概率論乘法公式PPT學習教案

1、會計學1 概率論乘法公式概率論乘法公式 2 由條件概率的定義：由條件概率的定義： 即即 若若P(B)0,則則P(AB)=P(B)P(A|B) (2) )( )( )|( BP ABP BAP 而而 P(AB)=P(BA) 二、二、 乘法公式乘法公式 若已知若已知P(B), P(A|B)時時, 可以反求可以反求P(AB). 將將A、B的位置對調(diào)，有的位置對調(diào)，有 故故 若若P(A)0,則則P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若若 P(A)0, 則則P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都稱為式都稱為 乘法公式乘法公式, 利利 用它們可計算兩用它們可計算兩 個事件同時發(fā)生個事件

2、同時發(fā)生 的概率的概率 第1頁/共23頁 3 注意注意P(AB)與與P(A | B)的區(qū)別！的區(qū)別！ 請看下面的例子請看下面的例子 第2頁/共23頁 4 例例2 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中個零件，其中300 件是乙廠生產(chǎn)的件是乙廠生產(chǎn)的. 而在這而在這300個零件中，有個零件中，有189個個 是標準件，現(xiàn)從這是標準件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問個零件中任取一個，問 這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率是多少？的概率是多少？ 所求為所求為P(AB). 甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn) 1000 個個 189個個是是 標準件標準件 300個個 乙

3、廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn) 300個個 乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn) 設設B=零件是乙廠生產(chǎn)零件是乙廠生產(chǎn) A=是標準件是標準件 第3頁/共23頁 5 所求為所求為P(AB) . 設設B=零件是乙廠生產(chǎn)零件是乙廠生產(chǎn) A=是標準件是標準件 若改為若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的, 問它是標準件的概率是多少問它是標準件的概率是多少?” 求的是求的是 P(A|B) . B發(fā)生發(fā)生, 在在P(AB)中作為結(jié)果中作為結(jié)果; 在在P(A|B)中作為條件中作為條件. 甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn) 1000 個個 189個個是是 標準件標準件 300個個 乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn) 第4頁/共23頁 6 例例3 設某種動物由出生算起

4、活到設某種動物由出生算起活到20年以上的年以上的 概率為概率為0.8，活到，活到25年以上的概率為年以上的概率為0.4. 問問 現(xiàn)年現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到歲的這種動物，它能活到25歲以上的歲以上的 概率是多少？概率是多少？ 解：設解：設A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上 依題意，依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 所求為所求為P(B|A) . )( )( )|( AP ABP ABP5 . 0 8 . 0 4 . 0 )( )( AP BP 第5頁/共23頁 7 條件概率條件概率P(A|B)與與P(A)的區(qū)別的區(qū)別 每一個隨機試驗都是在一定條件下進行

5、每一個隨機試驗都是在一定條件下進行 的，設的，設A是隨機試驗的一個事件，則是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在是在 該試驗條件下事件該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小. P(A)與與P(A |B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同, 它們是兩個不同的概念它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同在數(shù)值上一般也不同. 而條件概率而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加是在原條件下又添加 “B發(fā)生發(fā)生”這個條件時這個條件時A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小 ，即，即P(A|B)仍是概率仍是概率. 第6頁/共23頁 8 條件概率條件概率P(A|B)與與P(A)數(shù)值

6、關系數(shù)值關系 條件概率條件概率P(A|B)是在原條件下又添加是在原條件下又添加“B 發(fā)生發(fā)生”這個條件時這個條件時A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小. 那么那么, 是否一定有是否一定有: 或或 P(A|B) P(A)? P(A|B) P(A)? 請思考！請思考！ 第7頁/共23頁 9 例例4教材教材 Page 13 例例5 教材教材 Page 14 第8頁/共23頁 10 當當P(A1A2An-1)0時，有時，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) 推廣到多個事件的乘法公式推廣到多個事件的乘法公式: 第9頁/共23頁 11 例例 已知在已知在20

