四川--指數(shù)函數(shù)（劉志剛） (2)

1、 2006年全國高中數(shù)學優(yōu)秀課展評教案人教版全日制高中數(shù)學第一冊(上)P7074四川省榮縣中學校 劉志剛2006年11月一、教材分析教材背景指數(shù)函數(shù)是在學習了函數(shù)的現(xiàn)代定義及其圖象、性質，掌握了研究函數(shù)的一般思路，并將冪指數(shù)從整數(shù)擴充到實數(shù)范圍之后，學習的第一個重要的基本初等函數(shù)，是函數(shù)一章的重要內容。本節(jié)內容分三課時完成，第一課時學習指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質；第二、三課時為指數(shù)函數(shù)性質的應用，本課為第一課時。本課的地位和作用本節(jié)內容既是函數(shù)內容的深化，又是今后學習對數(shù)函數(shù)的基礎，具有非常高的實用價值，在教材中起到了承上啟下的關鍵作用。在指數(shù)函數(shù)的研究過程中蘊含了數(shù)形結合、分類討論、歸納推理

2、、演繹推理等數(shù)學思想方法，通過學習可以幫助學生進一步理解函數(shù)，培養(yǎng)學生的函數(shù)應用意識，增強學生對數(shù)學的興趣。二、重難點分析根據(jù)新課程標準及對教材的分析，確定本節(jié)課重難點如下： 重點：本節(jié)課是圍繞指數(shù)函數(shù)的概念和圖象，并依據(jù)圖象特征歸納其性質展開的。因此本節(jié)課的教學重點是掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質。難點： 1、對于和時函數(shù)圖象的不同特征，學生不容易歸納認識清楚。因此，弄清楚底數(shù)a對函數(shù)圖象的影響是本節(jié)的難點之一。2、底數(shù)相同的兩個函數(shù)圖象間的關系。三、目標分析知識技能目標掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質。過程性目標通過自主探索，讓學生經(jīng)歷“特殊一般特殊”的認知過程，完善認知結構，領會數(shù)形結合、分類討

3、論、歸納推理等數(shù)學思想方法。情感、價值觀目標讓學生感受數(shù)學問題探索的樂趣和成功的喜悅，體會數(shù)學的理性、嚴謹及數(shù)與形的和諧統(tǒng)一美，展現(xiàn)數(shù)學實用價值及其在社會進步、人類文明發(fā)展中的重要作用。四、學情分析有利因素學生剛剛學習了函數(shù)的定義、圖象、性質，已經(jīng)掌握了研究函數(shù)的一般思路，對于本節(jié)課的學習會有很大幫助。不利因素本節(jié)內容思維量較大，對思維的嚴謹性和分類討論、歸納推理等能力有較高要求，學生學習起來有一定難度。五、教法學法根據(jù)對教材、重難點、目標及學生情況的分析，本著教法為學法服務的宗旨，確定以下教法、學法：探究發(fā)現(xiàn)式教學法、類比學習法，并利用多媒體輔助教學。遵循“以學生為主體、教師是數(shù)學課堂活動的

4、組織者、引導者和參與者”的現(xiàn)代教育原則。依據(jù)本節(jié)為概念學習的特點，類比學習函數(shù)的一般思路，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設置問題，倡導學生主動參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動、生生互動中，讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程。六、教學過程設計復習舊知新課引入探索新知知識擴展課堂練習課堂小結課后作業(yè)七、教學過程復習舊知函數(shù)的三要素是什么？函數(shù)的單調性反映了函數(shù)哪方面的特征？答：函數(shù)的三要素包括：定義域、值域、對應法則。函數(shù)的單調性反映了函數(shù)值隨自變量變化而發(fā)生變化的一種趨勢，例如：某個函數(shù)當自變量取值增大時對應的函數(shù)值也增大則表明此函數(shù)為增函數(shù)，圖象上反應

5、出來越往右圖象上的點越高。新課引入 觀看視頻解答下面兩個問題：問題1：某種細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，這樣的細胞分裂x次后，細胞個數(shù)y與x的函數(shù)關系式為：y=2x（xN*）問題2：鈾核裂變能產生巨大的能量，它的裂變方式稱為鏈式反應，假定1個中子擊打1個鈾核，此中子被吸收產生能量并釋放出3個中子，這3個中子又打中另外3個鈾核產生3倍的能量并釋放出9個中子，這9個中子又擊中9個鈾核這樣的擊打進行了x次后釋放出的中子數(shù)y與x的關系是：y=3x（xN*）提問：y=2x與y=3x這類函數(shù)的解析式有何共同特征？答：函數(shù)解析式都是指數(shù)形式，底數(shù)為定值且自變量在指數(shù)位置。（若用a代換兩個式子

