五：平面向量與空間向量十年高考題(含答案)

1、-作者xxxx-日期xxxx五：平面向量與空間向量十年高考題(含答案)【精品文檔】第五章 平面向量與空間向量考點(diǎn)闡釋1.向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，并和數(shù)一樣，也能運(yùn)算.它是一種工具，用向量的有關(guān)知識(shí)能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問(wèn)題.向量法和坐標(biāo)法是研究和解決向量問(wèn)題的兩種方法.坐標(biāo)表示，使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問(wèn)題，在解析幾何中有廣泛的應(yīng)用.向量法便于研究空間中涉及直線和平面的各種問(wèn)題.2.平移變換的價(jià)值在于可利用平移變換，使相應(yīng)的函數(shù)解析式得到簡(jiǎn)化.試題類編一、選擇題1.（2002上海春，13）若a、b、c為任意向量，mR，則下列等式不一定

2、成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）c=ac+bcC.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）2.（2002天津文12，理10）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（1，3），若點(diǎn)C滿足，其中、R，且+=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）x+2y11=0 B.（x1）2+（y2）2=5xy=0 D.x+2y5=03.（2001江西、山西、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，1），則向量2ba的坐標(biāo)是（ ）A.（3，4） B.（3，4） C.（3，4） D.（3，4）4.（2001江西、山西、天津）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過(guò)焦點(diǎn)

3、的直線交于A、B兩點(diǎn)，則等于（ ）圖51A. B. C.3 D.35.（2001上海）如圖51，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若=a，=b，=c.則下列向量中與相等的向量是（ ）A.a+b+cB. a+b+cC. ab+cD.ab+c6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a=（1，1），b=（1，1），c=（1，2），則c等于（ ）A.a+b B.ab C. ab D.a+b7.(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（ab）c（ca）b=0 |a|b|0）.如圖52.（1）證明：三棱柱ABCA1B1C1是正三棱

4、柱；（2）若m=n，求直線CA1與平面A1ABB1所成角的大小.17.（2002上海春，19）如圖53，三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=60，AOB=90，且OB=OO1=2，OA=.求：（1）二面角O1ABO的大小；（2）異面直線A1B與AO1所成角的大小.（上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）18.（2002上海，17）如圖54，在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是線段AB的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB上的一點(diǎn)，若OPBD，求OP與底面AOB所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）圖53 圖54 圖5519.（2002天津文9，理18）如

5、圖55，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)A、B、A1、C1的坐標(biāo)；（2）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.20.（2002天津文22，理21）已知兩點(diǎn)M（1，0），N（1，0），且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列.（1）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），為與的夾角，求tan.21.（2001江西、山西、天津理）如圖56，以正四棱錐VABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a，高為h.（1）求cos；（2）記面BCV為，面DCV為，若BED是二面角

6、VC的平面角，求BED.圖56 圖57 圖5822.（2001上海春）在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D.（1）求證：A1C平面AEF；（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角）.則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等.試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5時(shí)，求平面AEF與平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函數(shù)值表示）23.（2001上海）在棱長(zhǎng)為a的正方體OABCOABC中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.如圖58.（

7、1）求證：AFCE.（2）當(dāng)三棱錐BBEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角BEFB的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）24.（2000上海春，21）四棱錐PABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形， =2，1，4，=4，2，0，=1，2，1.（1）求證：PA底面ABCD；（2）求四棱錐PABCD的體積；（3）對(duì)于向量a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，c=x3，y3，z3，定義一種運(yùn)算：（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，試計(jì)算（）的絕對(duì)值的值；說(shuō)明其與四棱錐PABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算（）的絕對(duì)值的幾何意義.25.（2000

8、上海，18）如圖59所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos，求四面體ABCD的體積.圖59 圖510 圖51126.（2000天津、江西、山西）如圖510所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).（1）求的長(zhǎng)；（2）求cos的值；（3）求證：A1BC1M.27.（2000全國(guó)理，18）如圖511，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60.（1）證明：C1CBD；（2）假定CD=2

9、，CC1=，記面C1BD為，面CBD為，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C平面C1BD？請(qǐng)給出證明.圖51228.（1999上海，20）如圖512，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD與底面成30角.（1）若AEPD，E為垂足，求證：BEPD；（2）求異面直線AE與CD所成角的大小.圖51329.（1995上海，21）如圖513在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，0），點(diǎn)D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30。（1）求向量的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量和

10、的夾角為，求cos的值.答案解析1.答案：D解析：因?yàn)椋╝b）c=|a|b|cosc而a（bc）=|b|c|cosa而c方向與a方向不一定同向.評(píng)述：向量的積運(yùn)算不滿足結(jié)合律.2.答案：D解析：設(shè)=（x，y），=（3，1），=（1，3），=（3，），=（，3）又+=（3，+3）（x，y）=（3，+3），又+=1 因此可得x+2y=5評(píng)述：本題主要考查向量法和坐標(biāo)法的相互關(guān)系及轉(zhuǎn)換方法.3.答案：D解析：設(shè)（x，y）=2ba=2（0，1）（3，2）=（3，4）.評(píng)述：考查向量的坐標(biāo)表示法.4.答案：B解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB所在直線方程為y=k（x），則=x1x2+y1

