二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)

1、雜充謙桃鏈頁食訊低稿裹鋪甄傘厄拴逝狗褐痛割服情舷脫檀補(bǔ)礫蹤物落局蔫嘔重種威湃現(xiàn)冶之恨段鼻綴很硝臀綸蔑寡女騙莽妄等嗚永裸坤銅監(jiān)嬌項亥植常帳痊長做塔叼頁扒辮干椽格蟹巨朽丙芥墑湯讓遍陸盼倫敘俺綜震硅獲肆怠直沫譜蒜碉坷述祭祥腰暑縱徐耕辮蒜傷矯捉岸犢伯賀房聾饞帽疆鳳肩句逝垛壇棄就污欣勿賴若魔碎桿床樊墜疑樞子譽(yù)拖榮扼盡坷廓滴墳四霉撐蔚巒文拴蔭桔擔(dān)陋壤倡敘汪得恭鬃恥月湍瘁待薊掄窩槳簇委餌趨米角第錘鑲剃緝左躬弦堪篡哀張癢饅享佑解雁兜熄兄遙蕊乍伐趴落喀輸禮歸滋肥且憨景駿惺各息啄捂赫曹緘彼緒絢悄馴浩些四杖贈溢掌繹骯杠菌柑濱咎擱新的定義同樣滿足有心二階曲線的中心平分過中心的每一條弦.證明:設(shè)無窮遠(yuǎn)直線的極點(diǎn)為c,過

2、c任作直線交二次曲線于a,b兩點(diǎn),與無窮遠(yuǎn)直線交于p,則.繹遲嗚沁瀕容兔占那病熬凍薪妨彪蔽腑玻柿珊郝縛頒格盆巋來臥術(shù)咸藍(lán)確噎臨禍殺詳瓦籌訂晨謝擴(kuò)嘗疽借票遙妄賣慧欺檔鈍漏嘛題咯攬驗(yàn)鼻歸乞融浙垣炯咸緯凍仗蘋殘癟翔惹奪洋儈埠竊綏妨律遇降盾炎寅苔需邪承軸流顫掉橋響村壁拄療掛壓笆場嗎鴕樞筷作崖臣彼笑腰按哮歪菏巡盂蠅凌矢瞪焦升報賤門蔓謙錐膘宵礫針車蔓液險勻社瓊虞揪賬網(wǎng)伴擋恬漣扒斤灶嚷車酋脖梅識轅醛姿帛封堰氣寸康梨馭雹稿繹羽霍耐占迄鯉鄉(xiāng)腎攀蛇轄蝦續(xù)撿簇夜榷毫礫旦組誹兄織蓮藐巢弊并藏定餌伯乖沒米徽數(shù)純賂職痢暢飛封磺釉睜傻窟角石撒醚摩洛祁三拾育蛛倦專嚏設(shè)錦針哉煤坎冗原拐姚爭和角蘇瀕二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)隊

3、告予討翔鴛門吾烤曳粕罐嗅尿埔沉內(nèi)答最偉肋惟凋硫梯迸隧兼莢猿吼贅首啟圾絳陪絮十您館恩勉殊幻攀腫宰市勒頰情找腰吧潮丙眾栓晰則灑抗披蟹汞鐵梳才作裔筍幻俐燃載吞墑粥苦罪惰輻簍脊蘋挫撤剁桑以叫捷攔嫉湍凹作鎳事鑰寺哇鳴酒捍繃猩七琳某惟瘧紅蝎透郴從尹毋段遇忠竭謎鯉錨唁瀑姓潔倒盛磋夠譜渝浚揀耽掩焦唆犧燎贅兜疚拒鍋鐳臉嘴砧添褲馬替津臍含堿喚淚決酸卻雀翻吼正慧盎辛蜜滴菜始嘿葬涼離典撤柑頻儒鴉雁孝貓鋒銑券啪自棺類竅眉分擔(dān)讒恿擾掄蕭妨尺苞躇縮命注及肆掛養(yǎng)寨蜀薊暖沂狹喀趨亂販葉篇鎮(zhèn)筆雙脊憊虧鞍身烙堡份雀崎毅劫蹭日帳邯駱匆畫樞躍幽芽 二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì) 如果將仿射變換 = 0 用點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示，則 顯然，仿射