7、個同種零件中有個同種零件中有3個次品，其個次品，其 余為合格品。從這余為合格品。從這20件中任取件中任取3次，每次抽次，每次抽 取不放回，求取不放回，求 （1）3個都是合格品的概率個都是合格品的概率 （2）3個都是次品的概率個都是次品的概率 （3）只有一個是合格品的概率）只有一個是合格品的概率 第10頁/共23頁 12 乘法公式應用舉例乘法公式應用舉例 一個罐子中包含一個罐子中包含b個白球和個白球和r個紅球個紅球. 隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐 中，并且再加進中，并且再加進c個與所抽出的球具有相個與所抽出的球具有相 同顏色的球同顏色的球. 這種手續(xù)進行四

8、次，試求第這種手續(xù)進行四次，試求第 一、二次取到白球且第三、四次取到紅一、二次取到白球且第三、四次取到紅 球的概率球的概率. （波里亞罐子模型）（波里亞罐子模型） b個白球個白球, r個紅球個紅球 第11頁/共23頁 13 于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“連續(xù)取四個球，連續(xù)取四個球， 第一、第二個是白球，第三、四個是紅球第一、第二個是白球，第三、四個是紅球. ” 隨機取一個球，觀看顏色后放隨機取一個球，觀看顏色后放 回罐中，并且再加進回罐中，并且再加進c個與所抽出個與所抽出 的球具有相同顏色的球的球具有相同顏色的球. 解解: 設設Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3

9、,4 Rj=第第j次取出是紅球次取出是紅球， j=1,2,3,4 b個白球個白球, r個紅球個紅球 第12頁/共23頁 14 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 當當 c0 時，由于每次取出球后會增加下時，由于每次取出球后會增加下 一次也取到同色球的概率一次也取到同色球的概率. 這是一個這是一個傳染病傳染病 模型模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加 再傳染的概率再傳染的概率. crb cr crb r crb cb rb b 32 =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3) P(W1W2R3R4) 第13頁/共23頁 15 一

10、場精彩的足球賽將要舉行，一場精彩的足球賽將要舉行， 5個球迷好不容易才搞到一張入場券個球迷好不容易才搞到一張入場券. 大家都想去大家都想去,只好用抽簽的方法來解決只好用抽簽的方法來解決. 入場入場 券券 5張同樣的卡片，只有一張上寫有張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場券入場券”，其余的什么也沒寫，其余的什么也沒寫. 將它們放在一起，洗勻，讓將它們放在一起，洗勻，讓5個人依次抽取個人依次抽取. “先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大。先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大?！?后抽的確比先抽吃虧嗎？后抽的確比先抽吃虧嗎？ 讓我們用讓我們用 概率論的知識來計算一下。概率論的知識來計算一下。 第14頁

11、/共23頁 16 我們用我們用Ai表示表示“第第i個人抽到入場券個人抽到入場券” i1,2,3,4,5. 顯然，顯然，P(A1)=1/5，P( )4/5 1 A 第第1個人抽到入場券的概率是個人抽到入場券的概率是1/5. 也就是說，也就是說， i A則則 表示表示“第第i個人未抽到入場券個人未抽到入場券” 第15頁/共23頁 17 因為若第因為若第2個人抽到個人抽到 了入場券，第了入場券，第1個人個人 肯定沒抽到肯定沒抽到. 也就是要想第也就是要想第2個人抽到入場券，必須第個人抽到入場券，必須第1 個人未抽到，個人未抽到， )|()()( 1212 AAPAPAP 212 AAA 由于由于 由

