2015年高考真題——理科數學（新課標Ⅰ卷）

1、精品文檔可下載編輯修改2015年高考真題理科數學（新課標卷） 設復數z滿足=i，則|z|= （a）1 （b） （c） （d）2 【答案解析】 a 試題分析:由=i得，故，故選a. 考點：1.復數的運算；2.復數的模. （a） （b） （c） （d） 【答案解析】 d 試題分析：原式=，故選d. 考點：誘導公式；兩角和與差的正余弦公式 設命題p：nn，則p為 （a）nn, （b） nn, （c）nn, （d） nn, = 【答案解析】 c 試題分析：:，故選c. 考點：特稱命題的否定 投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨

2、立，則該同學通過測試的概率為 （a）0.648 （b）0.432 （c）0.36 （d）0.312 【答案解析】 a 試題分析：根據獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為=0.648，故選a. 考點：獨立重復試驗；互斥事件和概率公式 已知m（x0，y0）是雙曲線c：上的一點，f1、f2是c上的兩個焦點，若0，則y0的取值范圍是 （a）（-，） （b）（-，） （c）（，） （d）（，） 【答案解析】 a 試題分析:由題知， 所以， 解得，故選a. 考點：向量數量積；雙曲線的標準方程 九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問:積及為米

3、幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 a.14斛 b.22斛 c.36斛 d.66斛 【答案解析】 b 試題分析：設圓錐底面半徑為，則，所以米堆的體積為，故堆放的米約為故選b. 考點：圓錐的體積公式 設d為abc所在平面內一點，則 （a） (b) （c） (d) 【答案解析】 a 試題分析：由題知，故選a. 考點：平面向量運算 函數=的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區(qū)間為 (a)（）,k

4、(b)（）,k (c)（）,k (d)（）,k 【答案解析】 d 試題分析：由五點作圖知，解得，所以，令，解得，故單調減區(qū)間為（，），故選d. 考點：三角函數圖像與性質 執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n= （a）5 （b）6 （c）7 （d）8 【答案解析】 c 試題分析：執(zhí)行第1次，t=0.01,s=1,n=0,m=0.5,s=s-m=0.5,=0.25,n=1,s=0.5t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第2次，s=s-m=0.25,=0.125,n=2,s=0.25t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第3次，s=s-m=0.125,=0.0625,n=3,s=0.125t=0

5、.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第4次，s=s-m=0.0625,=0.03125,n=4,s=0.0625t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第5次，s=s-m=0.03125,=0.015625,n=5,s=0.03125t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第6次，s=s-m=0.015625,=0.0078125,n=6,s=0.015625t=0.01,是，循環(huán)， 執(zhí)行第7次，s=s-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,s=0.0078125t=0.01,否，輸出n=7，故選c. 考點：程序框圖 的展開式中，的系數為 （a）10 （b）20 （c）30 （d）60 【答案解析】 c 試

6、題分析：在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數為=30，故選 c. 考點：排列組合；二項式定理 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則r= （a）1 （b）2 （c）4 （d）8 【答案解析】 b 試題分析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱體的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為，解得，故選b. 考點：簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式；圓柱的測面積公式 設函數=,其中a1，若存在唯一的整數x0，使得0，則的取值范圍是

7、a.-，1） b. -，） c. ，） d. ，1） 【答案解析】 d 試題分析：設=，由題知存在唯一的整數，使得在直線的下方. 因為，所以當時，0，當時，0，所以當時，=， 當時，=-1，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得1，故選d. 考點：導數的綜合應用 若函數f(x)=xln（x+）為偶函數，則a= 【答案解析】 1 試題分析：由題知是奇函數，所以，解得. 考點：函數的奇偶性 一個圓經過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標準方程為 。 【答案解析】 試題分析：設圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為. 考點：橢圓的幾何性質；圓的標準方程 若x,y滿足約束條件，則的最大

8、值為 . 【答案解析】 3 試題分析：作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內一點與原點連線的斜率，由圖可知，點a（1,3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為3. 考點：線性規(guī)劃解法 在平面四邊形abcd中，a=b=c=75，bc=2，則ab的取值范圍是 【答案解析】 （，） 試題分析：如圖所示，延長ba，cd交于e，平移ad，當a與d重合與e點時，ab最長，在bce中，b=c=75，e=30，bc=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移ad ，當d與c重合時，ab最短，此時與ab交于f，在bcf中，b=bfc=75，fcb=30，由正弦定理知，即，解得bf=，所以ab的取值范圍

9、為（，）. 考點：正余弦定理；數形結合思想 為數列的前n項和.已知0，=. （）求的通項公式： （）設 ,求數列的前n項和 【答案解析】 （）（） 試題分析：（）先用數列第n項與前n項和的關系求出數列的遞推公式，可以判斷數列是等差數列，利用等差數列的通項公式即可寫出數列的通項公式；（）根據（）數列的通項公式，再用拆項消去法求其前n項和. 試題解析：（）當時，因為，所以=3， 當 時，=，即，因為，所以=2， 所以數列是首項為3，公差為2的等差數列， 所以=； （）由（）知，=， 所以數列前n項和為= =. 考點：數列前n項和與第n項的關系；等差數列定義與通項公式；拆項消去法 如圖，四邊形abc