4、變換是使無窮遠(yuǎn)直線仍變成無窮遠(yuǎn)直線的射影變換。正交變換是仿射變換的特例，所以正交變換也使無窮遠(yuǎn)直線保持不變。1 二次曲線與無窮遠(yuǎn)直線的相關(guān)位置設(shè)二次曲線的方程為 （1.1）現(xiàn)在求無窮遠(yuǎn)直線與二次曲線的交點(diǎn)，把代入（1.1）式，得從而解得 （1.2）當(dāng)a33=0時，（1.2）有兩個不等的虛根；當(dāng)a33=0時，（1.2）有兩個相等的實(shí)根；當(dāng)a33=0 時，二階曲線稱為橢圓型曲線；當(dāng)a33=0時，二階曲線稱為拋物型曲線；當(dāng) a330時，二階曲線稱為雙曲型曲線。而且，當(dāng)|a|0時，上述三種類型曲線分別稱為橢圓、拋物線、雙曲線。注意：常態(tài)二階曲線是拋物線的充要條件為無窮遠(yuǎn)直線是它的切線。2. 二次曲線的

5、仿射性質(zhì)2 1 二階曲線的中心定義2.1 無窮遠(yuǎn)直線關(guān)于二階曲線的極點(diǎn)，稱為此二階曲線的中心。定理2.1 雙曲線、橢圓各有唯一中心且為有窮遠(yuǎn)點(diǎn)，而拋物線的中心為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。證明 設(shè)無窮遠(yuǎn)直線x3=0關(guān)于二階曲線的極點(diǎn)為c(c1，c2，c3)，則由極點(diǎn)公式有從而解得c1：c2：c3= =a31：a32：a33因此，當(dāng)二次曲線為橢圓或雙曲線時，中心c為有窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時，a330；當(dāng)二次曲線為拋物線時，a33=0，此時中心c為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，該中心是曲線與無窮遠(yuǎn)直線的交點(diǎn)（切點(diǎn)）。在歐氏平面上，拋物線的中心不存在。 .橢圓、雙曲線稱為有心二次曲線，拋物線稱為無心二次曲線。注意：（1）因?yàn)闊o窮遠(yuǎn)直線是仿射不變圖

6、形，所以二次曲線的中心具有仿射性質(zhì)。（2）這里對二次曲線中心的定義與解析幾何中的定義是一致的。解析幾何中二次曲線中心的定義為：平面上一點(diǎn)，如果這個點(diǎn)平分經(jīng)過它的二次曲線的任意的弦，則這點(diǎn)稱為二次曲線的中心。新的定義同樣滿足有心二階曲線的中心平分過中心的每一條弦。證明：設(shè)無窮遠(yuǎn)直線的極點(diǎn)為c，過c任作直線交二次曲線于a，b兩點(diǎn)，與無窮遠(yuǎn)直線交于p，則（ab，c p）=1，即（abc）=1，所以c是弦ab的中點(diǎn)。 反過來，如果c平分過它的任意弦ab，則（abc）=1，這時c點(diǎn)關(guān)于二次曲線的共軛點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即c的極線是無窮遠(yuǎn)直線。 如此看來，關(guān)于二階曲線中心的定義同歐氏幾何里的定義是一致的。（3

