專題13：空間的平行與垂直問題.doc

1、專題 13 : 空間的平行與垂直問題班級 _姓名 _一、前測訓(xùn)練1. 如圖所示，在直三棱柱 ABC A 1 B1C1 中，若 D、E 是棱 CCi, AB 的中點，求證： DE / 平面 AB iCi.提示：法一：用線面平行的判定定理來證：平行投影法”：取 AB 1 的中點 F，證四邊形 C1 DEF 是平行四邊形 . 中心投影法”延長 BD 與 B1 C1 交于 M ，利用三角線中位線證 DE / AM .法二：用面面平行的性質(zhì)取 BB1 中點 G,證平面 DEG / 平面 AB1 C1 .BB12.已知底面為平行四邊形的四棱錐S ABCD 中，P 為 SB 中點，Q 為 AD 上一點，若

2、PQ/ 面 SDC,求證 AQ=QD .提示取 SC 的中點 E,證明四邊形C3?在正方體 ABCD A 1B1C1D 1 中，平面 A1BD / 平面 B1D1C(1) 求證：EB1D1 /平面 BDF若 E, F 分別是 A 1A, C 1C 的中點，求證：平面提示： (1) 用面面平行的判定定理證：證明BD/B1D1, A1B / D1C.(2) 證明BD/B1D1, BF / D1 E .4. 在正方體 ABCD A 1 B1C1D 1 中， M 為棱 CC 1 的中點， AC 交 BD 于 0, 提示：用線面垂直的判定定理：證 BD 丄平面 AA 1 C1C，從而得出 BD 丄 A1

3、 0;在矩形 AA 1C1C 中，用平幾知識證明A 10 丄 0M; 也可以取 BC 中點 E,連接 0E、B1E，證明 BM 丄平面 A1B1EO，從而證得 BM 丄 A1 0。CCAB5. 在正三棱柱ABC AiBi Ci 中，所有棱長均相等，D 為 BBi 的中點，求證：A iB 丄 CD .提示：取 AB 的中點 E,連 CE,證 A iB 丄平面 CDE .6. 如圖，在四棱錐 P ABCD 中，四邊形 ABCD 是菱形 , 求證：平面 PEF 丄平面 PAC.PB= PD提示：設(shè) EF與 AC 交于點 0,證 EF 丄 AC , EF 丄 OP , 從而得出EF 丄平面 FAC .

4、C7? 直三棱柱 ABC A iBiCi 的底面是正三角形，E, F 分別是 BC,CCi 的中點。證明：平面 AEF 平面 BiBCCi ；提示首先證明 AE BBi, AE BC，得到 AE 平面 BBCG，利用面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面AEF 平面 BiBGG1二、方法聯(lián)想i? 證明線面平行方法 i 構(gòu)造三角形 （中心投影法 ），轉(zhuǎn)化為線線平行? 尋找平面內(nèi)平行直線步驟，如下圖：在直線 和平面外尋找一點 P；連接 FA 交平面 a 于點 M; 連接 FA 交平面 a 于點 N ，連接 MN 即為要找的平 行線 .ABM方法 2:構(gòu)造平行四邊形 （平行投影法 ），轉(zhuǎn)化為線線平行? 尋

5、找平面內(nèi)平行直線步驟，如下圖：選擇直線上兩點 A、 B 構(gòu)造兩平行直線和平面a 相交于 M 、N; 連接 MN 即為要找的平行線 .方法 3: 構(gòu)造面面平行 . 構(gòu)造平行平面步驟，如下圖：過A 做 AC 平行于平面 a 內(nèi)一條直線 A C ;AQ連結(jié) BC; 平面 ABC 即為所要找的平行平面.證明線線平行方法 1 利用中位線；方法 2:利用平行四邊形；方法 3:利用平行線段成比例；方法 4:利用平行公理；方法 5:利用線面平行性質(zhì)定理;方法 6:利用線面垂直性質(zhì)定理;方法 7:利用面面平行 .2. 已知線面平行方法 過直線 I 做平面 B 交已知平面 a 于直線 m, 則 I / m.3.面

6、面平行證明方法 在一個平面內(nèi)尋找兩條相交直線證明與另一個平面平行.注意 證面面平行必須先通過證線面平行，不可以直接通過證線線平行來證面面平行.4.證明線面垂直方法證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直.證明線線垂直方法 1 利用線面垂直；方法 2:利用線線平行；方法 3:利用勾股定理；方法 4:利用等腰三角形三線合一;方法 5:利用菱形對角線互相垂直;方法 6:利用四邊形為矩形.5. 構(gòu)造垂面證線線垂直要證 I 垂直于 AB, 構(gòu)造垂面證線線垂直步驟：如下圖：過A 找垂直于 I 的直線 AC; 連結(jié) BC,證 BC 垂直 I，貝 U I 丄面 ABC .6. 證明面面垂直關(guān)鍵是找到和另一個平面垂直的

