數(shù)學同步優(yōu)化指導(湘教選修45)練習：階段質(zhì)量評估3Word含解析

1、階段質(zhì)量評估（三）數(shù)學歸納法與不等式證明平均值不等式三個重要不等式（時間：60分鐘滿分：80分）一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的）C. 3 31. 若logxy= 2，貝U x+ y的最小值是（）B.沖3D 721解析：由 logxy= 2,得 y= 2.x1 x x 1 x+ y=x+嚴 2+ 2+產(chǎn)32答案：A11 11 *2. 用數(shù)學歸納法證明不等式1 +戸+亍+孑2 （n2, n N ）時，第一步應驗證不等式()1 1A . 1 + 尹2 2C. 1 + 步2 1* 1 1 解析：/ n2, n N，第一步應驗證當 n

2、 = 2時，1 +寺0,所以a3b3c3.由排序不等式，得a3x a+ b3x b+ c3x ca3b+ b3c+ c3a.又知abacbc, a2b2c2,333222- a b+ b c+ c aa bc+ b ca+ c ab.4 ,4、222-a + b + c a bc+ b ca+ c ab.即 a (a 一 bc) + b (b ac) + c (c 一 ab)0.答案：B4.若 5x1 + 6x2 7x3+ 4x4= 1，則 3x2 + 2x；+ 5x3+ x4的最小值是(782T515782253解析：/ 25+ 18+ 49+ 16 (3x1+ 2x2 + 5x2 + x2

3、) C. 3D.3xi + 3J2 x 2x2+x 5刈+ 4 x x41 3x2 + 2力 + 5送+ x4 5.7822= (5xi + 6x2一 7x3 + 4x4)2= 1 ,答案：B5.學校要開運動會，需要買價格不同的獎品40件，50件，20件，現(xiàn)選擇商店中單價為5元，3元，2元的商品作為獎品，則至少要花（）A. 300 元B. 360 元C. 320 元D. 340 元解析：由排序原理可知，反序和最小，最小值為50 X 2+ 40 X 3 + 20 X 5 = 320（元）.答案：C6.已知x,y, z R +,且1+ 2 + 3= 1,貝V xyz的最小值是()x y z1A.

4、2727C. 1621162解析：/ x,y, z R +,3271丄2丄3一+ 一+ 一x y z xyz 162,123當且僅當1=廠；時，等號成立.1= 2 = 3, xyzx= 3,y = 6,z= 9. 當 x= 3, y= 6, z= 9 時，(xyz)min = 162.答案：C二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分請把正確答案填在題中的橫線上)7.若 x+ y + z+1= 4.則 x2 + y2 + z2 +12 的最小值為 .解析：比較已知條件、待求式子，發(fā)現(xiàn)把待求式子乘以一個常量后，可滿足四維柯西不等式條件并同時用到已知條件，得(x2 + y2+ z2 + t2

5、)(l2+ 12+ 12+ 12) (x + y + z+ t)2.當且僅當x= y= z= t = 1時，取最小值 4.答案：414a*&已知 a (0,+s )，不等式 x +2,x+3，x+ _n n+1(nN),貝Ua 的xxx值為.解析:/ x+ - 2,xx+x2=2+2+f3 x+ A= X+ X+ X+ 二+七(n + 1) x n n nnx xn n=n+ 1.x anxn= (n + 1)n*- a= n (n N ).答案:n*n (n N )9.設x1, X2,xn為不同的正整數(shù)，貝y m = 1 + 2+翠的最小值是解析:a22, -ann.又11 1 1產(chǎn)尹,設a

6、1, a2,，an是xj, X2,，Xn的一個排列，且滿足 a1a2 1,.X1 X2 X3Xn, a2 a3an1111-孑+歹+孑+ 產(chǎn) a1 + 尹孑+ n 1 X 1 + 2 x 尹 3 x壬+ n x冷=1 + ?1 1+ 3+ + n1 11答案：1 +1+1+ 12 3n三、解答題(本大題共3小題，共35分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)10. (本小題滿分10分)設a, b, c R +,求證：(1 1 1 9(a + b+ c) q+ b+ b+ c+ a+ c廠 2.證明：/ a, b, c R + ,- 2(a+ b + c)= (a+ b)+ (b+

