[專升本(國家)考試密押題庫與答案解析]專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬162

1、專升本(國家)考試密押題庫與答案解析專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬162專升本(國家)考試密押題庫與答案解析專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬162專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬162一、選擇題在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.問題:1. 設(shè)函數(shù)y=ax2+c在區(qū)間(0，+)上單調(diào)增加，則_a.a0且c=0b.a0且c為任意實(shí)數(shù)c.a0且c0d.a0且c為任意實(shí)數(shù)答案:b解析 由題設(shè)有y=2ax，則在(0，+)上2ax0所以必有a0且c為任意實(shí)數(shù)故選b問題:2. 微分方程y+y=0的通解為_a.c1cosx+c2sinxb.(c1+c2x)exc.(c1+c2x)e-xd.c1e-x+c2ex答

2、案:a解析 由題意得微分方程的特征方程為r2+1=0，故r=i為共軛復(fù)根，于是通解為y=c1cosx+c2sinx問題:3. 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則積分_ a0 b1 cn d 答案:a解析 設(shè)的原函數(shù)為 則 故選a 問題:4. 平面x+2y-z+3=0與空間直線的位置關(guān)系是_a.互相垂直b.互相平行但直線不在平面上c.既不平行也不垂直d.直線在平面上答案:d解析 平面：x+2y-z+3=0的法向量n=1，2，-1， 直線的方向向量s=3，-1，1，(x0，y0，z0)=(1，-1，2)因?yàn)?1+(-1)2+1(-1)=0，所以直線與平面平行，又點(diǎn)(1，-1，2)滿足平面方程(即直線l上的點(diǎn)

3、在平面上)，因此直線在平面上故選d 問題:5. 設(shè)axb，f(x)0，f(x)0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)曲線弧y=f(x)的圖形_a.沿x軸正向下降且向上凹b.沿x軸正向下降且向下凹c.沿x軸正向上升且向上凹d.沿x軸正向上升且向下凹答案:b解析 當(dāng)axb時，f(x)0，因此曲線弧y=f(x)在(ab)內(nèi)下降由于在(a，b)內(nèi)f(x)0，因此曲線弧y=f(x)在(a，b)內(nèi)下凹故選b問題:6. 設(shè)f(x)=e-x2-1，g(x)=x2，則當(dāng)x0時_a.f(x)是比g(x)高階的無窮小b.f(x)是比g(x)低階的無窮小c.f(x)與g(x)是同階的無窮小，但不是等價無窮小d.f(x)與g(x)是

4、等價無窮小答案:c解析 故選c問題:7. 中心在(-1，2，-2)且與xoy平面相切的球面方程是_a.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=4b.(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=2c.x2+y2+z2=4d.x2+y2+z2=2答案:a解析 已知球心為(-1，2，-2)，則代入球面標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=r2又與xoy平面相切，則r=2故選a問題:8. 函數(shù)z=xy在點(diǎn)(0，0)處_a.有極大值b.有極小值c.不是駐點(diǎn)d.無極值答案:d解析 由z=xy得解得駐點(diǎn)(0，0) 又因?yàn)閍=zxx|(0，0)=0，b=zxy|(0，0)=1，c=zyy|(0，

5、0)=0， b2-ac=10，所以在(0，0)處無極值故選d 問題:9. 已知曲線y=y(x)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線平行于直線x-y+6=0，又y=y(x)滿足微分方程(y)2=1-(y)2，則此曲線方程是y=_a.-sinxb.sinxc.cosxd.-cosx答案:b解析 要選函數(shù)根據(jù)題設(shè)應(yīng)滿足三個條件：(1)y(0)=0，(2)在原點(diǎn)處斜率k=1，(3)代入(y)2=1-(y)2應(yīng)成立故逐個驗(yàn)證后應(yīng)選b問題:10. 設(shè)f(x,y)為連續(xù)，二次積分交換積分次序后等于_ a b c d 答案:a解析 積分區(qū)域d可以表示為0x2，xy2，其圖形如圖中陰影部分所示交換積分次序，d也可以表示為0

6、y2，0xy，因此故選a 二、填空題問題:1. 冪級數(shù)的收斂半徑為_答案:1解析 所給冪級數(shù)為不缺項(xiàng)情形， 可知=1，因此收斂半徑 問題:2. 設(shè)f(x)=esinx，則_答案:-1解析 由f(x)=esinx則f(x)=cosxesinx再根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義有 問題:3. 已知當(dāng)x0時，與x2是等價無窮小，則a=_答案:2解析 當(dāng)x0時，與x2等價，應(yīng)滿足 而 所以當(dāng)a=2時是等價的 問題:4. y+8y=0的特征方程是_答案:r2+8r=0解析 本題考查的知識點(diǎn)為二階常系數(shù)線性微分方程特征方程的概念y+8y=0的特征方程為r2+8r=0問題:5. 若f(ex)=1+e2x，且f(0)=1，則f(