7、垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直.找垂線的一般方法：(1) 分別在兩個平面內(nèi)找兩條互相垂直的直線，再判斷其中一條直線垂直于平面 ; (2 ) 找 (或做 )兩平面交線的垂線 .7. 已知面面垂直優(yōu)先在其中一個平面內(nèi)做兩個平面交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直.三、例題分析例 1:在四棱錐 P ABCD 中， / ABC =Z ACD = 90 BAC/ = Z CAD = 60 PA 丄平面 ABCD , E 為 PD的中點， PA = 2AB .若 F 為 PC 的中點，求證： PC 丄平面 AEF ;(2) 求證： CE/ 平面 PAB .證明： 在厶 ABC 中，?/ABC = 90 BAC/ = 60 D

8、? AC= 2AB ，又 T PA = 2AB , 二 AC = PA,?/ F 為 PC 的中點，AF? 丄 PC;CACD = 90 ,? CD 丄 AC, ACAPA = A, . CD 丄平面 FAC,?/?/ PA 丄平面 ABCD , CD平面 ABCD, ?PA 丄 CD,?/ PC 平面 PAC ,? CD 丄 PC,?/ E為 PD 的中點， F 為 PC 的中點，EF? / CD, ? EF丄 PC,?/ AF AEF = F, . PC 丄平面 AEF .(2) 提示： 中心投影法：延長 CD 與 AB 交于 G,證明 CE / PG .D 平行投影法：取PA 中點 M，

9、過 C作 CN/AD交 AB 于 N.證四邊形 CEMN 是平行四邊形，從而得CE / MN .面面平行的性質(zhì)：取AD 中點 H ，證明平面 CEH / 平面 PAB .【教學(xué)建議】1 本題涉及到證明空間的線面垂直與線面平行.2. 證明線面垂直通常的方法：(1) 定義法： a 丄 b, b 為平面 a 內(nèi)任意一條直線a 丄平面 a.(2) 線面垂直的判定定理： a 丄 m, a 丄 n, m 平面 a, n 平面 a, m Q n= A a 丄平面 a.(3) 面面垂直的性質(zhì)定理：平面a 丄平面伏平面 aCl 平面 3= l, a 平面 a, a 丄 I a 丄平面 a.3. 證明直線與平面平

10、行的方法：(1) 定義法：常常借助反證法完成；判定定理： a / b, a平面 a, b 平面 a a/ 平面 a.用判定定理來證線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到與已知直線平行的直線，其方法有：中心投影法與平行投影法.證明線線平行常用方法： 平面幾何的方法：三角形中位線，平行四邊形，平行線段成比例等. 面面平行的性質(zhì)：a/7Ca= m, yi 3 = n m/ n. 線面垂直的性質(zhì)：a 丄平面 a, b 丄平面 a a / b. 公理 4 ： a / c, b / c a / b.面面平行的性質(zhì)：平面a/ 平面 B a 平面 a a/ 平面 a.例 2:如圖，三棱臺 DEF ABC 中， AB 2

11、DE ,G, H 分別為 AC, BC的中點 ?(1)求證： BD/平面 FGH ;(2)若 CF BC , AB BC , 求證：平面 BCD平面 EGH ./ / / ikJxFC證明 (1) 證法一：連接DG,CD. 設(shè) CD GF M 連接 MH ，在三棱臺 DEF ABC 中， AB 2DE , G分別為 AC 的中點，可得 DF /GC,DF GC,所以四邊形DFCG 是平行 四邊形，則 M為 CD 的中點，又 H 是 BC 的中點，所以 HM/BD,又 HM 平面 FGH , BD 平面 FGH ，所以 BD/ 平面 FGH .證法二：在三棱臺DEF ABC 中，由 BC 2EF

12、,H 為 BC 的中點，可得 BH /EF, BH EF, 所以 HBEF 為平行四邊形，可得BE/HF.在 ABC 中， G, H 分別為 AC, BC 的中點 ,所以 GH /AB, 又 GH HF H,所以平面 FGH / 平面 ABED ,因為 BD 平面 ABED ,所以 BD/ 平面 FGH .證明：連接 HE.因為 G, H 分別為 AC, BC 的中點，所以GH / /AB, 由 AB BC, 得 GH BC ,又H 為 BC 的中點，所以 EF /HC,EF HC , 因此四邊形 EFCH 是平行四邊形，所以CF /HE.又 CF BC，所以 HE BC.又 HE,GH 平面