12、乘法公式由乘法公式 計算得：計算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 第16頁/共23頁 18 )|()|()()()( 2131213213 AAAPAAPAPAAAPAP 這就是有關抽簽順序問題的正確解答這就是有關抽簽順序問題的正確解答. 同理，第同理，第3個人要抽到個人要抽到“入場券入場券”，必須，必須 第第1、第、第2個人都沒有抽到個人都沒有抽到. 因此因此 (4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到每個人抽到“入入 場券場券” 的概率都是的概率都是1/5. 抽簽不必爭先恐后抽簽不必爭先恐后. 也就是說，也就是說， 第17頁

13、/共23頁 19 箱子中裝有箱子中裝有10瓶形狀相同的名酒瓶形狀相同的名酒,其中部優(yōu)其中部優(yōu) 名酒名酒7瓶瓶,國優(yōu)名酒國優(yōu)名酒3瓶瓶,今有三個人從箱子中今有三個人從箱子中 隨機地取出一些酒來隨機地取出一些酒來,每人只拿每人只拿2瓶瓶 問：問：恰好恰好第一個人拿到兩瓶部優(yōu)名酒第一個人拿到兩瓶部優(yōu)名酒,同時第二同時第二 個人拿到部優(yōu)、國優(yōu)名酒各一瓶個人拿到部優(yōu)、國優(yōu)名酒各一瓶,第三個人第三個人 拿到兩瓶國優(yōu)名酒的可能性有多大拿到兩瓶國優(yōu)名酒的可能性有多大? 解：解：設設 名酒名酒第三個人拿到兩瓶國優(yōu)第三個人拿到兩瓶國優(yōu) 名酒各一瓶名酒各一瓶第二個人拿到部優(yōu)國優(yōu)第二個人拿到部優(yōu)國優(yōu) 名酒名酒第一個人

14、拿到兩瓶部優(yōu)第一個人拿到兩瓶部優(yōu) C B A 例例 第18頁/共23頁 20 顯然顯然, 所求事件的概率為：所求事件的概率為： ()()()()P ABCP AP B AP C AB 從而：從而：017. 0067. 0536. 0467. 0)( ABCP 2 7 2 10 ()0.467 C P A C 而：而： 11 53 2 8 ()0.536 CC P B A C 2 2 2 6 ()0.067 C P C AB C 10瓶名酒，其中瓶名酒，其中 部優(yōu)部優(yōu)7瓶，國優(yōu)瓶，國優(yōu)3瓶，瓶， 第一人拿到兩瓶第一人拿到兩瓶 優(yōu)名酒同時第二優(yōu)名酒同時第二 人拿到部人拿到部 優(yōu)、國優(yōu)、國 優(yōu)名酒各

15、一瓶優(yōu)名酒各一瓶,第第 三個拿到兩瓶國三個拿到兩瓶國 優(yōu)名酒優(yōu)名酒 第19頁/共23頁 21 例例 設某光學儀器廠制造的透鏡設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落下時第一次落下時 打破的概率為打破的概率為 ，若第一次落下時未打破，若第一次落下時未打破,第第 二次落下破的概率為二次落下破的概率為 , 若前兩次落下未打若前兩次落下未打 破破, 第三次打破的概率為第三次打破的概率為 2 1 10 7 10 9 試求：透鏡落下三次未打破的概率。試求：透鏡落下三次未打破的概率。 解：解：設設 : : 透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破 次落下打破次落下打破透鏡是第透鏡是第 B iAi 3 , 2 ,

16、1 i 解法解法1. 312211 ()()()P AA AP A AP A 123 ( )()P BP A A A 123 ,BA A A 因為：因為： 所以有：所以有： 第20頁/共23頁 22 9713 (1) (1) (1) 10102200 解法解法2. , 321211 AAAAAAB 及及 1 A與與 21A A而而 321 AAA 是兩兩互斥的事件，故有：是兩兩互斥的事件，故有： )()()()( 321211 AAAPAAPAPBP 1211 312211 ()()() ()()() 171971197 (1)(1)(1) 210210102200 P AP A AP A P A A AP A AP A 200 3 200 197 1)(1)(