誤差與數(shù)據(jù)處理

1、誤差與數(shù)據(jù)處理一、測(cè)量與誤差1所謂測(cè)量：就是用計(jì)量?jī)x器對(duì)被測(cè)物理量進(jìn)行量度。2、測(cè)量值：用測(cè)量?jī)x器測(cè)定待測(cè)物理量所得的數(shù)值。3、真值：任一物理量都有它的客觀大小，這個(gè)客觀量稱為真值。最理想的測(cè)量就是能夠測(cè)得真值，但由于測(cè)量是利用儀器， 在一定條件下通過(guò)人來(lái)完成的，受儀器的靈敏度和分辨能力的局限性，環(huán)境的不穩(wěn)定性和人的精神狀態(tài)等因素的影響， 使得待測(cè)量的真值是不可測(cè)得的。4、誤差：測(cè)量值和真值之間總會(huì)存在或多或少的偏差，這種偏差就稱為測(cè)量值的誤差。設(shè)被測(cè)量的真值為a,測(cè)量值為x,則測(cè)量誤差為我們所測(cè)得的一切數(shù)據(jù)都毫無(wú)例外地包含一定的誤差，因而誤差存在于一切測(cè)量之中。5、測(cè)量的任務(wù)是：（1）設(shè)法使

2、測(cè)量值中的誤差減到最小。（2）求出在測(cè)量條件下被測(cè)量的最近真值。（3）估計(jì)最近真值的可靠程度二、誤差的分類:1、系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差：在同一條件下（觀察方法、儀器、環(huán)境、觀察者不變）多次測(cè)量同一物理量時(shí)，符號(hào)和絕對(duì)值保持不變的誤差叫系統(tǒng)誤差。當(dāng)條件發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)誤差也按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差反映了多次測(cè)量總體平均值偏離真值的程度。例如：用天平測(cè)量物體質(zhì)量，當(dāng)天平不等臂時(shí)，測(cè)出物體質(zhì)量總是偏大或偏??；再例如 當(dāng)我們的手表走的很慢時(shí)，測(cè)出每一天的時(shí)間總是小于24小時(shí)。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因：(1)儀器誤差:由測(cè)量?jī)x器、裝置不元善而產(chǎn)生的誤差。(2)方法誤差（理論誤差）：由實(shí)驗(yàn)方法本身或理論不完善而導(dǎo)致

3、的誤差。(3)環(huán)境誤差：由外界環(huán)境（如光照、溫度、濕度、電磁場(chǎng)等）影響而產(chǎn)生的誤差。(4)讀數(shù)誤差:由觀察者在測(cè)量過(guò)程中的不良習(xí)慣而產(chǎn)生的誤差。系統(tǒng)誤差的消除：由于系統(tǒng)誤差主要是由于儀器不完善，方法（或理論）不完善、環(huán)境影響而產(chǎn)生，在實(shí)驗(yàn)過(guò) 程中要不斷積累經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)真分析系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，采取適當(dāng)?shù)拇胧﹣?lái)消除。例如：對(duì)不等臂天平，可以用交換被測(cè)物和砝碼的位置，分別測(cè)出被測(cè)物質(zhì)量一和，則待測(cè)物的質(zhì)量仃-嚴(yán)!2、偶然誤差偶然誤差（隨機(jī)誤差）：在同一條件下，多次測(cè)量同一物理量時(shí)，測(cè)量值總是有稍許差異而變化不定，這種絕對(duì)值和符號(hào)經(jīng)常變化的誤差稱為偶然誤差。偶然誤差的規(guī)律性：（1）絕對(duì)值相等的正的誤差和

4、負(fù)的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同。（2）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多。（3）超出一定范圍的誤差基本不出現(xiàn)。偶然誤差的消除：在一定測(cè)量條件下，增加測(cè)量次數(shù)，可以減小測(cè)量結(jié)果的偶然誤差，使算術(shù)平均值趨于真值。因此，可以取算術(shù)平均值為直接測(cè)量的最近真值（最佳值）。3、絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差：測(cè)量值x與被測(cè)量真值a之差，同被測(cè)量有相同單位，它反映了測(cè)量值 偏離真值的大小。這種有單位的誤差稱為絕對(duì)誤差。在同一測(cè)量條件下，絕對(duì)誤差可以表示一個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度；但比較不同測(cè)量結(jié)果時(shí)， 問(wèn)題就出現(xiàn)了。例如：用米尺測(cè)量二個(gè)物體的長(zhǎng)度時(shí)，測(cè)量值分別是0.1m和1000m,它們的絕對(duì)誤差分別是 0.01m和1m,