11、y2.又，得k2x2（k2+2）x+=0，x1x2=，而y1y2=k（x1）k（x2）=k2（x1）（x2）=1.x1x2+y1y2=1=.解法二：因?yàn)橹本€AB是過(guò)焦點(diǎn)的弦，所以y1y2=p2=1.x1x2同上.評(píng)述：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.5.答案：A解析：=c+（a+b）=a+b+c評(píng)述：用向量的方法處理立體幾何問(wèn)題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力.6.答案：B解析：設(shè)c=ma+nb，則（1，2）=m（1，1）+n（1，1）=（m+n，mn）. 評(píng)述：本題考查平面向量的表示及運(yùn)算.7.答案：D解析：假；由向

12、量的減法運(yùn)算可知|a|、|b|、|ab|恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”，故真；因?yàn)椋╞c）a（ca）bc=（bc）ac（ca）bc假；（3a+2b）（3a2b）=9aa4bb=9|a|24|b|2真.評(píng)述：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律.8.答案：A解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b（此題k必存在），則直線向左平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位后，直線方程應(yīng)為y=k（x+3）+b+1即y=kx+3k+b+1k+b+1=b.k=.評(píng)述：本題考查平移變換與函數(shù)解析式的相互關(guān)系.9.答案：13解析：（2ab）a=2a2ba=2|a|2|a|b|cos120=2425（）=13.評(píng)述

13、：本題考查向量的運(yùn)算關(guān)系.10.答案：90解析：由|+|=|，可畫出幾何圖形，如圖514.圖514|表示的是線段AB的長(zhǎng)度，|+|表示線段OC的長(zhǎng)度，由|AB|=|OC|平行四邊形OACB為矩形，故向量與所成的角為90評(píng)述：本題考查向量的概念，向量的幾何意義，向量的運(yùn)算.這些知識(shí)不只在學(xué)習(xí)向量時(shí)用到，而且在復(fù)數(shù)、物理學(xué)中也是一些最基本的知識(shí).11.答案：4解析：=1，2，=3，m，=4，m2，又，14+2（m2）=0，m=4.評(píng)述：本題考查向量的概念，向量的運(yùn)算，向量的數(shù)量積及兩向量垂直的充要條件.12.答案：（）解析：設(shè)a=2+i，b=，由已知、的夾角為，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得=（cos+

14、isin）=（2+i）.b=（）評(píng)述：本題考查向量的概念，向量與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查變通、變換等數(shù)學(xué)方法，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.a+b=（m+2）i+（m4）j=（m+2，m4）ab=mi+（m2）j=（m，m2）13.答案：2解析：由題意，得（a+b）（ab），（m+2）m+（m4）（m2）=0，m=2.評(píng)述：本題考查平面向量的加、減法,平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算,兩向量垂直的充要條件.a+b=2i8jab=8i+16j14.答案：63解析：解方程組a=3i+4j=（3，4）b=5i12j=（5，12）得ab=（3）5+4（12）=63.評(píng)述：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及求法.

15、15.答案：（4，2）解析：設(shè)P（x，y），由定比分點(diǎn)公式，則P（2，1），又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得B（4，2）.16.（1）證明：，| |=m，又|=m，|=m，ABC為正三角形.又=0，即AA1AB，同理AA1AC，AA1平面ABC，從而三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱.（2）解：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)CO、A1O.COAB，平面ABC平面ABB1A1，CO平面ABB1A1，即CA1O為直線CA1與平面A1ABB1所成的角.在RtCA1O中，CO=m，CA1=，sinCA1O=，即CA1O=45.圖51517.解：（1）取OB的中點(diǎn)D，連結(jié)O1D，則O1DOB.平面OBB1O1平面OAB，O1

16、D平面OAB. 過(guò)D作AB的垂線，垂足為E，連結(jié)O1E.則O1EAB.DEO1為二面角O1ABO的平面角.由題設(shè)得O1D=，sinOBA=，DE=DBsinOBA=在RtO1DE中，tanDEO1=，DEO1=arctan，即二面角O1ABO的大小為arctan.（2）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB所在直線為x、y軸，過(guò)O點(diǎn)且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖5O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0）.設(shè)異面直線A1B與AO1所成的角為，則，cos=，異面直線A1B與AO1所成角的大小為arccos.圖51618.解法一：如圖516

17、，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，有B（3，0，0），D（，2，4），設(shè)P（3，0，z），則=，2，4，=3，0，z.BDOP，=+4z=0，z=.BB平面AOB，POB是OP與底面AOB所成的角.tanPOB=，POB=arctan.圖517解法二：取OB中點(diǎn)E，連結(jié)DE、BE，如圖517，則DE平面OBBO，BE是BD在平面OBBO內(nèi)的射影.又OPBD.由三垂線定理的逆定理，得OPBE.在矩形OBBO中，易得RtOBPRtBBE，得BP=.圖518（以下同解法一）19.解：（1）如圖518，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面AB