6、中的底數(shù)，并將自變量的取值范圍擴展到實數(shù)集則得到）探索新知一指數(shù)函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)y=ax(a0，且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。提問：在本定義中要注意哪些要點？1自變量x2定義域R3a的范圍a0，且a14定義的形式（對應法則）y=ax進一步提問：為什么規(guī)定定義中？將a如數(shù)軸所示分為：,，,和五部分進行討論： (1)如果, 比如，這時對于等，在實數(shù)范圍內函數(shù)值不存在；(2)如果，(3)如果，是個常值函數(shù)，沒有研究的必要；(4)如果或即，可以是任意實數(shù)。* 因為指數(shù)概念已經(jīng)擴充到整個實數(shù)范圍，所以在的前提下，可以是任意實數(shù),即指數(shù)函數(shù)的定義域為R。二指數(shù)函數(shù)圖象指數(shù)

7、函數(shù)的圖象是怎樣的呢？先看特殊例子（將同學們分兩組用描點法分別畫出下列函數(shù)的圖象）第一組：畫出，的圖象；第二組：畫出，的圖象。（及時指導學生作圖，然后播放已經(jīng)做好的函數(shù)圖象，讓學生比較與自己所畫出來的有哪些異同點。）提問：此兩組圖象有何共同特征？當?shù)讛?shù)和時圖象有何區(qū)別？三指數(shù)函數(shù)性質根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征，由特殊到一般的推理方法提煉指數(shù)函數(shù)的性質，完成下表：a10a1圖象性質(1)定義域：R(2)值 域：(0，+)(3)過點(0,1)，即x=0時，y=1(4)在R上是增函數(shù)(4)在R上是減函數(shù)（說明：教材對于指數(shù)函數(shù)性質的處理，僅是觀察圖象發(fā)現(xiàn)的，其正確性理應嚴格證明，但教材不做要求）四指數(shù)函

8、數(shù)性質的簡單應用例1 某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經(jīng)過一年剩留的這種物質上原來的84%。畫出這種物質的剩留量隨時間變化的圖象，并從圖象上求出經(jīng)過多少年，剩留量是原來的一半（保留一個有效數(shù)字）解：設這種物質最初的質量是1，經(jīng)過x年后，剩留量是y。經(jīng)過1年，剩留量經(jīng)過2年，剩留量一般地，經(jīng)過x年，剩留量根據(jù)這個函數(shù)關系可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35畫出指數(shù)函數(shù)的圖象。從圖上看出只需。答：約經(jīng)過4年，剩留量是原來的一半。例2說明下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象的關系，并畫出它們的示意圖。；解：比較函數(shù)與的關系：與相等，與相等，與相等，由此可以

9、知道，將指數(shù)函數(shù)的圖象向左平行移動1個單位長度，就得到函數(shù)的圖象。比較函數(shù)與的關系：與相等，與相等，與相等，由此可以知道，將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)的圖象。、知識擴展一考古中的指數(shù)函數(shù)是具有放射性的碳同位素，能夠自發(fā)地進行衰變，變成氮，半衰期為5730年，活的植物通過光合作用和呼吸作用與環(huán)境交換碳元素，體內的比例與大氣中的相同。植物枯死后，遺體內的仍在進行衰變，不斷減少，但是不再得到補充。因此，根據(jù)放射性強度減小的情況就可以算出植物死亡的時間。測年方法進入考古學研究被譽為考古學發(fā)展史上的一次革命，它將考古學研究中得到的相對年代轉變?yōu)榻^對年代，給考古學帶來了質的飛躍，使

