線性代數(shù)32向量組的線性相關性PPT學習教案

1、會計學1 線性代數(shù)線性代數(shù)32向量組的線性相關性向量組的線性相關性 nn xxx +=L 則方程組可表示成 若記未知量為 n x x x x 驏 = 桫 M 第1頁/共57頁 線性方程組是否有解歸結為上式是否有解。 即就是矩陣的列向量加權和等于零. 第2頁/共57頁 定義 mm L=+ ， 或稱向量 可以由向量 線 性表出。 , m L 使如果存在一組常數(shù) , m L 的線性組合. 則稱向量是向量組, m L , m L m+ n ， 維向量 設 個是 第3頁/共57頁 零向量零向量 0 可被任一向量組可被任一向量組 , m L 線性表示線性表示. . 這是因這是因 為，為， m =+L .

2、第4頁/共57頁 i (,)im =L 都可由該向量組線性表示，即. iiiim -+ =+LL 一向量組 , m L 中的每一個向量 第5頁/共57頁 (,)T n a aa =L () () () , , , , , , , , ,. T n L L L L L L L L L T T ， ， ， = = = n 第6頁/共57頁 nn aaa =+L , n L n 第7頁/共57頁 線性表出呢？ , m L 線性表出，即 事實上，向量 能由向量組 , m L 維向量組 線性表出呢？線性表出呢？ n n n n 如何判斷 維向量 可否由 第8頁/共57頁 定理1 向量 可以由向量組 線性

3、表示的充分必要條件是線性方程組 有解，且一個解就是一 個組合系數(shù). mm xxx L+= 有解，亦即線性方程組 有解. n m Ax = , m L n m Ax = , m L n m Ax = , m L 定理1 向量 可以由向量組 線性表示的充分必要條件是線性方程組 有解，且一個解就是一 個組合系數(shù). n m Ax = , m L mm xxx L+= 有解，亦即線性方程組 有解. n m Ax = 第9頁/共57頁 (), , T = - (), , T =- , (), , T =- , 例 4 判斷向量 可否由向量 , 第10頁/共57頁 , xx x xx xx += - -=

4、- += - -= , , , 第11頁/共57頁 rr rr rr A + + 驏驏- 鼢瓏 鼢 瓏 鼢 瓏 鼢- 瓏 鼢 瓏鼢 =揪井 瓏鼢 鼢 瓏 - - 鼢瓏 鼢 瓏 鼢 瓏 鼢瓏 -桫桫 第12頁/共57頁 rr r rr rr + - + - 驏驏- 鼢瓏 鼢 瓏 鼢 瓏 鼢- 瓏 鼢 瓏鼢 揪井揪井 瓏鼢 鼢瓏 鼢瓏 鼢 瓏 鼢 瓏 鼢瓏 桫桫 第13頁/共57頁 x x 驏驏 = -桫桫 故 = - 所以，向量 可由向量組 線性表出. , 第14頁/共57頁 第15頁/共57頁 營養(yǎng) 成分 每100g食物所含營養(yǎng)（g ） 減 肥 所 要 求的每日營 養(yǎng)量 脫脂 牛奶 大豆粉乳清

5、 蛋白 質 36 51 13 33 碳 水 化 合物 52 34 45 45 脂肪 0 71.1 3 第16頁/共57頁 ,x x x (, ) , (, ) , (, . ) T T T = = = (, )T = 第17頁/共57頁 三種食物每日所需量的多少恰好為向量 由向量組 和 線性表示的系數(shù)，所以， , xxx += . x x x 驏驏驏 鼢?瓏? 鼢? 瓏? 鼢? 瓏? 鼢?= 瓏? 鼢? 瓏?鼢? 瓏?鼢? 琪?瓏鼢?瓏? 桫桫桫 即 , , 三種食物每日所需量的多少恰好為向量 由向量組 和 線性表示的系數(shù)，所以， , 第18頁/共57頁 (,)( ., ., .) TT x