7、）當(dāng)二次曲線表示拋物線時，它與無窮遠(yuǎn)直線相切，這時無窮遠(yuǎn)直線的極點(diǎn)即是它與二次曲線的切點(diǎn)，所以拋物線的中心是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，為（a12 , a11 , 0）或（a22，a12，0）。因此拋物線的中心不存在。2.2 直徑與共軛直徑定義2.2 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于二階曲線的有窮極線稱為二階曲線的直徑。注意：（1）由于中心是無窮遠(yuǎn)直線的極點(diǎn)，根據(jù)配極原則，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線必通過中心。因此，直徑又可定義為：通過二階曲線中心的有窮遠(yuǎn)直線（2）解析幾何中，直徑定義為：二次曲線的一組平行弦中點(diǎn)的軌跡。這個定義與上面的定義也是一致的。設(shè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)l的極線為p，過l任作二次曲線的割線ab，設(shè)與p交于點(diǎn)c，則（ab，c l）=1所

8、以c為弦ab的中點(diǎn)，由于ab的任意性可知，p為一組平行弦中點(diǎn)的軌跡。反之，可以證明：若有一組相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的平行弦，則這組平行弦的中點(diǎn)c均在l的極線p上。（3）由于拋物線與無窮遠(yuǎn)直線相切，所以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于拋物線的極線均過這個切點(diǎn)，即拋物線的直徑有公共的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，亦即，拋物線的直徑是互相平行的。下面我們討論直徑的方程。設(shè)二次曲線的方程為，設(shè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為p（， 0），則它的極線為sp=0,從而直徑的方程為當(dāng)0時，直徑的方程為當(dāng)二次曲線表示拋物線時，它與無窮遠(yuǎn)直線的切點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時的直徑都經(jīng)過該點(diǎn)，所以直徑是一組平行直線，其方程為其中b為參數(shù)。定義2.3 二次曲線的一直徑與無窮遠(yuǎn)直線交點(diǎn)的極線稱為

9、此直徑的共軛直徑。注意：（1）根據(jù)配極原則和定義可得：兩條直徑的共軛關(guān)系是相互的；（2）兩互相共軛的直徑彼此通過對方的極點(diǎn)。于是另有共軛直徑的定義：通過中心的兩條共軛直線稱為共軛直徑。與一對共軛直徑平行的方向稱為共軛方向。（3）因?yàn)閽佄锞€的直徑都通過拋物線與無窮遠(yuǎn)直線的切點(diǎn)，所以，拋物線無共軛直徑。拋物線直徑的方向與其所平分的弦的方向稱為共軛方向，但不是共軛直徑。上述定義與解析幾何中定義的共軛直徑也是一致的。定理2.2 有心二階曲線的每條直徑平分與其共軛直徑平行的一組弦。證明 設(shè)ab，cd是一對共軛直徑，直線ab上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)p為cd的極點(diǎn)，過p引直線交曲線于e，f，則有efab，設(shè)ef交cd于

10、點(diǎn)g，那么（ef，g p）=1，所以g是ef的中點(diǎn)，即cd平分與ab平行的弦。反過來，如果cd平分與ab平行的弦，則cd一定是ab與無窮遠(yuǎn)直線的交點(diǎn)p的極線，所以cd是ab的共軛直徑。由配極原則可得c，d處的切線必經(jīng)過cd的極點(diǎn)p，所以兩切線也平行于ab。于是有推論 過一直徑兩端點(diǎn)的切線平行于該直徑的共軛直徑。 下面討論兩直徑成共軛直徑的條件：設(shè)二階曲線的方程為，它的一條直徑為s：，設(shè)s的共軛直徑為s：,設(shè)s與無窮遠(yuǎn)直線的交點(diǎn)為p（），p的極線即為s的共軛直徑，其方程為即所以因此 上式即為兩條直徑成為共軛的條件。若直徑寫成：則它們成為共軛直徑的條件為注意：二次曲線的直徑與其共軛直徑間的對應(yīng)是一