7、c)+ (c+ a) 3 J： a+ b b+ c c+ a 0,1丄+丄+丄 3 a+ b b+ c a + c 0.a + b b+ c a + c-(a + b + c)1 1 b + c a+92.當且僅當a = b= c時，等號成立.11. (本小題滿分12分)設x0,求證：1 + x+x2 + + x2n (2n+ 1)xn.證明：(1)當 x 1 時，K x (n+ 1)xn.又 x,x2,x3,，xn,1為序列1,x,x2,，x 1 1 1 1 D 尹尹+乙盯2k1 1 1解析：當n = k+ 1時，不等式變?yōu)?p+孑+ k+ 1 2 +答案：A3.已知 a1+ a；+ = 1

8、, x2+ x2+ X? = 1，則 玄兇+ a?x2+ anXn的最大值為 ( )A . 1B. nC. nD. 2解析：由柯西不等式，得 (a+ a2 + a2)(x2 + x； + (ax + 2X2+ 俯)2.的一個排列，由排序不等式，得1 xx2 + + xn 1 xn+ xn 1 1 xn + x xn 1 + + Xn1 x+xn 1.即 x + x3+ + x2n1 + xn (n+ 1)xn.將和相加，得1 + x+x2 + + x2n (2n+ 1)xn.(2)當 0xxx2 - xn.仍然成立，于是也成立.綜合(1)(2)可知，原不等式成立.12. (本小題滿分13分)已

9、知正數(shù)x, y, z滿足5x+ 4y+ 3z= 10.25x216y29z2(1)求證：；+丁冷 + 二5.4y+ 3z 3z+ 5x 5x+ 4y求9x2 + 9y2 + z2的最小值.(1) 證明：根據(jù)柯西不等式，得-25x216y29z22(4y+ 3z) + (3z+ 5x) + (5x + 4y) /y+ 3z+ 3z+ 5x+ 5x+ 4y_(5x+ 4y+ 3z) ./ 5x+ 4y+ 3z= 10 ,.直+速+zL遲5.4y+ 3z 3z+ 5x 5x + 4y 20(2) 解：根據(jù)平均值不等式，得9x2 + 9y2 + z2 2 寸 9x2 9y2+ z2 = 2 3x2 +

10、 y2+ z2.當且僅當x2= y2+ z2時，等號成立.根據(jù)柯西不等式，得(x2 + y2 + z2)(52 + 42 + 32) (5x + 4y+ 3z)2= 100,即(x2+ y2+ z2) 2.當且僅當5=4=3時，等號成立.綜上所述，9x1 即 11 (a1X1 + a2X2+ + anXn). a1X1 + a2X2 + + anXnW 1.故所求的最大值為1.答案：A+ 9y2+ z2 2 32= 18. 當且僅當x= 1, y= 5, z= 3時，等號成立, 9x2 + 9y2 + z2 的最小值為 18.B卷（時間：60分鐘滿分：80分）一、選擇題（本大題共6小題，每小題

11、5分，共30分在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的）321.若n0，貝U n+孑的最小值為（）A . 2B . 4C. 6D. 1632 n n 32解析：n + 32 =32，應用平均值不等式即可求出答案.答案：C2.用數(shù)學歸納法證明1 1 _ 1(n + 1 J2 n+ 2假設當n= k時，不等式成立，則當n= k+1時，應推證的目標是（）11111A 尹尹+刁2敲11111B 尹尹+ k2衛(wèi)1 1 1 1 11 12_ k+ 221k+ 1 + 2C.子+孑+十2苗4.一長方體的長、寬、高分別為a, b, c且a+ b+ c= 9，當長方體的體積最大時，長方體的表面積為（

12、）A. 27B. 54C. 52D.563解析：/ 9= a + b+ O 3 abc,. abc0 和正整數(shù) n, 都有 xn + xn 2+ xn 4+ -T12 +x x1x n + 1 ”時，需要驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值no應為（）A . no= 1B. no= 2C. no= 1,2D以上答案均不正確1i解析：當n = 1時，左邊=x+丄，右邊=1+ 1,而x+2,即卩n= 1時不等式成立.xx答案：A6.設a, b, c為正數(shù)，且a + 2b + 3c= 13,求.3a + . 2b + . c的最大值為()13 V313需A.3B .2解析：(a+ 2b + 3 c) (回

