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1、第四章矩陣習(xí)題參考答案、判斷題1. 對于任意n階矩陣A, B,有|A B |A |B .錯2. 如果A20,則A 0.1 1錯如 A, A20,但A 0.1 13. 如果A A2 E,則A為可逆矩陣.正確 A A2 E A(E A) E,因此A可逆,且A 1 A E.4. 設(shè)代B都是n階非零矩陣,且 AB 0 ,則A,B的秩一個等于n,個小于n .錯.由AB 0可得r(A) r(B) n.若一個秩等于n,則該矩陣可逆,另一個秩為零,與兩個都是非零矩陣矛盾.只可能兩個秩都小于 n.5.A, B,C為n階方陣,若ABAC,則 B C.丄112132 亠,錯.如A,B,C,有 AB AC,但 BC.
2、1 121326.A為m n矩陣,若r(A)s,則存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q,使Is 0PAQ.0 0正確.右邊為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,矩陣 A等價(jià)于其標(biāo)準(zhǔn)形.7. n階矩陣A可逆,則A*也可逆.正確.由A可逆可得|A| 0 ,又AA* A* A | A| E .因此A*也可逆,且(A*) 11|A|A.&設(shè)A,B為n階可逆矩陣,則(AB)* B* A* .正確(AB)(AB)* |AB|E |A|B|E.又(AB)(B* A*) A(BB*)A* A|B|EA* |B| AA* |A|B|E.因此(AB)(AB)*(AB)(B* A*).由A,B為n階可逆矩陣可得 AB可逆,兩邊同時左
3、乘式AB的逆可得(AB)* B* A* .二、 選 擇題1. 設(shè)A是n階對稱矩陣,B是n階反對稱矩陣(btB),則下列矩陣中為反對稱 矩陣的是( B ).(A) AB BA (B) AB BA (C)(AB)2 (D) BAB(A) (D)為對稱矩陣,(B)為反對稱矩陣,(C)當(dāng)A, B可交換時為對稱矩陣.2. 設(shè)A是任意一個n階矩陣,那么(a )是對稱矩陣.TT2T(A) AT A(B)A AT (C)A2(D)AT A3. 以下結(jié)論不正確的是(C ) .(A) 如果A是上三角矩陣,則 A2也是上三角矩陣;(B) 如果A是對稱矩陣,則 A2也是對稱矩陣;(C) 如果A是反對稱矩陣,則 A2也
4、是反對稱矩陣;(D) 如果A是對角陣,則 A2也是對角陣.4. A是m k矩陣,B是k t矩陣,若B的第j列元素全為零,則下列結(jié)論正確的是( B )( A) AB 的第 j 行元素全等于零; ( B) AB 的第 j 列元 素全等于零;(C) BA的第j行元素全等于零; (D) BA的第j列元素全等于零;5 設(shè) 代B為n階方陣,E為n階單位陣,則以下命題中正確的是( D )(A)(A B)2 A2ABB2(B)AB2 (A B)(AB)(C)(AB)2 A2B2(D) A2 E2(AE)(A E)6.下列命題正確的是(B).(A)若ABAC ,則 BC(B)若ABAC,且 A0,則BC(C)若
5、ABAC,且 A0 ,則BC(D)若ABAC,且 B0,C0,則B C7. A 是 mn矩陣,B是n m矩陣,則(B)(A)當(dāng)mn時,必有行列式AB0 ;(B)當(dāng)mn時,必有行列式AB0(C)當(dāng)nm時,必有行列式AB0 ;(D)當(dāng)nm時,必有行列式AB0.AB為m階方陣,當(dāng)m n時,r(A) n,r(B) n,因此r(AB) n m,所以AB 0.&以下結(jié)論正確的是(C )(A) 如果矩陣A的行列式 A 0,則A 0 ;(B) 如果矩陣A滿足A20 ,則A 0 ;(C) n階數(shù)量陣與任何一個 n階矩陣都是可交換的;(D) 對任意方陣A,B,有(A B)(A B) A B29設(shè)1, 2, 3,