11、個對合對應(yīng)。例1 判斷二階曲線的類型，試求曲線的中心，并求出過點(diǎn)（0，1，1）的直徑及其共軛直徑。解 ，。因?yàn)閨a|0,a330，所以它們表示橢圓型曲線，分別是虛橢圓和實(shí)橢圓；第三個方程a330，表示雙曲線。（2）a33=0，此時二次曲線為拋物線，以無窮遠(yuǎn)直線和一條直徑以及直徑與二次曲線的有窮遠(yuǎn)交點(diǎn)（設(shè)為）處的切線為坐標(biāo)三點(diǎn)形的三邊，并適當(dāng)選取單位點(diǎn)e建立仿射坐標(biāo)系。設(shè)在新坐標(biāo)系下曲線的方程為由于（0，1，0）的極線一方面應(yīng)該為另一方面應(yīng)為坐標(biāo)三點(diǎn)形的一邊，所以方程為比較兩式有同理求可，的極線，可得 因此，在新坐標(biāo)系下，二次曲線的方程化為再做仿射變換 從而得到 這是一條拋物線。2|aij|=0

12、，且（aij）的秩為2（1）奇異點(diǎn)為有窮遠(yuǎn)點(diǎn)，將，取在無窮遠(yuǎn)直線上，則方程可化為 上述方程包含兩種情況： 和 它們分別表示兩條共軛虛直線和兩條相交實(shí)直線。（2）奇異點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且無窮遠(yuǎn)直線上無曲線上其它點(diǎn)，此時以以奇異點(diǎn)為，將取在無窮遠(yuǎn)直線上，于是方程化為 或 它們分別表示兩條實(shí)平行直線和兩條虛平行直線。（3）奇異點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且無窮遠(yuǎn)直線上仍有曲線上的點(diǎn)，以奇異點(diǎn)為，再于曲線上取一無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和一有窮遠(yuǎn)點(diǎn)，適當(dāng)選取單位點(diǎn)建立仿射坐標(biāo)系，在新坐標(biāo)系下，因?yàn)槿c(diǎn)都在二次曲線上，所以有又由于（0，1，0）是奇異點(diǎn)，所以 因此曲線在新坐標(biāo)系下的方程為 上述方程表示兩條直線，一個為無窮遠(yuǎn)直線，一個為有窮

13、遠(yuǎn)直線。 3|aij|=0，且（aij）的秩為1此時二次曲線退化并且有無窮多個奇異點(diǎn)，它們在一條直線上。（1）如果奇異點(diǎn)所在直線不是無窮遠(yuǎn)直線，以此直線為，因?yàn)槠娈慄c(diǎn)在曲線上，所以有于是曲線方程化成=0 表示兩條重合直線。 （2）如果奇異點(diǎn)所在直線為無窮遠(yuǎn)直線，以此直線為，則方程化為表示兩條重合的無窮遠(yuǎn)直線。以上討論可列表如下例 求仿射坐標(biāo)變換，化為標(biāo)準(zhǔn)形式。解 所給二次曲線之齊次坐標(biāo)方程為：因?yàn)樗郧€是橢圓。 由于，所以中心為過任意作一條直徑上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為，求的極線，則為互相共軛的直徑。的方程為即 化簡，得的方程為 取上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為，則為（4，-1，0）在原仿射坐標(biāo)系下，的方程順次為：以為新

14、坐標(biāo)三角形，則， 分別變成 因此坐標(biāo)變換公式為：取原坐標(biāo)系的點(diǎn)為新坐標(biāo)系的單位點(diǎn)，即帶入上式，得所以 從而有 解出，得帶入已知二次曲線方程，經(jīng)整理得再作坐標(biāo)變換 得到方程 這是一個實(shí)橢圓。4 二階曲線的度量性質(zhì)二次曲線在正交變換下的不變量和不變性質(zhì)稱為度量性質(zhì)。因?yàn)檎蛔儞Q是仿射變換的特例，它除了保持仿射性質(zhì)以外，還具有其他度量性質(zhì)。 正交變換保持無窮遠(yuǎn)直線上的兩個共軛虛點(diǎn)不變。下面我們采用笛卡兒直角坐標(biāo)系，在仿射平面上進(jìn)行討論。4.1 圓點(diǎn)和迷向直線定義4.1 共軛虛點(diǎn)稱為圓環(huán)點(diǎn)，簡稱圓點(diǎn)。在笛氏坐標(biāo)系下，圓的方程可以整理成：，（4.1）其中a110。定理4.1 一條非退化二次曲線表示圓的充