5、雖然后者的絕對(duì)誤差遠(yuǎn)大于前者，但是前者的絕對(duì)誤差占 測(cè)量值的10%而后者的絕對(duì)誤差僅占測(cè)量值的0.1%,說(shuō)明后一個(gè)測(cè)量值的可靠程度遠(yuǎn)大于前者，故絕對(duì)誤差不能正確比較不同測(cè)量值的可靠性。4、相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：測(cè)量值的絕對(duì)誤差與測(cè)量值之比叫相對(duì)誤差。相對(duì)誤差是一個(gè)比值，沒(méi) 有單位，通常用百分比表示。三、直接測(cè)量結(jié)果的誤差估計(jì)1、單次測(cè)量的誤差估計(jì)由于有些物理量的測(cè)量精度要求不高，或者這一物理量的誤差對(duì)整體影響較小，因而只測(cè)量一次即可滿足測(cè)量要求，此時(shí)測(cè)量誤差的估計(jì)分兩種情況：（1）在給定儀器誤差情況下，單次測(cè)量的誤差取儀器誤差；（2 ）在沒(méi)有給出儀器誤差的情況下，對(duì)連續(xù)讀數(shù)的儀器，取 測(cè)量?jī)x器最

6、小分度值的一半作為單次測(cè)量的誤差。對(duì)非連續(xù)讀數(shù)的儀器，取測(cè)量?jī)x器的最小分度值作為單次測(cè)量的誤差。對(duì)于其余一些特殊情況，單次測(cè)量的儀器誤差示具體情況而定。例如：秒表和天平。2、多次測(cè)量的誤差估計(jì)算術(shù)平均值二：在相同測(cè)量條件下，對(duì)同一物理量獨(dú)立測(cè)量n次的測(cè)量值J二邑為X1,X2,Xn,其算術(shù)平均值為:殘差二：測(cè)量值匚與平均值匚之差稱為殘差。山.二一；（i=1,2,n ）需要注意的是：測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差并不表示測(cè)量值的誤差的實(shí)際大小，因?yàn)闇y(cè)量值的偶然誤差是隨機(jī)的，所以測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差只表示，任一測(cè)量值的誤差落在區(qū)域（+ 1 -:）內(nèi)的概率為68.3%,這就是標(biāo)準(zhǔn)偏差的統(tǒng)計(jì)意義。多次測(cè)量的誤差二1 :在

7、充分考慮多次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差和儀器誤差的情況下，多次測(cè)量的誤差為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差s:（本教材不做要求）3、可疑數(shù)字的剔除一般測(cè)量的誤差出現(xiàn)在；內(nèi)的概率為68.3%,誤差出現(xiàn)在 丄-二內(nèi)的概率為95.5%,而出現(xiàn)在二區(qū)間內(nèi)的概率為 99.7%,而一般我們的測(cè)量次數(shù)又不是很多，故測(cè)量值誤差超出丄:、區(qū)間的可能性及小，對(duì)誤差超出丄的數(shù)據(jù)可以剔除，但要在原始數(shù)據(jù)記錄表格中保留，并用紅色筆做刪除標(biāo)記。4、測(cè)量次數(shù)的確定在基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中，一般測(cè)量次數(shù)為 410次5、重復(fù)測(cè)量所得測(cè)量值相等時(shí)誤差估計(jì)重復(fù)測(cè)量的測(cè)量值相等，此時(shí)用前面所講的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差公式計(jì)算的結(jié)果為零，這并不意味不足以反映測(cè)量的偶然誤差，在這b

8、,測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差為著測(cè)量中不存在偶然誤差，這是由于測(cè)量?jī)x器精度較低, 種情況下，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的方法為：設(shè)儀器的最小分辨值為四、間接測(cè)量的誤差傳遞由直接測(cè)量量代入公式計(jì)算得到的結(jié)果稱為間接測(cè)量，由于直接測(cè)量存在誤差，因此由計(jì)算得到的間接測(cè)量量也存在誤差，這就是誤差傳遞。1、差傳遞的基本公式設(shè)：x,y,z,為獨(dú)立的測(cè)量量，N為待測(cè)物理量，其函數(shù)關(guān)系為：N=f (x,y,z, )對(duì)上式進(jìn)行全微分有：dM二叟禺+生妙+笑血+dx dy dz上式表示，當(dāng)測(cè)量值 x,y,z 有微小改變dx,dy,dz時(shí)，間接測(cè)量量 N改變dN，通常誤差遠(yuǎn)小于測(cè)量值，把dx,dy,dz,dN看作是誤差，上式就是誤差傳遞公式

