[專升本(國家)考試密押題庫與答案解析]專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬161

1、專升本(國家)考試密押題庫與答案解析專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬161專升本(國家)考試密押題庫與答案解析專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬161專升本高等數(shù)學(xué)(一)模擬161一、選擇題在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的問題:1. 設(shè)f(x)=arctanx，則_ a1 b-1 c d 答案:c解析 因為再由導(dǎo)數(shù)定義知 問題:2. 下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理條件的是_ a bf(x)=xe-x，0，1 c df(x)=|x|，0，1 答案:a解析 注意羅爾定理有三個條件：(1)f(x)在a，b上連續(xù)；(2)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)f(a)=f(b)逐一檢查三個條件即可為了簡

2、便起見先檢查f(a)=f(b)故選a問題:3. 設(shè)則_ aarctanx+c barccotx+c c d 答案:a解析 因為則 所以故選a 問題:4. 設(shè)z=ln(x2+y)，則_ a b c d 答案:b解析 求時，將y認(rèn)定為常量，則故選b問題:5. 已知f(cosx)=sinx，則f(cosx)=_ a-cosx+c bcosx+c c d 答案:c解析 已知f(cosx)=sinx，在此式兩側(cè)對cosx求積分，得 有 故選c 問題:6. _ a-1 b c d1 答案:c解析 本題考查定積分的運算故選c問題:7. 在空間直角坐標(biāo)系中，表示圓柱面的方程是_a.x2+y2-z2=0b.x2

3、+y2=4c.x=y2d.x2+y2+z2=1答案:b解析 方程f(x，y)=0表示母線平行于oz軸的柱面，稱之為柱面方程方程x2+y2-a2=0表示母線平行oz軸的圓柱面方程同理，f(y，z)=0及f(x，z)=0都表示柱面，它們的母線分別平行于ox軸及oy軸故選b問題:8. 設(shè)區(qū)域d=(x，y)|x2+y21,x0，y0，則在極坐標(biāo)系下，二重積分可表示為_ a b c d 答案:c解析 因為區(qū)域d：x2+y21，x0，y0，令有0r1，則故選c問題:9. 下列級數(shù)中，條件收斂的級數(shù)是_ a b c d 答案:c解析 對于a中所給級數(shù)由于可知因此發(fā)散，應(yīng)排除a對于b中所給級數(shù)由于可知因此發(fā)散

4、，應(yīng)排除b對于d中所給級數(shù)為p=2的p級n=數(shù)，可知其為收斂級數(shù)，從而知為絕對收斂，應(yīng)排除d對于c中所給級數(shù)由于的p級數(shù)，可知其發(fā)散但是，注意到為交錯級數(shù)，且un=由萊布尼茨定理可知收斂，從而知其為條件收斂故選c問題:10. 微分方程y+2y+y=0的通解為_a.y=(c1+c2x)exb.y=(c1+c2x)e-xc.y=(c1+c2)e-xd.y=(c1+c2)ex答案:b解析 微分方程的特征方程為r2+2r+1=0，解得r=-1，為二重根，由通解公式可知其通解為y=(c1+c2x)e-x故選b二、填空題問題:1. 設(shè)f(x)在x=1處連續(xù)，且則f(1)=_答案:2解析 由題設(shè)條件，則f(

5、1)=2問題:2. 設(shè)且f(x)在點x=0處連續(xù)，則a=_.答案:0解析 本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的判定 由于點x=0為函數(shù)的分段點，且在點x=0兩側(cè)f(x)的表達式不同，因此應(yīng)考查左連續(xù)、右連續(xù) 由于f(x)在點x=0連續(xù)，因此從而a=0 問題:3.答案:e-1解析問題:4. 函數(shù)y=x2-2x在區(qū)間1，2上滿足拉格朗日中值定理條件的=_答案:解析 因為y=x2-2x在1，2上滿足拉格朗日中值定理的條件， 則設(shè)f(x)-x2-2x，有 所以 問題:5. 若則k=_答案:3解析 因為問題:6. 已知f(x)的一個原函數(shù)為則xf(x)dx=_答案:解析 因為f(x)的一個原函數(shù)為所以 所以

6、問題:7. 曲線的鉛直漸近線為_答案:x=-2解析 由于題目只求鉛直漸近線，所給函數(shù)表達式為分式，可知 因此所給曲線的鉛直漸近線為x=-2 問題:8. 空間直角坐標(biāo)系中方程y=x2表示的曲線是_答案:母線平行于z軸的拋物柱面解析 本題考查二次曲面方程的識別問題:9. 函數(shù)f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的極大值點是_答案:(2,-2)解析 令解得駐點為(2，-2) a=fxx|(2，-2)=-2，b=fxy|(2，-2)=0，c=fyy|(2，-2)=-2，則b2-ac=-40有極值且a=-20，有極大值，所以極大值點為(2，-2) 問題:10. 若級數(shù)收斂于s，則收斂于_答案:s-u1

