2021年微積分1章微商

1、重點：極限的計算重點：極限的計算 難點：兩個重要極限的運用難點：兩個重要極限的運用 等價無窮小的運用等價無窮小的運用 分段函數在分段點處的性質分段函數在分段點處的性質 1.1 微積分研究什么？微積分研究什么？ 1.1.1 微積分與初等數學研究對象的比較微積分與初等數學研究對象的比較 1.1.2 微積分研究的兩類典型問題微積分研究的兩類典型問題 1.2 預備知識預備知識 : : 1.2.4 數列極限數列極限 數列極限的精確定義數列極限的精確定義(P6),(P6),用數列極限的精確用數列極限的精確 定義可以證明后面的運算法則和性質及以下結論定義可以證明后面的運算法則和性質及以下結論. . 數列極限

2、的運算法則數列極限的運算法則 數列極限的性質數列極限的性質 定理定理( (唯一性唯一性) ) 收斂數列的極限是唯一的收斂數列的極限是唯一的. . 定理定理( (有界性有界性) ) 收斂數列是有界的收斂數列是有界的. . 判斷一個有界數列是發(fā)散的方法：設法找出判斷一個有界數列是發(fā)散的方法：設法找出 它的兩個極限不同的收斂子序列它的兩個極限不同的收斂子序列. . 數列極限存在的法則數列極限存在的法則 單調有界法則單調有界法則 單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限. . 用單調有界法則可以證明用單調有界法則可以證明 存在存在. . 1.3 函數函數 1.3.1 函數概念函數概念 基本初等函數基本

3、初等函數 三角函數：三角函數：y = sinx, ,cosx, , tanx, ,cotx, , secx, ,cscx 反三角函數：反三角函數：y = arcsinx, ,arccosx, , arctanx, ,arccotx 其它函數其它函數 符號函數符號函數：sgn x = 分段函數分段函數：自變量在不同的范圍內時：自變量在不同的范圍內時, ,函數關函數關 系由不同的解析式子給出系由不同的解析式子給出. .如如sgn x. . 整變量函數整變量函數(數列數列)：y = f (n). . 隱函數隱函數：y = f (x)由方程由方程F(x, y) = 0確定確定. . 參數方程函數參數方

4、程函數：y = f (x)由由確定確定. . 注意注意: :一般不要去將隱函數或參數方程函數表一般不要去將隱函數或參數方程函數表 示為示為顯函數顯函數 y = f (x). . 1.3.2 函數的運算函數的運算 1.3.4 復合運算復合運算復合函數復合函數 1.3.5 函數的幾種特性函數的幾種特性 1.3.6 函數模型函數模型 指數增長模型指數增長模型 N(t) = N0ert tO N N0 經濟管理中的函數模型經濟管理中的函數模型 O pp0 需求函數需求函數 D(p) 供給函數供給函數 S(p) 均衡價格均衡價格 O xx0 C0 成本函數成本函數 C(x) 收益函數收益函數R(x) 保

5、本點保本點 收益函數收益函數R(x) = xp(x) = pD(p) 利潤利潤函數函數P(x) = R(x) C(x) 1.4 函數的極限函數的極限 函數極限的精確定義函數極限的精確定義(P29),(P29),用函數極限的精用函數極限的精 確定義確定義, ,可以證明后面的運算法則和性質及以下可以證明后面的運算法則和性質及以下 結論結論. . 左右極限左右極限 定理定理 函數在某點極限存在的充分必要條件函數在某點極限存在的充分必要條件 是它在該點左右極限都存在且相等是它在該點左右極限都存在且相等. . 無窮大量與垂直漸近線無窮大量與垂直漸近線 1.4.2 函數極限的運算與性質函數極限的運算與性質