6、4是非零的四維列向量,A ( 1, 2, 3, 4), A*為A的伴隨矩陣, 已知Ax 0的基礎(chǔ)解系為(1,0, 2,0)T,則方程組 A*x 0的基礎(chǔ)解系為(C ).(A)(B)12 ,23 ,31 .(C)2,3,4.( D 12,23,34,41 .1T0由 Ax 0的基礎(chǔ)解系為(1,0,2,0)T可得(1, 2, 3, 4 )0, 12 30.20因此(A), (B)中向量組均為線性相關(guān)的,而(D)顯然為線性相關(guān)的,因此答案為(C 由A* A A*(1,2,3,4)(A*1,A*2, A* 3,A*4) O可得1, 2,3, 4均為A* X 0的解10.設(shè)A是n階矩陣,A適合下列條件(
7、C )時,In A必是可逆矩陣(A) An A (B)A 是可逆矩陣(C) An 0(B) A主對角線上的元素全為零11 . n階矩陣A是可逆矩陣的充分必要條件是(D )(A) A 1 (B) A 0 (C) A At (D) A 012 . A, B,C均是n階矩陣,下列命題正確的是( A )(A) 若A是可逆矩陣,則從 AB AC可推出BA CA(B) 若A是可逆矩陣,則必有 AB BA(C) 若A 0 ,則從AB AC可推出B C(D) 若B C,則必有AB AC13. 代B,C均是n階矩陣,E為n階單位矩陣,若 ABC E,則有(C )(A) ACB E(B) BAC E(C) BCA
8、 E (D) CBA E14. A是n階方陣,A*是其伴隨矩陣,則下列結(jié)論錯誤的是(D )(A) 若A是可逆矩陣,則 A*也是可逆矩陣;(B) 若A是不可逆矩陣,則 A*也是不可逆矩陣;(C)若 A0,貝U A是可逆矩陣;(D)aA a .AAAE15 設(shè)A是5階方陣,且A0,則(A) A(B)(C)A3(D)A416 設(shè)A*是A G)nn的伴隨陣,則A A中位于(i, j)的元素為(B )(A)na jk Aki (B)k 1nakj Akik 1(C)najkAik (D)k 1應(yīng)為A的第i列元素的代數(shù)余子式與A的第j列元素對應(yīng)乘積和.17.設(shè) Aa11La1 nLAnLA1nL ,其中A
9、j是aj的代數(shù)余子式,Ann(A) A是B的伴隨(B)B是A的伴隨(C)B是A的伴隨(D)以上結(jié)論都不對18 設(shè)代B為方陣,分塊對角陣(A) C(C) C利用CC*19.已知A(B)A A*0(D)AB00Al b|b*|C | E驗(yàn)證.,BF列運(yùn)算可行的是(C )(A) A B (B)A B (C)AB (D) AB BA20 設(shè)代B是兩個m n矩陣,C是n階矩陣,那么(D )(A)C(AB)CA CB(B)(atbt)catc btc(C)ct(a b)cta ctb(D)(AB)CAC BCBA,那么B是一個(C )21 對任意一個n階矩陣A,若n階矩陣B能滿足AB(A)對稱陣(B)對角
10、陣(C)數(shù)量矩陣(D) A的逆矩陣與任意一個n階矩陣均可交換的矩陣為數(shù)量矩陣22 設(shè)A是一個上三角陣,且A0,那么A的主對角線上的元素(A)全為零(B)只有一個為零(C)至少有一個為零(D)可能有零,也可能沒有零1 323 設(shè)A則A 1(D)2 011110 -000(A)2(B)3(C)3(D)21 111111136362636a1b1C1a1C12b124 設(shè)Aa2 b2C2,若APa2C22b2,則P(B)a3b3C3a3C32b31 0 01 0000 1200(A)0 0 1(B)0 02(C)02 0(D)0010 2 00 1010 00101 aa1aaLLaa25設(shè) n(n
11、3)階矩陣Aaa1La,右矩陣A的秩為1,則a必為(A )LLLLLaaaL1(A) 1(B) -1(C)1(D)111131nn 1矩陣A的任意兩行成比例.26.設(shè)A, B為兩個n階矩陣,現(xiàn)有四個命題 若A, B為等價(jià)矩陣,則代B的行向量組等價(jià); 若A, B的行列式相等,即| A | | B|,則A,B為等價(jià)矩陣; 若Ax 0與Bx 0均只有零解,則A,B為等價(jià)矩陣; 若A,B為相似矩陣,則Ax 0與Bx 0解空間的維數(shù)相同.以上命題中正確的是(D)(A),.(B),.(C),.(D),.當(dāng)B P 1AP時,A, B為相似矩陣。相似矩陣的秩相等。齊次線性方程組基礎(chǔ)解系所含 解的個數(shù)即為其解空
