7.3 復(fù)數(shù)的三角表示-新教材2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)同步教學(xué)課件

1、一、復(fù)數(shù)的三角表示式 1.思考 (1)復(fù)數(shù)a+bi(a,bR)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量是如何一一對(duì)應(yīng)的? 提示根據(jù)復(fù)平面的建立原則,復(fù)數(shù)a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是 一一對(duì)應(yīng)的,與平面向量 =(a,b)也是一一對(duì)應(yīng)的. (2)若角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸非負(fù)半軸上,已知終邊上 一點(diǎn)P(x,y),如何表示角的三角函數(shù)? (3)終邊相同的角有什么關(guān)系? 提示終邊相同的角相差2的整數(shù)倍. 2.填空 (1)一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cos +isin )的形 式.其中,r是復(fù)數(shù)z的模;是以x軸的非負(fù)半軸為始邊,向量 所在 射線(射線OZ)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的

2、輻角.r(cos +isin ) 叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡(jiǎn)稱三角形式.為了與三角形式區(qū) 分開來(lái),a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱代數(shù)形式. (2)任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值,且這些值相差 2的整數(shù)倍.我們規(guī)定在02范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的 (3)兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等. 3.做一做 (1)判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤 的打“”. 復(fù)數(shù)0的輻角一定是0.() 一個(gè)給定的復(fù)數(shù),其輻角也是唯一確定的.() 復(fù)數(shù)i的輻角可以為- .() 答案: (2)將下列復(fù)數(shù)表示為三角形式 -5i-102-2i 二、復(fù)數(shù)三角形式乘法法

3、則與幾何意義 1.思考 兩個(gè)角1,2的和的正弦、余弦公式是什么? 提示cos(1+2)=cos 1cos 2-sin 1sin 2,sin(1+2)=sin 1cos 2+cos 1sin 2. 2.填空 (1)已知z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),則 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2). 這就是說(shuō),兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角 等于各復(fù)數(shù)的輻角的和. (2)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義 3.做一做 三、復(fù)數(shù)三角形式除法法則與幾何意義 1.思考 3.做一做 復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的三角形式 例例1將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式.

4、 (1)5i(2)8(3)-3-3i(4)-1+ i 分析先確定模長(zhǎng)及輻角主值,再寫成三角形式. 反思感悟反思感悟 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi化為復(fù)數(shù)三角形式的一般步 驟是: 寫出復(fù)數(shù)的三角形式. 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1將下列復(fù)數(shù)中代數(shù)形式的表示成三角形式,三角形式 的表示成代數(shù)形式. 復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算 例例2計(jì)算下列各式 分析利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則計(jì)算即可. 反思感悟反思感悟 兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式乘法的法則可簡(jiǎn)記為:模數(shù)相乘,輻 角相加,并且可以作以下推廣: (1)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘,結(jié)論亦成立. 即z1z2zn=r1(cos 1+isin 1)r2(cos 2+isin

5、 2)rn(cos n+isin n)=r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n). (2)當(dāng)z1=z2=zn=z時(shí),即r1=r2=rn=r,1=2=n=,有 zn=r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n),這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘 方法則,即:模數(shù)乘方,輻角n倍. 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2計(jì)算下列各式 復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算 例例3計(jì)算下列各式 反思感悟反思感悟 進(jìn)行兩個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式除法運(yùn)算時(shí),將模對(duì)應(yīng)相除 當(dāng)模,用被除數(shù)輻角減去除數(shù)的輻角當(dāng)做商的輻角,即可得兩個(gè)復(fù) 數(shù)的除法結(jié)果. 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3計(jì)算下列各式 數(shù)形結(jié)合思想求復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)及輻角范圍 典例典例若zC,|z-2|1,求|z|的最大、最小值和arg z范圍. 分析結(jié)合條件及特點(diǎn),本題可用數(shù)形結(jié)合思想求解. 解:由|z-2|1,知z的軌跡為復(fù)平面上以(2,0)為圓心,1為半徑的圓面 (包括圓周),|z|表示圓面上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. 顯然1|z|3,|z|max=3,|z|min=1, 另設(shè)圓的兩條切線為OA,OB,A,B為切點(diǎn), 由|CA|=1,|OC|=2知AOC=BOC= , 說(shuō)明:本題在求解|z|的最大、最小值時(shí),也可用代數(shù)形式,如下:設(shè) 復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR), 則由|z-2|1得(x-2)2+y21,x2+y24x-