兩條異面直線所成的角_1631.doc

1、向量法求空間角求空間角的大小， 是立體幾何的重點、 難點，也是高考中的熱點。運用向量解決這類問題，可以把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量問題，從而求出角的大小。 向量法的最大優(yōu)點是思路清晰，過程簡捷， 可以不去直接做出角，從而降低了對空間想象能力和邏輯思維能力的要求。下面對用向量求空間角分類例說。一、兩條異面直線所成的角1、 求角的方法：設(shè)兩條異面直線為L1、L 2所成的角為。向量 a ， b 分別 l1、 l 2 的方向向量。因為兩條異面直線所成的角（ 0， ，所以 cos0。又因為向量 a ，b 的夾角， 0，2cos的值的符號不定，所以a bcos= cos a, b = a b2、例題例 1、（ 0

2、9 福建 17）如圖，四邊形ABCD是邊長為1 的正方形，MD平面 ABCD ，NB平面 ABCD ，且 MD=NB=1， E 為 BC的中點求異面直線NE與 AM所成角的余弦值解析：如圖以D 為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)Dxyz依題意，得D (0,0,0) A(1,0,0) M (0,0,1), C (0,1,0), B(1,1,0), N (1,1,1),E( 1 ,1,0) 。( 1 ,0, 1), AM2NE( 1,0,1)2cosNE AM10NE, AM|AM |，|NE|10所以異面直線NE 與 AM 所成角的余弦值為1010評析：此題中利用向量的坐標(biāo)法求出兩向量的夾角的余弦值為

3、負(fù)值，但兩條異面直線所成的角的余弦值卻為正值。二、直線和平面所成的角1 、求角的方法：直線與平面所成的角為， a 是直線 l 的方向向量，b 是平面的一個法向量，a b則 sin = cosa， b = a b說明：兩種情況都成立，所以在做題時無需考慮斜線的方向向量和平面的法向量的方向2、例題例 2、 (09 遼寧 18)（本小題滿分 12 分）AM如圖，己知兩個正方形ABCD和 DCEF不在同一平面內(nèi)，M， N 分別為 AB , DF 的中點，若平面ABCD平面 DCEFB求直線 MN與平面 DCEF所成角的正弦值；NFDGCE解：設(shè)正方形，的邊長為2，以D為坐標(biāo)原點，分別以射線，為x，AB

4、CD DCEFDCDF DAyz 軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 設(shè)直線 MN與平面 DCEF所成角為。z則 M(1， 0， 2) ， N（0， 1， 0），可得 MN( 1,1, 2) ，A又 DA(0,0,2)為平面 DCEF的法向量，MB可得 cosMN ,DAMN DA6N3F|MN |DA |DyMNDA6CE所以 sin=3MN DAx所以 MN與平面 DCEF所成的角的正弦值為6 .3三、二面角的平面角1 、求角的方法：方法一：根據(jù)二面角平面角的定義， （ 1）中向量 AM 與 AN 夾角的大小就是二面角平面角的大小。（ 2）中向量 AM 與 BN 夾角的大小也是二面角平面角的

5、大小因此在解題中只需在兩個半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的兩個向量，求它們的夾角即可。方法二：利用平面向量的法向量來解決在以上四種情況中（ 1）（ 4）兩種情況向量的夾角與二面角的平面角互補， （2）（ 3）兩種情況向量的夾角與二面角的平面角相等。 在解題時判斷好法向量的方向， 是以上四種中的哪一種，從而確定二面角的大小。不用判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角。 （二面角的平面角是銳角還是鈍角，大部分看圖就能直接看出來）2、例題例 3：（ 09 山東 18）（本小題滿分12 分）如圖，在直四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 中，底面 ABCD為等腰梯形， AB/CD，AB=4, BC=CD=2,A

6、A1 =2, E、E1 、 F 分別是棱AD、 AA1 、 AB的中點。D1C1（ 1）證明：直線 EE / 平面 FCC ；11A 1B1（ 2）求二面角 B-FC1 -C 的余弦值。E1DCEAFB（ 1）證明略（ 2）解：解法一過 B 點做 FC1 的垂線垂足為P 點，過 C 點做 FC1 的垂線垂足為 Q 點。則 的值即為二面角B-FC1 -C 的平面角的值。因為 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB的中點 ,所以 BF=BC=CF, BCF為正三角形 ,因為 ABCD為等腰梯形 , 所以 BAC= ABC=60 , 取 AF的中點 M,連接 DM,則 DM AB,所以 DMC

7、D,以 DM為 x 軸 ,DC 為 y 軸 ,DD1 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系則 F(3 ，1，0) ，B(3 ,3,0),C(0,2,0),C1 (0,2,2)FC1=( -3 ,1,2)設(shè) FP=FC1 =(-3 ,2 )則 P(-3 ,+1, 2), PB =(3,2- ,-2)FC1PB =-3+2-4 =0= 1PB =(3,7,- 1)，PB= 1444422同理可得 QC =（ -3， 1 ，-1），QC =2 ,PBQC =1，22cos= PB QC =7PB QC7所以二面角B-FC1 -C的余弦值為7（不用判斷二面角是銳角還是鈍角，但此種方7法需有二面角的棱）解法二：

8、因為 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB的中點 ,所以 BF=BC=CF, BCF為正三角形 , 因為 ABCD為等腰梯形 , 所以 BAC= ABC=60 , 取 AF的中點 M, 連接 DM,則 DM AB,所以 DMCD,以 DM為 x 軸 ,DC 為 y 軸 ,DD1 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 D（ 0,0,0 ） ,F （ 3 ,1,0 ） ,C （0,2,0 ）, C1 (0,2,2)所以 CF( 3,1,0) , CC1(0,0,2) FC1(3,1,2)zD 1C1A 1B 1E1DCyEAMFBx設(shè)平面 CC1F 的法向量為 n( x, y, z) 則n CF03xy0 取 n(1,3,0)所以n CC10z0FB(0,2,0),設(shè) 平 面1的 法 向 量 為 n1( x1, y1 , z1),n1FB0BFC則FC1所 以n10y10, 取 n1 (2,0,3) , 則 n n1 213 00 32,3x1 y12 z1