13、 EGH , HE GH H ，所以 BC 平面 EGH ,又 BC 平面 BCD ，所以平面 BCD 平面 EGH.【教學(xué)建議】1.本題涉及到證明空間線面平行和線線、線面、面面垂直.2? 本題考查了空間幾何體的特征及空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系和垂直關(guān)系，從證明方法看，起點低，入口寬，特別是第一小題.證明過程中，關(guān)鍵是注意構(gòu)造線線的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，特別是注意利用平行四邊形，發(fā)現(xiàn)線線關(guān)系，進一步得到線面關(guān)系、面面關(guān)系例 3:如圖，在四棱錐P- ABCD 中， PD 丄平面 ABCD ，底面 ABCD 為矩形， PD = DC = 4, AD = 2, E為PC 的中點

14、.求證： AD 丄 PC; (2) 求三棱錐 P- ADE 的體積 ;(3) 在線段 AC 上是否存在一點 M ，使得 PA / 平面 EDM ，若存在 , 理由 .證明(1) ?/ PD 丄平面 ABCD , AD平面 ABCD , A PD 丄 AD ,? 底面ABCD 為矩形， A AD 丄 DC, 又 PD A DC = D,A AD 丄平面 PDC , PC 平面 PDC ,AAD 丄PC;(2) 由知 AD 丄平面 PDC ,A AD 的長為 A 到平面 PDE 的距離， 在直角三角形 PDC 中，E為 PC中點，PD=DC=4,118A SAPDE= 4,A V P- ADE =

15、 VA- PDE= 3XSA PDEXAD = 342 = 3.333(3) 當(dāng) M 為 AC 中點時， PA/ 平面 EDM ,即在線段 AC 上存在一點 M ，使得 PA / 平面 EDM .?/ M為AC中點，E 為PC中點，?EM / PA，又PA平面EDM , EM平面 EDM , ? PA /平面EDM .此時 AM=2AC =142+22=5.【教學(xué)建議】1? 本題主要涉及證明線線垂直，體積計算與探究命題成立的條件.2? 證明空間兩條異面直線垂直問題，通常是證明一條直線垂直與另一條直線所在的一個平面；多面體體積的計算，關(guān)鍵是找到多面體的高，另一方面對于不易找高的多面體，可以利用幾

16、何體體積之行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為比較容易計算的幾何體體積.3.對命題條件的探索常采用以下三種方法： 先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明； 先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性； 把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件.4.對命題結(jié)論的探索常采用以下方法：首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假間的關(guān)系進設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).四、反饋練習(xí)若m , n,m 丄n, 則; 若m / ,n / ,m n, 貝U/1?已知 m,n是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：若 m , n/ , m n，貝 U

17、/；若 m ,n/,/ ，則 m n .其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號）答案：有下列四個命題 :2.設(shè) a、 b 為兩條直線，為兩個平面 ,若 a,b，且 a / b, 則 /;若 a,b，且 a 丄 b, 則丄；若 a /,b，則 a / b；若 a 丄,b 丄，則 a / b, 其中正確命題的序號為答案:3? 已知圓錐的側(cè)面積為15 ，母線長為 5，則此圓錐的體積為（結(jié)果保留） _答案： 124.四棱錐 P ABCD 中，側(cè)棱 PD底面 ABCD ，底面 ABCD 為矩形，且PDCD ，點 E 是 PC 的中點 ,連接 DE, BD, BE . 記四棱錐 P ABCD 的體積為

18、V1，四面體 EBCD 的體積為 V2，則 Vl 的值是 _V2答案： 45. 一個六棱柱的底面是正六邊形為 3,已知該六棱柱的頂點都在同一球面上，則這個球的體積為6.三角形DC 所在的平面與長方形CD 所在的平面垂直，D C 4 ，答案： 43則點 C 到平面 D 的距離是答案：3727?如圖，四邊形ABCD中， AD /BC,AD = AB ，/BCD = 45 / BAD = 90 將厶 ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD 丄平面BCD , 構(gòu)成三棱錐A BCD ?則在三棱錐A BCD 中，下列命題正確的是? （填序平面ABD 丄平面ABC平面 ABC 丄平面 BDC 平面 ADC

19、丄平面 ABC答案ABP 垂直于平面8. 在矩形 ABCD中，AB= 3 ，AD = 4 ，P在 AD 上運動，設(shè) / ABP = 0, 將厶 ABP 沿BP 折起，使得平面BPDC ，AC 長最小時S ABC 外接球的表面積是答案： 45 9.在正三棱錐S ABC 中， M ,N 分別是 SC, BC 的中點，且MN 丄 AM ，若側(cè)棱SA= 2,；3, 則正三棱錐在線段 AA i 上，當(dāng) AF =時， CF 丄平面 BiDF.答案： 36 n10. 如圖，在三棱柱 ABC A 1 B1 C1 中，側(cè)棱 AA 1 丄底面 ABC ，底面是以 / ABC為直角的等腰直角三角形，AC= 2a ， BB1 = 3a ，D 是 A 1C1 的中點，點F答案： a 或 2a11. 如圖四邊形 ABCD 為菱形， G 為 AC 與 BD 交