13、+12+D . 6.13g 2 a 3+ .2b 1+，3c 2 = ( ,3a+ 2b +c)2,- ( .3a + ,2b+ .c)2w 3. ,3a+ ,2b + ,c3當且僅當逼=逅=妊時取舉耳.31 丄等號.又 a + 2b + 3c= 13, a= 9, b = 2, c=,-.3a+i 2b+ c有最大值 13 33答案：A、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把正確答案填在題中的橫線上 ）7函數(shù)y= F+的+圭用 7得a 2故實數(shù)a的最小值為2.答案：29.三角形的三邊,a, b, c對應的高為ha, hb, he,且r為三角形內(nèi)切圓的半徑.若+ hb+ he的值為

14、9r，則此三角形為 三角形.解析：記三角形的面積為 S,則 2S= aha= bhb= che.-2S= r(a+ b+ e),ha + hb+ he=1+e尸r(a + b+ e)由柯西不等式，得(a + b + e) + b+1 = ( )2 +(麗)2 +(譏) 1解析：2x+2= (x- a) + (x- a)+2+ (X- a)(X-a )】&)+0b)+圧#二ha+ hb+ hc 9r，當且僅當a = b= c時取等號.故ha+ hb+ hc= 9r時，三角形為等邊三角形.答案：等邊三、解答題(本大題共3小題，共35分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟10. (本小題滿分10

15、分)已知正數(shù)x, y, z滿足x+ y+ z= 1.2 2 2 。(1)求證亠+亠+亠 1 求證：y+ 2z z+ 2x x + 2y 3求4x+ 4y+ 4z2的最小值.(1)證明： x0, y0, z0,.由柯西不等式，得2 2 2:x yz 2(y+ 2z) + (z+ 2x) + (x+ 2y)市 + 話 + x (x+ y+ z) 又 x+ y+ z= 1,2 2 2 2亠+亠+亠 x+ y+z -= 1y+ 2z z+ 2x x + 2y y+ 2z + z+ 2x + x+ 2y 3解：由平均值不等式，得 4x+ 4y + 4z 34x+ y+ z2, x+ y + z= 1,.

16、 x+ y+ z2= 1 z+ z2= z-2 2 +魯.故 4x+ 4y+ 4z2 31 1當且僅當x= y = 4，z=1時等號成立.4x+ 4y + 4z2 的最小值為 3 , 2.11. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x) = m |x 2|, m R，且關(guān)于x的不等式f(x+ 2)0 的解集為1,1.(1) 求m的值.卄口 111(2) 若 a, b, c R +,且a + 2b + 忌=m，求證：a + 2b + 3c 9.(1)解：/ f(x+ 2) = m-|x|,. f (x+ 2) 0 等價于 |x|w m. 由兇w m有解，得m0,且其解集為x| mwx 0 的解集為1

17、,1，故 m= 1.1 1 1證明：由(1)知；+2b+云=1,又a, b, c R +,由柯西不等式，得a+ 2b+ 3c= (a + 2b+ 3c) J + 茶 3c卜陰法 + 厲琲 + 何諂=9.12. (本小題滿分13分)已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，bi= 1,6 + b2+-+ bg = 145(n N*).(1)求數(shù)列bn的通項公式.設數(shù)列an的通項an= loga 1+補(其中a0且a豐1)，記Sn是數(shù)列 an的前n項和，試比較gabn +1 的大小，并證明你的結(jié)論.3解：(1)設數(shù)列bn的公差為d,由題意，得 10X 1+1- = %3k+ 13k + 1 廠 3k + 1 x d

18、= 145.d= 3, bn= 3n 2.亠3n 2由bn= 3n 2,得Sn= lOga(1 + 1) + lOga 1 + 4 + + loga 1 +=lOga (1 + 1又 3lOg abn + 1 = log a%n+ 1 ,1要比較abn+1 的大小，可先比較3(1 + 1) I + 4卜(1 + 3n 2.)與3n+ 1的大小.取 n = 1,有(1 + 1)%x 1 + 1,猜想取當n 1, n N*時，有(1+1)+4.卜+下面用數(shù)學歸納法說明： 當n= 1時，已驗證不等式成立. 假設當n = k(k N*)時，不等式成立,即(1 + 1) 1 + 4 1 + 3k 2則當n= k+ 1時,(1+1) 1+4 Y3k 2 丿T + 3(k+ 1 2_1+(3k+ 2).(3k