7、解析 因為收斂于s則收斂于s-u1三、解答題共70分解答應(yīng)寫出推理、演算步驟問題:1. 求證：當(dāng)x0時，ex1+x答案:證明 作輔助函數(shù)f(t)=et，則f(t)在區(qū)間0，x上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是 f(x)-f(0)=f()(x-0)(0x)， 即 ex-1=ex(0x) 又當(dāng)0x時，1eex，故有ex-1=ex1x=x， 即ex1+x(x0)解析 本題可用單調(diào)性的思想去證，即令f(x)=ex-1-x，f(x)=ex-10(當(dāng)x0時)，說明f(x)是增函數(shù)，即當(dāng)x0時，f(x)f(0)=0，所以f(x)0，則有ex1+x 問題:2. 求極限答案:解 解析 此極限是“(-)”，為不定

8、型而已知(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3，所以分子、分母同乘后分式變?yōu)椤啊毙陀指鶕?jù)當(dāng)n時，分母的次數(shù)高于分子的次序，所以所求極限為零問題:3. 設(shè)試求(x)的極值答案:解 由(x)=x2-1=0，得x=-1或x=1 又(x)=2x，且(-1)=-20，(1)=20， 故當(dāng)x=-1時，(x)取極大值 當(dāng)x=1時，(x)取極小值解析 這是一道求函數(shù)極值的題只要用常規(guī)求極值的方法去解就可以了不過在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，即 問題:4. 設(shè)y=y(x)滿足當(dāng)x0時，為無窮小，求y答案:解 由于當(dāng)x0時，為無窮小，可知 從而有 lny=arctanx+c1， y=cea

9、rctanx(c=ec1)解析 在做本題時要注意導(dǎo)數(shù)的定義，即和一階微分方程中變量可分離類的解法 問題:5. 已知平面1：kx-2y+3z-2=0與平面2：3x-2y-z+5=0垂直，試求參數(shù)k的值答案: 解 平面1，2的法向量分別為n1=k，-2，3，n2=3，-2，-1， 由題設(shè)知，n1與n2垂直，于是有 n1n2=0， 即 3k+(-2)(-2)+3(-1)=0， 解得解析 如果給出兩個一般的平面方程1：a1x+b1y+c1z+d1=0，2：a2x+b2y+c2z+d2=0，則它們的法向量分別為n1=a1，b1，c1，n2=a2，b2，c2如果這兩個平面1與2垂直，則應(yīng)滿足n1n2=0，

10、即a1a2+b1b2+c1c2=0具體解法如上 問題:6. 要造一個容積為32立方厘米的圓柱形容器，其側(cè)面與上底面用一種材料，下底面用另一種材料已知下底面材料每平方厘米的價格為3元，側(cè)面材料每平方厘米的價格為1元問該容積的底面半徑r與高h各為多少時，造這個容器所用的材料費用最少?答案:解 設(shè)s為材料費用函數(shù)，則s=2rh+r2+3r2， 且滿足條件r2h=32， 所以 因 今s(r)=0，得駐點 r=2 因s(2)=240，且駐點唯一，所以r=2為s(r)的最小值點， 此時 所以r=2厘米，h=8厘米時，材料費用最省解析 本題為利用導(dǎo)數(shù)求最值問題 求最大值與最小值的一般方法是： (1)求出f(x)在(a，b)內(nèi)的所有(可能的極值點)駐點、導(dǎo)數(shù)不存在的點：x1，xk (2)求出上述各點及區(qū)間兩個端點x=a，x=b處的函數(shù)值：f(x1)，f(xk)，f(a)，f(b)進行比較，其中最大的數(shù)即為y=f(x)在a，b上的最大值，相應(yīng)的x的取值即為f(x)在a，b上的最大值點，而其中最小的數(shù)值即為f(x)在a，b上的最小值，相應(yīng)的x的取值即為f(x)在a，b上的最小值點 問題:7. 設(shè)平面薄片的方程可以表示為x2+y2r2，x0，薄片上點(x，y)處的密度(x，y)=，求該薄片的質(zhì)量m答案:解法一 利用對稱性依題設(shè) 由于區(qū)域d關(guān)于x軸對稱，為x的偶函