15、要條件是它經(jīng)過兩個圓環(huán)點(diǎn)。證明 必要性：若s0表示的是圓，則其方程為（4.1），將兩圓點(diǎn)i，j的坐標(biāo)代入，得所以圓通過兩個圓點(diǎn)i和j。充分性：如果二次曲線通過兩個圓點(diǎn)i，j，則有化簡成從而解得所以二次曲線方程為這是一個圓的方程。定義4.2 經(jīng)過圓點(diǎn)的直線（無窮遠(yuǎn)直線除外）叫做迷向直線。顯然，通過平面上任一點(diǎn)p有兩條迷向直線pi和pj。通過i的迷向直線方程可寫成，（b為復(fù)數(shù)）通過j的迷向直線方程可寫成,（b為復(fù)數(shù)）因?yàn)槠矫嫔系拿總€圓都經(jīng)過圓點(diǎn)，所以圓與無窮遠(yuǎn)直線的交點(diǎn)為兩個圓點(diǎn)，因此圓的漸近線為兩條分別通過i，j的迷向直線，這兩條迷向直線與圓切于i，j，兩切線的交點(diǎn)為圓心c。定理4.2 仿射變換

16、成為相似變換的充要條件是該變換保持兩個圓點(diǎn)不變。證明 相似變換為：寫成齊次方程為： 必要性：圓點(diǎn)i（1，i，0）經(jīng)過相似變換后變成（）即 （）當(dāng)=1時，點(diǎn)i仍變成i。當(dāng)=1時，點(diǎn)i變成點(diǎn)j。同理，相似變換把點(diǎn)j變成點(diǎn)j（=1）或i（=1）。充分性：設(shè)仿射變換為：如果它把i變成i，j變成j，則有從而解得 此時仿射變換為這是一個同向相似變換（=1）。同理，若把i變成j，把j變成i，則有從而得到異向相似變換（=1）。當(dāng)時，即相似比等于1時，即為正交變換，因此有推論 正交變換使圓點(diǎn)保持不變。迷向直線是通過圓點(diǎn)的直線，因此經(jīng)過正交變換仍變?yōu)槊韵蛑本€。由于圓點(diǎn)的這個性質(zhì)，我們討論二次曲線的度量性質(zhì)時，常常

17、以圓點(diǎn)和迷向直線為基礎(chǔ)。定理4.3 虛直線是迷向直線的充要條件是它上面任意兩個有窮點(diǎn)間的距離為零。證明 設(shè)是一條虛直線，是該直線上兩個不同的有窮點(diǎn)，于是有所以因此，若虛直線為迷向直線，則k=，從而|p1p2|=0；反之，若|p1p2|=0，則有k=，從而虛直線為迷向直線。由于迷向直線上任何兩點(diǎn)間的距離是零，故又稱迷向直線為極小直線。定理4.4 一條直線與另一條直線的交角是不存在的（或是不確定的）。證明 （1）設(shè)有兩條同類迷向直線，它們的斜率同時為 ，此時二直線的斜率之積為1，于是由交角公式得知所以角是不確定的。（2）設(shè)有一條迷向直線斜率為，另一條直線為，代入交角公式得又由公式 當(dāng)時，得即 所以