10、d為菱形，abc=120，e，f是平面abcd同一側的兩點，be平面abcd，df平面abcd，be=2df，aeec。 （）證明：平面aec平面afc （）求直線ae與直線cf所成角的余弦值 【答案解析】 （）見解析（） 試題分析：（）連接bd，設，連接,在菱形abcd中，不妨設易證,通過計算可證,根據線面垂直判定定理可知平面,由面面垂直判定定理知平面平面;（）以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系，利用向量法可求出異面直線與所成角的余弦值. 試題解析：（）連接bd，設bdac=g，連接eg,fg,ef,在菱形abcd中，不妨設gb=1，由abc=120，可

11、得ag=gc=,由be平面abcd，ab=bc可知，ae=ec,又aeec,eg=,egac,在中，可得be=，故df=。在中，可得. 在直角梯形bdfe中，由bd=2，be=,df=可得 ，egfg， acfg=g，eg平面afc， eg面aec，平面afc平面aec. 6分 （）如圖，以g為坐標原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系g-xyz，由（）可得a（0，0），e(1,0, )，f（1,0，），c（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分 故. 所以直線ae與cf所成的角的余弦值為. 12分 考點：空間垂直判定與性質；異面直線所成角的計算；空間想象能

12、力，推理論證能力 某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x1和年銷售量y1（i=1,2，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中=, = （）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由） （）根據（）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程； （）已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據（）的結果回答下列問題： （i）

13、年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ （ii）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？ 附：對于一組數據,，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：， 【答案解析】 （）適合作為年銷售關于年宣傳費用的回歸方程類型（）（）（i）66.32（ii）46.24 試題分析：（）由散點圖即所給函數圖像即可選出適合作為擬合的函數，（）令，先求出建立關于的線性回歸方程，即關于的回歸方程；（）（i）利用關于的回歸方程先求出年銷售量的預報值，再根據年利率與的關系為即年利潤的預報值；（ii）根據（）的結果可知，年利潤的預報值，列出關于的方程，利用二次函數求最值的方法即可求出年利潤取最大值是的年

14、宣傳費. 試題解析（）由散點圖可以判斷，適合作為年銷售關于年宣傳費用的回歸方程類型. 2分 （）令，先建立關于的線性回歸方程， 由于 關于的線性回歸方程為 關于的回歸方程為. 6分 （）（i）由（）知，當時，年銷售量的預報值， 9分 （i） 根據（）的結果知，年利潤的預報值 當，即時，取得最大值. 故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大. 12分 考點：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進行預報預測；應用意識 在直角坐標系xoy中，曲線c：y=與直線(0)交與m,n兩點， （）當k=0時，分別求c在點m和n處的切線方程； （）y軸上是否存在點p，使得當k變動時，總有opm =

15、opn？說明理由。 【答案解析】 （）或（）存在 試題分析：（）先求出m,n的坐標，再利用導數求出m,n.（）先作出判定，再利用設而不求思想即將代入曲線c的方程整理成關于的一元二次方程，設出m,n的坐標和p點坐標，利用設而不求思想，將直線pm，pn的斜率之和用表示出來，利用直線pm，pn的斜率為0,即可求出關系，從而找出適合條件的p點坐標. 試題解析：（）由題設可得，或，. ，故在=處的導數值為，c在處的切線方程為 ，即. 故在=-處的到數值為-，c在處的切線方程為 ，即. 故所求切線方程為或. 5分 （）存在符合題意的點，證明如下： 設p（0，b）為復合題意得點，直線pm，pn的斜率分別為.

16、 將代入c得方程整理得. . =. 當時，有=0，則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補， 故opm=opn，所以符合題意. 12分 考點：拋物線的切線；直線與拋物線位置關系；探索新問題；運算求解能力 已知函數f（x）=. ()當a為何值時，x軸為曲線 的切線； （）用表示m,n中的最小值，設函數 ，討論h（x）零點的個數. 【答案解析】 （）；（）當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點. 試題分析：（）先利用導數的幾何意義列出關于切點的方程組，解出切點坐標與對應的值；（）根據對數函數的圖像與性質將分為研究的零點個數，若零點不容易求解，則對再分類討論. 試題解析：（）設曲線

17、與軸相切于點，則，即，解得. 因此，當時，軸是曲線的切線. 5分 （）當時，從而， 在（1，+）無零點. 當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點. 當時，所以只需考慮在（0,1）的零點個數. ()若或，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調，而，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點. ()若，則在（0，）單調遞減，在（，1）單調遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=. 若0，即0，在（0,1）無零點. 若=0，即，則在（0,1）有唯一零點； 若0，即，由于，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點. 10分 綜上，當或時，

18、有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點. 12分 考點：利用導數研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數的零點；分類整合思想 請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2b鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。 選修4-1：幾何證明選講 如圖，ab是o的直徑，ac是o的切線，bc交o于e （i） 若d為ac的中點，證明：de是o的切線； （）若，求acb的大小. 【答案解析】 （）見解析（）60 試題分析：（）由圓的切線性質及圓周角定理知，,由直角三角形中線性質知,利用等量代換可證，即，所以是圓的切線；（）設,由得，設，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得,列出關于的方程，解出，即可求出的大小. 試題解析：（）連接，由已知得，, 在中，由已知得de=dc, 連接oe，, ,是圓的切線。 5分 （）設ce=1，ae=x,由已知得 由射影定理可得，, 解得 10分 考點：圓的切線判定與性質；圓周角定理；直角三