6、 四則運算中的不定式極限四則運算中的不定式極限 ( (-型不定式型不定式) ) ( (x1近乎近乎x = 1) ) 對于對于-型不定式極限型不定式極限, ,先通分變型后再求解先通分變型后再求解. . 四則運算法則的應用四則運算法則的應用 函數極限的基本性質函數極限的基本性質 定理定理( (唯一性唯一性) ) 函數有極限則必唯一函數有極限則必唯一. . 兩邊夾法則也是計算函數極限的一種重要方法兩邊夾法則也是計算函數極限的一種重要方法. . 1.4.3 第一個重要極限第一個重要極限 ( (這里這里x以弧度為單位以弧度為單位) ) 練習練習 證明證明 第一個重要極限的應用第一個重要極限的應用 證證

7、令令 t = arcsinx, ,則則 x = sint, , 1.5 函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性 1.5.1 連續(xù)與間斷的直觀描述連續(xù)與間斷的直觀描述 1.5.2 連續(xù)與間斷的定義連續(xù)與間斷的定義 間斷點的分類間斷點的分類 1.5.3 初等函數的連續(xù)性初等函數的連續(xù)性 嚴格單調連續(xù)函數的反函數必存在嚴格單調連續(xù)函數的反函數必存在, ,而且也而且也 是嚴格單調連續(xù)的是嚴格單調連續(xù)的. . 連續(xù)函數的復合函數仍然是連續(xù)函數連續(xù)函數的復合函數仍然是連續(xù)函數. . 基本初等函數在其定義域內都是連續(xù)的基本初等函數在其定義域內都是連續(xù)的. . 任何初等函數在其任何初等函數在其定義區(qū)間定義區(qū)間內都是連續(xù)的內

8、都是連續(xù)的. . 初等函數連續(xù)性的應用初等函數連續(xù)性的應用 因此因此 a = 3. 1.5.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 定理定理( (最值定理最值定理) ) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數必有閉區(qū)間上的連續(xù)函數必有 最大值和最小值最大值和最小值. . 定理定理( (介值定理介值定理) ) 閉區(qū)間上連續(xù)函數可以取閉區(qū)間上連續(xù)函數可以取 其最大值與最小值之間的一切值其最大值與最小值之間的一切值. . 根的存在定理的應用根的存在定理的應用 例例 利用根的存在定理證明介值定理利用根的存在定理證明介值定理. 1.6 函數在無窮遠處的極限函數在無窮遠處的極限 1.6.2 第二個重要極限第二個重要

9、極限 根據根據兩邊夾法則兩邊夾法則, , 第二個重要極限的應用第二個重要極限的應用 冪指函數的極限冪指函數的極限 ( (1 型不定式 型不定式) ) 1.7 無窮小量及其比較無窮小量及其比較 1.7.1 無窮小量無窮小量 1.7.2 無窮小量的比較無窮小量的比較 常用的等價無窮小常用的等價無窮小 1.8 微商微商 1.8.1 微積分的典型問題之一微積分的典型問題之一 切線問題切線問題 1.8.2 微商概念微商概念 微商函數微商函數( (或導函數或導函數) ) sinx的微商的微商 lnx, ex的微商的微商 左右微商左右微商 定理定理 函數在某點微商存在的充分必要條件函數在某點微商存在的充分必

10、要條件 是它在該點左右微商都存在且相等是它在該點左右微商都存在且相等. . 曲線的切線曲線的切線 1.8.3 可微性與連續(xù)性可微性與連續(xù)性 定理定理 若函數若函數 f (x)在點在點 x0可微可微, ,則函數則函數 f (x)在在 點點 x0必連續(xù)必連續(xù). 在點在點x0連續(xù)但不可微的函數連續(xù)但不可微的函數. . x0 x O y x0 x O y 左右微商法的應用左右微商法的應用 1.8.4 科赫科赫(Koch)雪花曲線雪花曲線 科赫科赫(Koch)(Koch)雪花曲線是一條處處連續(xù)但處處雪花曲線是一條處處連續(xù)但處處 不可微的曲線不可微的曲線.(P74).(P74) 第第1章章 重要概念與公式重