心，當M 與V、4時滿-cos（x）,3 xyj3.值范圍是【答案】（0,4/2|sinxLxe-,l,己知函數(shù)/（x） = n.根，則X+X2+X3+X4+X5的取值范圍是（）4(0,4)8（-況乃）D(況 10)【答案】Dsin 7rx,0x1a+O+c的取值范圍是()A.(1,2010) B.(1,2011)C.(2,2011)D.2,20