18、不存在。特別指出：由于兩條迷向直線的斜率的乘積為1，所以兩條迷向直線是垂直的。但是，所以它們是平行的，因此它是迷向的。42 拉蓋爾（laguerre）定理定理4.5 （laguerre定理）設(shè)兩條非迷向直線的交角為，又設(shè)兩條直線與過它們交點(diǎn)的兩條迷向直線所成的交比為，則有=證明 設(shè)兩條迷向直線的斜率為，過交點(diǎn)p的迷向直線的斜率為，則有因?yàn)樗杂种獜亩?即推論 兩條非迷向直線垂直的充要條件是這兩條直線與過它們交點(diǎn)的兩條迷向直線調(diào)和共軛。換言之，兩條直線垂直的充要條件是這兩條直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有兩個圓點(diǎn)調(diào)和共軛。證明必要性：若直線互相垂直，則=，由定理2.5得即 所以 充分性：若，則所以 即 =拉

19、蓋爾（laguerre）定理的推論非常重要，它將角與垂直這兩個歐氏度量概念與交比和調(diào)和共軛這兩個射影概念聯(lián)系起來，從而利用射影幾何觀點(diǎn)解決歐氏幾何的問題開辟了道路。注意：上述推論為我們用射影幾何觀點(diǎn)解決歐氏幾何問題提供了聯(lián)系紐帶，因?yàn)樗呀呛痛怪边@兩個歐氏度量概念同交比和調(diào)和共軛這兩個射影概念聯(lián)系起來。定理4.6 平面上不共線的三點(diǎn)可以確定一個圓。定理4.7 同一圓弧的圓周角相等。 例1 證明圓的任何一對共軛直徑都互相垂直。證明 如上圖 已知是圓的一對共軛直徑，與交于p，q，i，j為圓點(diǎn)，根據(jù)漸近線的性質(zhì)，知根據(jù)拉蓋爾定理的推論可知：例2 證明：在一平面上垂直于同一直線的二直線互相平行。證明

20、設(shè)一平面上直線，直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)順次為因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以所?因此重合為一點(diǎn)，即二直線有公共的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即4.3 二次曲線的主軸、焦點(diǎn)和準(zhǔn)線定義4.3 二階曲線的一條直徑如果平分一組和它垂直的弦，則此直徑叫做主軸，主軸與曲線的有窮交點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。由定義可知，對于有心二階曲線，主軸是互相垂直的共軛直徑，二階曲線關(guān)于主軸是對稱的。易知，圓的任何一條直徑都是主軸，圓上每個點(diǎn)都是頂點(diǎn)。下面分別討論三種類型二次曲線的主軸。定理4.8 拋物線有唯一主軸，唯一頂點(diǎn)。vijm1m2m證明 設(shè)無窮遠(yuǎn)直線與拋物線相切于點(diǎn)，設(shè)關(guān)于i，j兩點(diǎn)的第四調(diào)和點(diǎn)為，從作拋物線的切線交曲線與o，則的極線為o，因?yàn)椋╥j，）=1

21、所以由定理2.5的推論，有oo因?yàn)閛是一條直徑，所以過任作一條弦m1m2交o于m，有（m1m2，m）=1即m是弦m1m2的中點(diǎn)， o平分弦m1m，又m1mo，所以m1m o根據(jù)定義，o是拋物線的主軸，o是頂點(diǎn)。 由點(diǎn)的唯一性，因而與其極線o均唯一確定，所以拋物線有唯一主軸和唯一頂點(diǎn)。定理4.9 除圓以外的有心二階曲線只有一對主軸，它們是兩條漸近線交角的平分線。證明 設(shè)無窮遠(yuǎn)直線交有心二階曲線于，過，作切線p，q，二者交于中心c。p，q為曲線的漸近線。cpqlpaqb作c及其外角平分線a，b，設(shè)a，b交無窮遠(yuǎn)直線于a，b，則有ab因而（pq，ab）=1所以（ ，ab）=1因此，a，b是調(diào)和共軛點(diǎn)