6、xx = 由此可知每日所需三種食物的量分 別為脫脂牛奶27.72克，大豆粉39.19克， 乳清23.32克. 第19頁/共57頁 幾何空間的兩個非零向量幾何空間的兩個非零向量 與與 共線的共線的充分充分 必要必要條件是存在非零數(shù)條件是存在非零數(shù)k使得使得 k = ；也就是說；也就是說 存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù) ,k l ，使得，使得 kl += ；換言；換言 之， 向量之， 向量 與與 不共線， 當且僅當不共線， 當且僅當 kl= 時，時， 才有才有 kl += . 第20頁/共57頁 幾何空間的三個非零向量幾何空間的三個非零向量 , 共面共面充分充分 必要必要條件是存在不全為零的數(shù)條

7、件是存在不全為零的數(shù) , ,k l 使得使得 kl =+ 也就是存在不全為零的數(shù)也就是存在不全為零的數(shù) ,k k k ，使得使得 kkk += ； 換言之，三個向量換言之，三個向量 , 不共面，當且不共面，當且 僅當僅當 kkk = 時，時， kkk += 才成立才成立. . 第21頁/共57頁 定義5 1122 0 mm kkkL 12 , m k kkL 如果存在不全為零的數(shù) 使 則稱向量組 線性相關，否則 稱它線性無關 12 , m L 設n維向量組 12 , m 第22頁/共57頁 12 1 1122 1. , 0 0 n n nn kk kkk 若若 成成立立 . . 線線性性無無關

8、關, ,則則只只有當有當 時時, ,才才有有 對對于于任任一一向向量量組組, ,不不是是線線性性無無關關 就就是是線線性性相相關關. . 2. 向量組的線性相關和線性無關是一對相互對 立的概念， 第23頁/共57頁 3. = 0 0, 向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量時時, ,若若則則說說 線線性性相相關關, ,若若 則則說說線線性性無無關關. . .4. 組是線性相關的組是線性相關的包含零向量的任何向量包含零向量的任何向量 5.對對于于含含有有兩兩個個向向量量的的向向量量組組, ,它它線線性性相相關關的的 充充要要條條件件是是兩兩向向量量的的分分量量對對應應成成比比例例，幾幾何何意意

9、義義 是是兩兩向向量量共共線線；三三個個向向量量線線性性相相關關的的幾幾何何意意義義是是 三三向向量量共共面面. . 第24頁/共57頁 ， 7 4 2 5 2 0 1 1 1 321 . 21321 的線性相關性的線性相關性，及及，試討論向量組試討論向量組 解 .2 , 21 321 321 即可得出結論即可得出結論）的秩，利用定理）的秩，利用定理，及（及（ ），可同時看出矩陣（可同時看出矩陣（成行階梯形矩陣成行階梯形矩陣 ），施行初等行變換變），施行初等行變換變，對矩陣（對矩陣（ 已知已知例6 分析 第25頁/共57頁 751 421 201 ),( 321 23 2 5 rr ， 000

10、 220 201 ., 2),( ,2),( 2121 321321 線性無關線性無關向量組向量組 線性相關；線性相關；，向量組，向量組可見可見 R R 751 220 201 12 rr 550 220 201 31 rr 第26頁/共57頁 . , , , 321133322 211321 線性無關試證 線性無關已知向量組 bbbbb b 例7 0 , 332211 321 bxbxbx xxx使使設有設有 , 0)()( 133322211 xxx）（即即 , 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即 線性無關，故有線性無關，故有，因因 321 . 0 , 0 , 0 3

11、2 21 31 xx xx xx 證 第27頁/共57頁 02 110 011 101 列式列式由于此方程組的系數(shù)行由于此方程組的系數(shù)行 ., 0 321 321 線性無關線性無關 向量組向量組，所以，所以故方程組只有零解故方程組只有零解 bbb xxx 第28頁/共57頁 證明 充分性 設 中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表出. m a 即有 112211 mmm a m , 21 定理1 維向量組 （ ）線性 相關的充分必要條件是 中至少有一 個向量可由其余 個向量線性表出1 m m , 21 2 m m , 21 n m , 21 設 中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表出.

