二次函數(shù)與二次方程二次不等式的關系

1、二次函數(shù)與二次方程、二次不等式的關系一、知識梳理知識點1、二次函數(shù)與一元二次方程、二次不等式有著十分緊密的聯(lián)系；當二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的函數(shù)值y=0時，就是一元二次方程，當y0時，就是二次不等式。知識點2、二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程的根，圖像的交點個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)是完全相同的，這是數(shù)和形有機結合的重要體現(xiàn)。研究二次函數(shù)y=ax2bxc圖象與x軸交點問題從而就轉化為研究一元二次方程ax2bxc=0的根的問題，這樣圖像問題就可以轉化成方程問題，應用根的判別式、韋達定理、求根公式等解題。知識點3、二次函數(shù)與一元二次方程、二次不等式三者之間的內在聯(lián)系如

2、下表所示：=b24ac 0 =0 0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 無實數(shù)根一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集或（） x為全體實數(shù)一元二次不等ax2+bx+c0(a0)的解集 （）無解無解二、精典題型剖析例1、已知二次函數(shù)y=x2（m3）xm的圖象是拋物線，如圖（1）試求m為何值時，拋物線與x軸的兩個交點間的距離是3？（2）當m為何值時，方程x2（m3）xm=0的兩個根均為負數(shù)？（3）設拋物線的頂點為M，與x軸的交點P、Q，求當PQ最短時MPQ的面積變式訓練：1、函數(shù)y=ax2bxc的圖象過（1，0），則的值是_2、已知二次函

3、數(shù)y=x2-2x+3.(1) 若它的圖像永遠在x軸的上方，則x的取值范圍是_;(2) 若它的圖像永遠在x軸的下方，則x的取值范圍是_;(3) 若它的圖像與x軸只有一個交點，則x的取值范圍是_.3、已知二次函數(shù)y=x2mxm2求證：無論m取何實數(shù)，拋物線總與x軸有兩個交點4已知二次函數(shù)y=x22kxk2k2（1）當實數(shù)k為何值時，圖象經(jīng)過原點？（2）當實數(shù)k在何范圍取值時，函數(shù)圖象的頂點在第四象限內？5已知拋物線y=mx2（32m）xm2（m0）與x軸有兩個不同的交點（1）求m的取值范圍；（2）判斷點P（1，1）是否在拋物線上；（3）當m=1時，求拋物線的頂點Q及P點關于拋物線的對稱軸對稱的點P

4、的坐標，并過P、Q、P三點，畫出拋物線草圖例2、(本題滿分12分) 二次函數(shù)的圖像交y軸于C點，交軸于A，B兩點（點A在點B的左側），點A、點B的橫坐標是一元二次方程的兩個根.（1）求出點A、點B的坐標及該二次函數(shù)表達式.（2）如圖2，連接AC、BC，點Q是線段OB上一個動點（點Q不與點O、B重合），過點Q作QDAC交于BC點D，設Q點坐標（m，0），當面積S最大時，求m的值.（3）如圖3，線段MN是直線y=x上的動線段（點M在點N左側），且，若M點的橫坐標為n，過點M作x軸的垂線與x軸交于點P，過點N作x軸的垂線與拋物線交于點Q.以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求出

5、n的值；若不能，請說明理由變式訓練：（2012資陽）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c0的解集是（）A1x5 Bx5 Cx1且x5 Dx1或x5例3、 已知關于x的一元二次方程，.（1）若方程有實數(shù)根，試確定a，b之間的大小關系； （2）若ab=2，且，求a，b的值；（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A、C（點A在點C的左側），與y軸的交點為B，頂點為D.若點P（x，y）是四邊形ABCD邊上的點，試求3xy的最大值.變式訓練：（2012甘肅蘭州10分）設二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x1，0)，B(x2，

6、0)利用根與系數(shù)關系定理可以得到A、B兩個交點間的距離為：AB|x1x2|。參考以上定理和結論，解答下列問題：設二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，拋物線的頂點為C，顯然ABC為等腰三角形(1)當ABC為直角三角形時，求b24ac的值；(2)當ABC為等邊三角形時，求b24ac的值例4、（2012廣東肇慶10分）已知二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，與y軸交于點C，O為坐標原點，（1）求證： ；（2）求m、n的值；（3）當p0且二次函數(shù)圖象與直線僅有一個交點時，求二次函數(shù)的最大值變式訓練： （20

7、12湖北荊門10分）已知：y關于x的函數(shù)y=（k1）x22kx+k+2的圖象與x軸有交點（1）求k的取值范圍；（2）若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；當kxk+2時，請結合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值專題訓練1. （2012天津市10分）已知拋物線y=ax2+bx+c（02ab）的頂點為P（x0，y0），點A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在該拋物線上（）當a=1，b=4，c=10時，求頂點P的坐標；求-的值；（）當y00恒成立時，求的最小值2. （2012湖北黃石10分）已知拋物線C1的函數(shù)解析式為，若拋物線C1經(jīng)過點，方程的兩根為，且。（1）求拋物線C1的頂點坐標.（2）已知實數(shù)，請證明：,并說明為何值時才會有.（3）若拋物線先向上平移4個單位，再向