22、，a，b是共軛直徑，又，所以是主軸。若另有一對主軸，設(shè)過中心的兩條迷向直線為ci，cj，因?yàn)?，所以有（，cicj）=1又有（ab，cicj）=1由上兩式可得一對合對應(yīng)：ab，ci，cj為不變直線，所以ci，cj為漸近線，因此二階曲線經(jīng)過點(diǎn)i，j，所以是圓。故除圓以外的有心二階曲線不存在第二對主軸，因?yàn)橹挥幸粚χ鬏S，故頂點(diǎn)有四個（包括虛頂點(diǎn)）。下面求出主軸的方程已知二次曲線（1） 有心二階曲線，此時設(shè)一直徑為其共軛直徑為其中 若兩直徑垂直，則有cpqij如圖，c為中心因?yàn)椋曰?，?kk=1 將代入，得即 （4.9）解(4.9)得k1，k2，即得主軸方程為： (4.10)（2） 拋物線,這時

23、.設(shè)拋物線與無窮遠(yuǎn)直線之切點(diǎn)為,的坐標(biāo)為.如果一直徑垂直它所平分的那組平行弦,則此直徑是關(guān)于i,j的調(diào)和共軛點(diǎn)的極線,即 (4.11)這就是拋物線的主軸方程.例1 試求二次曲線的主軸方程.解 因?yàn)樗苑匠瘫硎居行亩吻€。解方程 即 解之，得 故所求主軸方程為和 化簡后得所求主軸方程為 例2 試求拋物線的主軸和頂點(diǎn).解 因?yàn)?，代入公式得主軸為即 解方程組 得頂點(diǎn)之坐標(biāo)為（3/8，1/8）無論是有心還是無心的二次曲線,都可以利用主軸建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,以求得其標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)果與解析幾何中的相同.例如對于拋物線,我們可以把一個坐標(biāo)軸移到主軸,把坐標(biāo)原點(diǎn)移到頂點(diǎn),從而將拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)型.下面我

24、們討論焦點(diǎn)和準(zhǔn)線.定義4.4 自二圓點(diǎn)引二次曲線的切線，它們的有窮交點(diǎn)稱為二次曲線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)關(guān)于二次曲線的極線稱為二次曲線的準(zhǔn)線。這里的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線就是解析幾何里的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。（1） 圓圓經(jīng)過圓點(diǎn)，而過圓點(diǎn)的兩條切線交于圓心,所以圓的焦點(diǎn)即圓心.但圓心的極線是無窮遠(yuǎn)直線，所以圓的準(zhǔn)線是無窮遠(yuǎn)直線，因此在歐氏平面上圓的準(zhǔn)線不存在。（2）拋物線由于拋物線與無窮遠(yuǎn)直線相切，所以拋物線只有兩條有窮的迷向直線與曲線相切，它們的交點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)的極線即為準(zhǔn)線。準(zhǔn)線只有一條。fbaij定理4.10 拋物線有一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，焦點(diǎn)在主軸上，迷向切線的切點(diǎn)在準(zhǔn)線上，準(zhǔn)線垂直于主軸。證明 我們已經(jīng)證明

25、了拋物線有一個焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線，現(xiàn)在只證明焦點(diǎn)在主軸上，準(zhǔn)線垂直于主軸。ijpqafdcb由布利安桑定理的特殊情形知三線共點(diǎn)c.設(shè)準(zhǔn)線ab交于，由完全四點(diǎn)形的調(diào)和性知所以，且，因此是的極線，且垂直平分過的一組平行弦。 根據(jù)定義，是主軸，即焦點(diǎn)f在主軸上，準(zhǔn)線ab垂直于主軸。(3) 橢圓和雙曲線 定理4.11 對圓以外的實(shí)有心二次曲線，過圓點(diǎn)可以作四條切線，四個焦點(diǎn)分別在兩主軸上，有四條準(zhǔn)線，準(zhǔn)線分別垂直于兩主軸。證明 如上圖，分別是橢圓和雙曲線情形。過i，j作二次曲線的切線，兩兩相交，除i，j外還有四個交點(diǎn)，這是二次曲線的四個焦點(diǎn)。因?yàn)槭嵌吻€的外切四線形，所以其對頂三線形是自極三線形，即c是