12、m a m , 21 第29頁/共57頁 故 01 112211 mmm a 故 線性相關. m , 21 必要性 設 線性相關， m , 21 則有不全為0的數(shù)使 , 21m kkk . 0 2211 mm kkk 因 這 個數(shù)不全為0， m 1, 121 m 第30頁/共57頁 因 中至少有一個不為0， m kkk, 21 . 1 3 1 3 2 1 2 1m m k k k k k k 證畢. 因 中至少有一個不為0， m kkk, 21 不妨設則有 , 0 1 k 即 能由其余向量線性表出. 1 第31頁/共57頁 對照線性方程組的向量形式，可知對照線性方程組的向量形式，可知 使得向量

13、線性相關的不全為零的使得向量線性相關的不全為零的 數(shù)數(shù) , s k kk L 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 ss xxx +=L ，即，即 第32頁/共57頁 定理定理 2 2 向量組向量組 , m L 線性相關線性相關 的充分必要條件是的充分必要條件是 (,) m =A L 為系數(shù)陣的齊次線性方程組為系數(shù)陣的齊次線性方程組 Ax=0Ax=0 有非有非 零解零解. .且且其其任一非零解就是不全為零的任一非零解就是不全為零的 組合系數(shù)組合系數(shù). .也就是說，向量組線性無關也就是說，向量組線性無關 的充分必要條件是齊次方程組只有零解的充分必要條件是齊次方程組只有零解. . 第33頁/共57頁

14、推論1. 個 維向量 線性 相關充要條件是 ，或 其中 。 (,) n =A L , n Ln A =( )Rn 推論1. 個 維向量 線性 相關充要條件是 ，或 其中 。 , n Ln A =( )Rn 第34頁/共57頁 例例 8 8 討論下列向量組的線性相關性：討論下列向量組的線性相關性： （1 1） ()(), , , , TT =-=- ()(), , , , , TT = -= - ； （2 2） ()()(), , , , TTT = . . 第35頁/共57頁 (,) =A rr A + 驏驏 - 鼢瓏 鼢 瓏 鼢 瓏 鼢- 瓏 鼢 瓏鼢 =揪井 瓏鼢 鼢瓏 鼢瓏 鼢 瓏 鼢

15、瓏 鼢瓏 -桫桫 (,) =A 解（1）法1 構造矩陣 ，利用 初等行變換把它化為行階梯形矩陣，有 (,) =A 第36頁/共57頁 rr rr - + 揪井 驏- 桫 rr r 驏 - 揪井 桫 ()rr rr + - + 驏 - 揪揪? 桫 rr rr - + 揪井 驏- 桫 第37頁/共57頁 因為 ，所以向量組線性相關. 若要找出一組不全為零的數(shù) ， 使得 ( ) R=A ,k kkk kkkk += 可解齊次線性方程組的同解方程 kk kk kk = - = = 第38頁/共57頁 k= ,kkk = -= 令 則得 =?+ 所以 =?+ 所以 =?+ =?+ 所以 =?+ 所以 =

16、?+ =?+ （2）構造矩陣 并施行行初等變 換有 (,) B = (,) B = rr rr B - - 驏驏 鼢瓏 鼢 瓏 鼢 瓏 鼢=揪井- 瓏 鼢 瓏鼢 瓏鼢 鼢瓏 -桫桫 (,) B = （2）構造矩陣 并施行行初等變 換有 (,) B = 第39頁/共57頁 ()r rr - + 驏 揪井 桫 ( ) rB = , 因為 =未知量的個數(shù)， 所以方程組只有零解， 故 向量組線性無關. ( ) R=B , 第40頁/共57頁 性質1 向量組 線性無關，而 向量組 ， 線性相關，則 可以由 線性表出，且表示法 惟一. , m L , m L 證 因為 ， 線性相關，則存 在不全為零的數(shù)

17、使得 , m k kkl L , m L , m L , m L , m L , m L , m L , m k kkl L , m L , m k kkl L , m L , m k kkl L , m L 證 因為 ， 線性相關，則存 在不全為零的數(shù) 使得 , m k kkl L , m L , m L 性質1 向量組 線性無關，而 向量組 ， 線性相關，則 可以由 線性表出，且表示法 惟一. , m L , m L , m L 第41頁/共57頁 mm kkkl0 L+= mm kkk +=L , m L 因此， l m m kkk lll 驏驏驏 鼢瓏 = -鼢 瓏 鼢瓏 桫桫桫 L