7、x)=_答案:解析 因?yàn)閒(ex)=1+e2x，則等式兩邊對ex積分有則f(0)=c=1 所以 問題:6. 已知f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，則_.答案:2解析 由題設(shè)有問題:7. 空間直角坐標(biāo)系中方程x2+y2=9表示的曲線是_答案:以oz為軸的圓柱面解析 方程f(x，y)=0表示母線平行于oz軸的柱面，稱之為柱面方程方程x2+y2-32=0表示母線平行oz軸的圓柱面方程問題:8. 直線的方向向量為_答案:-2，1，2解析 直線l的方向向量為 問題:9. 設(shè)z=x2y+siny，則答案:2x解析 由于z=x2y+siny，可知問題:10. 已知答案:2解析 因?yàn)樗?三、解答題共

8、70分解答應(yīng)寫出推理、演算步驟問題:1. 求函數(shù)在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)y|x=0答案:解 則 在點(diǎn)x=0處導(dǎo)函數(shù)沒有定義由導(dǎo)數(shù)定義有 可知y|x=0=0解析 此題如果先求函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)y后，再代入x=0便得y沒有意義所以此題只能利用導(dǎo)數(shù)的定義式，即的方法來求具體解法如上 問題:2. 計算答案:解法一 利用洛必達(dá)法則： 解法二 利用等價無窮小量代換：當(dāng)x0時，ex-1x，可得 解析 本題考查的知識點(diǎn)為利用洛必達(dá)法則求“”型極限，或利用等價無窮小量代換簡化求極限運(yùn)算 問題:3. 設(shè)求所給曲線的水平漸近線與鉛直漸近線答案:解 由可知y=2為水平漸近線； 由可知x=0為鉛直漸近線解析 解本題的關(guān)鍵是要知道函

9、數(shù)y=f(x)的水平漸近線和鉛直漸近線的判定方法即：(1)如果則稱x=x0是一條鉛直漸近線；(2)如果則稱y=c是一條水平漸近線 問題:4. 求由曲線y=2-x2，y=x(x0)與直線x=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積答案:解 由平面圖形axb，0yy(x)所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積為 畫出平面圖形的草圖(如圖所示)，則所求體積為0x1，0y2-x2所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積減去0x1，0yx所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積 當(dāng)x0時，由 解析 就一般情況而言，如果有兩條曲線y=f(x)，y=g(x)(假設(shè)f(x)

10、g(x)與x=a，x=b(ab)所圍成的平面繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后所成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式為：具體解法如上 問題:5. 將展開為x的冪級數(shù)答案:解 所給f(x)與標(biāo)準(zhǔn)展開級數(shù)中的形式不同，由于 因而 既有 故 解析 不容易直接展開為冪級數(shù)形式但是對其求導(dǎo)后所得函數(shù)，即是常見函數(shù)，它的展開式是已知的這樣我們就得到f(x)的冪級數(shù)展開式，然后對其兩邊積分，就可以得到f(x)的展開式 問題:6. 計算其中d如圖所示，由y=x，y=1與y軸圍成 答案:解法一 解法二 解析 計算二重積分的基本思想是將其化為二次積分所給二重積分被積函數(shù)xy關(guān)于x，y對稱，積分區(qū)域也較簡單可以將二重積分轉(zhuǎn)化為：先對y積分，后對x積

11、分的二次積分也可以轉(zhuǎn)化為：先對x積分，后對y積分的二次積分 問題:7. 證明方程在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一的實(shí)根答案:證明 令則f(x)在區(qū)間0，1上連續(xù) 由于所以又f(0)=-10， 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即所給方程在(0，1)內(nèi)至少有一個實(shí)根 又當(dāng)0x1時，f(x)0 因此，f(x)在0，1上單調(diào)增加，由此知f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至多有一個零點(diǎn) 綜上可知，方程在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一的實(shí)根解析 首先設(shè)然后驗(yàn)證f(x)在0，1上滿足介值定理?xiàng)l件由介值定理得到f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)(實(shí)根)，并且根據(jù)說明f(x)是單調(diào)增函數(shù)，從而得到f(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個零點(diǎn)由此得到方程在(0，1)內(nèi)有唯一的實(shí)根 問題:8. 設(shè)其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，求f(x)答案:解 將所給表達(dá)式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得 兩端關(guān)于x再次求導(dǎo)，得 f(x)=6x-f(x) 即 f(x)+f(x)=6x 將此方程認(rèn)作為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，相應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為 r2+1=0 特征根為r1=i，r2=-i 齊次方程的通解為c1cosx+c2sinx 設(shè)非齊次方程的一個特解為f0(x)由于a=0不為特征根，可設(shè)f0(x)=ax，將f0(x)代入上述非齊次微分方程可得a=6因此f0(x)=6x非齊次方程的通解為