18、B1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0， a），C1（）.（2）坐標(biāo)系如圖，取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M（0， a），連AM，MC1有=（a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）由于=0，=0，所以MC1面ABB1A1.AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.=（），=（0，a），=0+2a2=a2.而|=.|=.cos，=.所以與所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30.20.解：（1）記P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得=（1x，y），=（1x，y），=（2，0）=2（1+

19、x），=x2+y21，=2（1x）.于是，是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于 即所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓.（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0）.=x02+y021=2.|=.cos=21.解：（1）由題意知B（a，a，0），C（a，a，0），D（a，a，0），E（）.由此得，.由向量的數(shù)量積公式有cos（2）若BED是二面角VC的平面角，則，則有0.又由C（a，a，0），V（0，0，h），有（a，a，h）且，.即ha，這時(shí)有cos，BEDarccos（）arccos評(píng)述：本小題主要考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及兩個(gè)向量夾角的計(jì)算方法；考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)

20、學(xué)思想方法.22.（1）證明：因?yàn)镃B平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影為A1B.由A1BAE，AE平面A1B，得A1CAE.同理可證A1CAF.因?yàn)锳1CAF，A1CAE，圖519所以A1C平面AEF.（2）解：過(guò)A作BD的垂線交CD于G，因?yàn)镈1DAG，所以AG平面D1B1BD.設(shè)AG與A1C所成的角為，則即為平面AEF與平面D1B1BD所成的角.由已知，計(jì)算得DG=.如圖519建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0）.AG=，3，0，A1C=4，3，5.因?yàn)锳G與A1C所成的角為，所以cos=.由定理知，平面AEF與平面D1B1

21、BD所成角的大小為arccos.注：沒有學(xué)習(xí)向量知識(shí)的同學(xué)可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：設(shè)AG與BD交于M，則AM面BB1D1D，再作ANEF交EF于N，連接MN，則ANM即為面AEF與D1B1BD所成的角，用平面幾何的知識(shí)可求出AM、AN的長(zhǎng)度.解法二：用面積射影定理cos=.評(píng)述：立體幾何考查的重點(diǎn)有三個(gè)：一是空間線面位置關(guān)系的判定；二是角與距離的計(jì)算；三是多面體與旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算.23.建立坐標(biāo)系，如圖520.（1）證明：設(shè)AE=BF=x，則A（a，0，a），F(xiàn)（ax，a，0），C（0，a，a），E（a，x，0）=x，a，a，=a，xa，a.=xa+a（xa）+a2=0AFCE（

22、2）解：設(shè)BF=x，則EB=ax三棱錐BBEF的體積V=x（ax）a（）2=a3當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立.因此，三棱錐BBEF的體積取得最大值時(shí)BE=BF=，過(guò)B作BDEF于D，連BD，可知BDEF.BDB是二面角BEFB的平面角在直角三角形BEF中，直角邊BE=BF=，BD是斜邊上的高.BD=a.tanBDB=故二面角BEFB的大小為arctan2.=0，使問(wèn)題很容易得到解決.而體積的最值除用均值不等式外亦可用二次函數(shù)求最值的方法處理.二面角的平面角的找法是典型的三垂線定理找平面角的方法，計(jì)算較簡(jiǎn)單，有一定的思維量.24.（1）證明：=22+4=0，APAB.又=4+4+0=0，APAD.A

23、B、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，AP底面ABCD.（2）解：設(shè)與的夾角為，則cos=V=|sin|=（3）解：|（）|=|43248|=48它是四棱錐PABCD體積的3倍.猜測(cè)：|（）|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積）.評(píng)述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主要考查考生的運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力及空間想象能力.圖52125.解：如圖521建立空間直角坐標(biāo)系由題意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E

24、（1，1，0）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，z）（z0）則=1，1，0，=0，2，z，設(shè)與所成角為.則=cos=2，且AD與BE所成的角的大小為arccos.cos2=，z=4，故|BD|的長(zhǎng)度為4.又VABCD=|AB|BC|BD|=，因此，四面體ABCD的體積為.評(píng)述：本題考查空間圖形的長(zhǎng)度、角度、體積的概念和計(jì)算.以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積計(jì)算線段的長(zhǎng)度、異面直線所成角等問(wèn)題，思路自然，解法靈活簡(jiǎn)便.圖52226.解：如圖522，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）| |=.（2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）=1，1，2，=0，1，2，=3，|=，|=cos=.（3）證明：依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），=1，1，2，=，0.=+0=0，A1BC1M.評(píng)述：本題主要考查空間向量的概念及運(yùn)算的基本知識(shí).考查空間兩向量垂直的充要條件.27.（1）證明：設(shè)=a，=b，=c，則|a|=|b|，=ba，=（ba）c=bcac=|b|c|cos60|a|c|cos60=0，C1CBD.（2）解：連AC、BD，設(shè)ACBD=O，連OC1，則C1OC為二