9、了。當(dāng)然上式表示的是絕對(duì)誤差。在某些情況下，計(jì)算間接測(cè)量量的相對(duì)誤差較為簡(jiǎn)便，其計(jì)算公式為:益匹厶+理切西厶+N 辦勿dz以上兩式就是誤差傳遞的基本公式，其中等于號(hào)“=”后面的每一項(xiàng)稱為絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差的分誤差項(xiàng)；dx,dy,dz前面的系數(shù)稱為誤差傳遞系數(shù)?？梢钥闯?，一個(gè)獨(dú)立測(cè)量量的誤 差對(duì)總誤差的影響，不僅取決于本身誤差的大小，還取決于誤差傳遞系數(shù)。2、偶然誤差的傳遞和合成在一般情況下，直接測(cè)量的誤差要求計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差，而以上兩式對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差并不成立， 根據(jù)誤差理論，在誤差傳遞過(guò)程中，標(biāo)準(zhǔn)偏差的合成方式為：（1）絕對(duì)誤差：（2）相對(duì)誤差：（2）常用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差傳遞公式（a、b）為常數(shù)函數(shù)關(guān)系

10、誤差傳遞公式N=ax+bym = Js玄尸+（&兮嚴(yán)N=ax-byg = Jsa尸+兮嚴(yán)N=axyn q )丿iN = a y魚(yú)）何 )丿N 二 4n q3丿匕丿五、測(cè)量結(jié)果的表示 測(cè)量結(jié)果的誤差：無(wú)論是直接測(cè)量還是間接測(cè)量其結(jié)果的誤差只有一位有效數(shù) 字，測(cè)量結(jié)果有效數(shù)字的最后一位與誤差位對(duì)齊。測(cè)量結(jié)果的表示：測(cè)量結(jié)果包括測(cè)量值、誤差、單位三部分。其表達(dá)式為:. -（單位）式中匚在單次測(cè)量中是算術(shù)平均值， 在多次測(cè)量中是由函數(shù)關(guān)系計(jì)算出的間接測(cè)量值； 為多次測(cè)量的誤差。數(shù)值舍入規(guī)則：在基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中，本教材對(duì)數(shù)字的取舍一律米用四舍五入的規(guī)則。六、有效數(shù)字1有效數(shù)字有效數(shù)字：反映被測(cè)量實(shí)際大小的數(shù)字

11、稱為有效數(shù)字。一般從儀器上讀出的數(shù)字均為有效數(shù)字，它和小數(shù)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，有效數(shù)字的位數(shù)是由測(cè)量?jī)x器的精度確定的，它是由準(zhǔn)確數(shù)字和最后一位有誤差的數(shù)字組成。在測(cè)量時(shí)，對(duì)于連續(xù)讀數(shù)的儀器，有效數(shù)字讀到儀器最小刻度的下一位的估計(jì)值，不論估計(jì)值是否是0 ”都應(yīng)記錄，不能略去?！?0 ”是不是有效數(shù)字：在測(cè)量中，凡是從儀器上讀出的零都是有效數(shù)字；由 單位變換得出的零均不是有效數(shù)字。單位變換時(shí)有效數(shù)字的位數(shù)保持不變。2、有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則在有些情況下，由于不做誤差計(jì)算的要求，在計(jì)算間接測(cè)量值時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到除法運(yùn)算除不 盡，或者結(jié)果出現(xiàn)一串很長(zhǎng)的數(shù)字， 結(jié)果保留幾位有效數(shù)字最為合理呢，有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則對(duì)此做了嚴(yán)格規(guī)定。力口、減法運(yùn)算：加、減運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字的末位，與參與運(yùn)算的各數(shù)字中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少者對(duì)齊。例如：397.8+7.625-312.4198=93.0乘、除運(yùn)算：乘、除運(yùn)算后結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)，與參與運(yùn)算的各數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最少者相同。例如：78.625 X 9.06 - 11.38=62.6乘方、開(kāi)方后有效數(shù)字的位數(shù)保持不變對(duì)數(shù)運(yùn)算：對(duì)數(shù)運(yùn)算后，結(jié)果的真數(shù)部分不算有效數(shù)字，結(jié)果的假數(shù)的位數(shù)與 首數(shù)的位數(shù)相同。例如：logic17. 68=1.2474七、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，選擇合適的數(shù)據(jù)處理方法，能夠簡(jiǎn)明、直觀地分析和處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)