10、研究更加科學化，促進了考古學研究的深入。其中測算公式是一個指數(shù)式。二音樂中的指數(shù)函數(shù)鋼琴是一種用琴槌擊弦而振動發(fā)聲鍵盤樂器。從左往右逐個試彈所有琴鍵，我們聽到琴聲逐漸由低到高，這是因為琴聲的高低與琴弦振動的頻率有關，而琴弦振動的頻率又與琴弦的長度有關。粗略地說，琴弦長則振動慢，頻率小，故發(fā)出的聲音低；琴弦短，則振動快，頻率大，故發(fā)出的聲音高。音域寬度自大字二組的A2至小字五組的。根據(jù)“十二平均律”的法則，任何兩個相鄰的鍵所發(fā)出的音相差半音階（100音分），它們的振動頻率之比是一個常數(shù)Q，設最低的第一個音A2的頻率是a，則第二個音#A2的頻率是aQ，第三個音B2的頻率是aQ2，另外，音高每提高八

11、度（如A2到A1）頻率增大為原來的2倍，而八度音域內包含12個半音（連續(xù)的7個白鍵和5個黑鍵），所以，第十三個音（A1）的頻率是第一個音（A2）的頻率的2倍。故，即。另一方面，弦振動的頻率與弦長成反比。所以，從左向右，相鄰兩弦的長度之比是常數(shù)q=1/Q，從而有q12=1/2。設左邊第一根弦的長度為，則第二根弦的長度為，第三根弦的長度為，如圖，取第一根弦所在直線為y軸，各弦靠近鍵盤的端點所在直線為x軸建立坐標系，相鄰兩弦間的距離為長度單位。這時，將弦的另一端點（上部）連成光滑曲線，那么曲線上任意點的坐標都滿足函數(shù)關系。若令，則，可化為。經(jīng)過適當平移，就可知道光滑曲線是指數(shù)函數(shù)的圖象指數(shù)曲線。生活

12、中到處都有數(shù)學，我們要學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學發(fā)現(xiàn)自然界的奧秘。、課堂練習1、求下列函數(shù)的定義域：2、函數(shù)y=a2x-3+3恒過定點 。3、作出函數(shù)和的圖象，并說明這兩個函數(shù)圖象與圖象的關系。4、如圖是指數(shù)函數(shù)，的圖象，則a,b,c,d的大小關系是（）A BC D課堂小結設問：本課我們主要學習了哪些內容？應當注意些什么？本節(jié)課主要學習了指數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質。弄清楚底數(shù)和時函數(shù)圖象的不同特征及性質是學好本節(jié)課的關鍵所在。課后作業(yè)課本第73頁習題2.6 1、2收集關于指數(shù)函數(shù)應用的相關資料，通過分析整理，寫一篇800字左右的報告。八、課后反思一在教學過程中有幾個問題值得注意：學生可能

13、把自變量在指數(shù)上的函數(shù)都認為是指數(shù)函數(shù)，應予以及時糾正。若學生質疑指數(shù)函數(shù)單調性結論的正確性，應先肯定質疑是正確的，因為用圖象觀察歸納出來的結論，必須經(jīng)過嚴格證明才是可靠的！但由于教材對此不作要求，因此，鼓勵學有余力的同學可自己嘗試證明。二本課設計有以下幾點值得借鑒：本課設計在注重引導學生學習書本知識的同時，還進行了知識的擴展，讓學生感受到數(shù)學的實用價值。本課設計時考慮了學生在學習中最可能出現(xiàn)的各種情況，并采用合理方式進行引導、解決。教學過程中充分發(fā)揮學生主體作用，始終以問題的形式引導學生主動參與，在師生互動、生生互動中讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程，做到了把握重點、突破難點。附：板

14、書設計附：教 案 設 計 說 明此教學方案是依據(jù)新課程標準、教材及本人的教學風格并考慮學生的學習興趣來設計的，下面就本課教案做以下幾點說明：一、選材：本節(jié)課選取的內容為數(shù)學發(fā)展中具有代表性的知識。指數(shù)函數(shù)既是函數(shù)的深化，又是學習對數(shù)函數(shù)的必備，通過本節(jié)內容的學習，讓學生在掌握知識的同時感受到數(shù)學的實用價值。二、理念：本節(jié)課的教案設計體現(xiàn)了“以學生為主體，教師是課堂活動的組織者、引導者和參與者”的現(xiàn)代教育理念。在教學的每一個環(huán)節(jié)中均設計了問題，始終以教師提出問題，引導學生解決問題的方式進行，讓課堂活動變得生動而愉悅。三、注重知識擴展，本課設計時有意識的選取了“細胞分裂”、“鈾核裂變”、“指數(shù)函數(shù)在考古中的應用”、“指數(shù)函數(shù)在音樂中的應用”等知識，讓學生感受到生