18、故 若 則 不全為零 , m k kk L l= , m L 線性相關矛盾， 因此， l 故 這與 , m L 這與 線性無關矛盾， , m L 這與 第42頁/共57頁 , mm klklkl -=-=-=L , mm kl klkl =L 即 所以 故 可由唯一線性表出 , m L 性質 2 若向量組的一部分向量線性相關 ，則整個向量組線性相關; 也就是說， 線性無關的向量組的任何部分向量組必 線性無關. 第43頁/共57頁 , m L 即 可 由線性表示. , m L 即 可 由線性表示. , m L 設 有兩種表示式， mm kkk =+L mm lll =+L 兩式相減得 ()()(

19、) mmm klklkl -+-+-=L , m L 線性無關因為 第44頁/共57頁 這時，有這時，有 因為系數(shù) 不全為零，所以，向 量組 線性相關. sssm kkk LL + += , , s k kk LL , ssm + LL , , s k kk LL , ssm + LL , , s k kk LL 因為系數(shù) 不全為零，所以，向 量組 線性相關. , ssm + LL , , s k kk LL 證 不失一般性，設向量組 , ssm+ LL , s L , s k kk L則存在不全為零的數(shù) 使得 ss kkk +=L 證 不失一般性，設向量組 , ssm+ LL , s k k

20、k L則存在不全為零的數(shù) , s k kk L 中部分向量 組 線性相關，, s L 第45頁/共57頁 性質4 如果 個 維向量 線性無關，那么在每一個向量上添加 個分量后所得的 個 維向量, m n m n (, ,)im =L (,)T iiiin aaa =Lmn s ns+m 也線性無關. (, ,)im =L(,) T iiiininins aaaaa LL + = mnmnmnm m m m(,)T iiiin aaa =Lnm 性質4 如果 個 維向量 線性無關，那么在每一個向量上添加 個分量后所得的 個 維向量, (, ,)im =L ns+m (,)T iiiin aaa

21、=Lnm 第46頁/共57頁 (,) m A =L (,) m B =L ( )( )RRAB , m L 而向量組 所以 ( )( )RRmBA? ()RmB = , m L 故 顯然 ( )( )RRAB , m L 線性無關而向量組 , m L ( )RmA = 所以 又 ( )RmB ( )( )RRmBA? 所以 ()RmB = 線性無關 , m L 故 第47頁/共57頁 但不能由向量 線性表出， , 例10 設向量 可由向量組 線性表出， , 試證向量 不能由 線性表 出， , 而可由向量組 , , 線性表出. , 若向量組線性相關，去掉幾個分量后所得 的向量組仍然線性相關（留給

22、讀者自己證明）. 第48頁/共57頁 先證 不能由 線性表出. 設存在數(shù) ，使 ,k kk , kkk =+ =+ 又 可由向量組 線性表出 , , 即存在數(shù) ，使 第49頁/共57頁 ()()() k k k =+ 即 可由向量組 線性表示，矛盾. , 代入 得 即 可由向量組 線性表示，矛盾. , 即 可由向量組 線性表示，矛盾. , 再證 能由向量組 ， 線性表出 , 依題意，得否則 與 不能由 線性表示矛盾. , 依題意，得否則 再證 能由向量組 ， 線性表出 , 故 能由向量組 ， 線性表出. , 4112233 4 1 第50頁/共57頁 為滿秩矩陣 ， 試判斷兩直線 的關系. abc abc abc A 驏 = 桫 :L 111 232323 x-ay -bz -c = a -ab -bc -c :L 222 131313 x-ay -bz -c = a -ab -bc -c abc abc abc A 驏 = 桫 為滿秩矩陣 ， abc abc abc A 驏 = 桫 第51頁/共57頁 將將 ( , , ) (, , ) T iiii a b ci = 看作空間中的三點看作空間中的