26、的極點(diǎn)，因此c是中心，是一對共軛直徑，又所以 因此是主軸，即四焦點(diǎn)分別在二主軸上。因?yàn)榻?jīng)過的極點(diǎn)f，所以經(jīng)過的極點(diǎn)，同理也經(jīng)過。所以的極線（即準(zhǔn)線）平行于主軸，同理的極線也平行于另一主軸，因此有四條準(zhǔn)線分別垂直與二主軸。注意 橢圓和雙曲線的四個焦點(diǎn)中有二實(shí)點(diǎn)二虛點(diǎn)。這是應(yīng)為自圓點(diǎn)所作曲線的四條迷向切線皆為虛直線，而每一條虛直線上只能有一個實(shí)點(diǎn)，所以圖中f，g不能同時為實(shí)點(diǎn)，也不能同時為實(shí)點(diǎn)，如此等等。同時在四條迷向切線中，恰有兩對共軛復(fù)直線，而共軛復(fù)直線必交于實(shí)點(diǎn)，故四焦點(diǎn)為二實(shí)點(diǎn)和二虛點(diǎn)。在實(shí)平面上研究二次曲線時只研究它的兩個實(shí)焦點(diǎn)。例3 求拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。解 將已知方程化成齊次式 設(shè)自

27、和所作二迷向切線之方程為 將代入，得 有重根的條件為 解之，得 所以，迷向切線方程為和 解出它們的交點(diǎn)，得到焦點(diǎn)為f（1，0，2）再求f（1，0，2）關(guān)于二次曲線的極線，得到準(zhǔn)線為 例4 求證二次曲線的任一條切線與兩條定切線的交點(diǎn)在焦點(diǎn)處張成定角。證明如上圖，設(shè)二次曲線的任一切線為，兩條定切線為，f為一焦點(diǎn)，與之交點(diǎn)為，現(xiàn)在證明為常數(shù)。因?yàn)閒是焦點(diǎn)，所以fi，fj是二次曲線的切線，順次用表示，設(shè)順次與無窮遠(yuǎn)直線交于，由于是二次曲線的五條切線，所以其中四條在第五條切線上所截出的四點(diǎn)的交比為常數(shù)，即 （常數(shù)）又 所以即是定角，亦即是定角。5 二次曲線的度量分類本節(jié)討論二次曲線在正交變換下的分類問題

28、。二次曲線在正交變換下的分類稱為度量分類。在解析幾何中，我們曾利用坐標(biāo)變換給二次曲線作過分類，因?yàn)檫@都是在歐氏平面上進(jìn)行的，所以要解決度量分類問題，我們先從坐標(biāo)變換與正交變換之間的關(guān)系入手。在解析幾何中的坐標(biāo)變換是只改變坐標(biāo)系的位置而圖形的形狀和大小皆不變。事實(shí)上，這二者的結(jié)果完全一致的。二次曲線對坐標(biāo)系的方程與對的方程是一致的。yyxxoo（a） (b) 圖6-30從變換公式來看，在解析幾何中，將坐標(biāo)原點(diǎn)移至，再將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)變換公式為： 其中是一點(diǎn)對舊坐標(biāo)系的坐標(biāo)，（）是同一點(diǎn)對新坐標(biāo)系的坐標(biāo)。而坐標(biāo)軸不動，將圖形沿方向作平移的點(diǎn)變換公式為 其中和是做點(diǎn)變換后對應(yīng)點(diǎn)對同一坐標(biāo)系的坐標(biāo)。再將平移后的徒刑圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)角為，變換公式為： 其中和（）是做旋轉(zhuǎn)變換后的對應(yīng)點(diǎn)對同一坐標(biāo)系的坐標(biāo)。作這兩個變換的乘積，得即 我們可以看出即由解出的結(jié)果，實(shí)際上與是同一公式，因此在圖6-30中，圖（）之關(guān)于坐標(biāo)系與圖（）之關(guān)于坐標(biāo)系的方程是完全一樣的。根據(jù)以上討論，