12、間的維數(shù)。三、填空題1設(shè)A為三階方陣, A*為A的伴隨矩陣,有 A 2,貝U (-A) 12A*31A* | A| A 1 2A 1 , (A) 1 3A 1,因此 3n第i行第j列元素為ajkbki .k 14. n階矩陣A可逆A非退化|A| 0a00bc004.三階對角矩陣A0b0,則A的伴隨矩陣A* =0ac000c00abA與單位矩陣等價(jià)A可以表示為一系列初等矩陣的乘積5設(shè)A12 30 2 3,則(A ) 1- A.60 0 3(A*)0a10L00a2L6設(shè)a 0, i 1,2丄n,矩陣LLLL000Lan00L00L的逆矩陣為an 1000L0an1a110L000a21L00L
13、L L L L00Lan1107設(shè)代B都是可逆矩陣,矩陣C的逆矩陣為&設(shè)A 13,B,C1,則 | B(2A4C)9. A既是對稱矩陣,又是反對稱矩陣,則A為 零 矩陣.10.設(shè)方陣Abib2b3XiCiX2X3C2C3yi|AB|y2C2y3C3yiCiy2C2,且Ay3C32biXiyi2ci2b2X2y22c22b3X3y32C3bi b2 b32, Bb2b33則行列式y(tǒng)iX2X3y2y3Exiqbiyiqb2x2c24b2 y2 C23X3b3y3C3C2X2C3X3b2bsb2b32)3 4.ii.設(shè)A為m階方陣,B為n階方陣,已知Aa, B b,則行列式mn(i) ab.將A的各
14、列依次與B的各列交換,共需要交換mn次,化為i2設(shè)A為n階方陣,且 A 0,則 在A等價(jià)關(guān)系下的標(biāo)準(zhǔn)形為n階單位矩陣.i3.設(shè) A1 222 i a ( a為某常數(shù)),B為4 3的非零矩陣,且BA 0,則矩陣B的3 i i秩為 i .由BA 0可得A的各列為齊次線性方程組 Bx 0的解,A的前兩列線性無關(guān),因此Bx 0的基礎(chǔ)解系至少有兩個解,因此r(B) i.又B為非零矩陣,因此r(B) i.即r(B) i.四、解答下列各題i.求解矩陣方程2 1 12546113(i)X;(2)X 210i32 11 1 1432142031X1 2 11 0 1010100143100 X001201001
15、01012012 546解:(1) X35 46223122 10812 1 12218/352/3(2) X1132 1 04321 1 11 11431201 24311 1 0X1201116 11012 121 12 12 1112 3 01/4 01 1010143100 X1002010 010011200 100101431 (0 01002010(0 100112001 02011002101430011341200101020332設(shè)A110 ,ABA2B,求B123解:(A 2E)B A.033200233A 2E 110020110123002121A 2E 2,因此A
16、2E可逆0 33B(A 2E)1 A1 231 10114103.設(shè) P AP,其中P,求 A111102解:A P P 1,1 410 11411 2134213A11P 11p 11 10211 31 131 21142114設(shè)3級方陣代B滿足2A1BB 4E ,證明:A2E可逆,并求其逆證明:2A 1B B 4E兩邊同左乘以 A得到2B AB 4A.因此有1 1 1(A 2E)B 4A.由 A可逆可得 A 2E,且(A 2E)BA .45設(shè)A是一個n級方陣,且R(A) r,證明:存在一個n級可逆矩陣P使PAP 1的 后n r行全為零.證明:R(A) r,因此矩陣 A可以經(jīng)過一系列行初等變換化為后 n r行全為零.也 即存在初等矩陣 R,R,L ,Pm,使得PmL P2P1A后n r行全為零.P RA P2R ,則 PA的后n r行全為零.由矩陣乘法運(yùn)算可得 PAP 1的后n r行全為零.6設(shè)矩陣Amn,Bnm,且m n,AB E,證明:A的行向量組線性無關(guān).證明:由m n,AB E可得m r(AB) r(A) m,因此r(A) m.因此A的行向量組線性無關(guān)7 如果A A,稱A為幕
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