概率統(tǒng)計(jì)2425PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)2425 2 1. kkn k n P XkC p qpq ),(pnBX ,()n pB n p 參參數(shù)數(shù)為為的的稱稱貝貝努努力力分分布布， , n kkn k n C p qpq B n p 因因?yàn)闉闉闉?展展開(kāi)開(kāi)式式的的通通項(xiàng)項(xiàng), ,故故也也稱稱 為為二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布. . ,.E Xnp D Xnpq 特特點(diǎn)點(diǎn)： 定義定義 : : 011 ( , )Bp稱稱為為 分分布布. . 理理由由如如下下，請(qǐng)請(qǐng)自自己己閱閱讀讀. . 第1頁(yè)/共59頁(yè) 3 0 ( , ) () nXB n p kkn k n k E Xk C p q n k knk qp knk n k

2、 1 )!( ! ! n k knk qp knk n np 1 )1(11 )!()!1( )!1( 1 ki令令 1 0 1 )!1( ! )!1( n i iniq p ini n np 1 (), n np pq .EXnp 第2頁(yè)/共59頁(yè) 4 n k knkk n qpCkXE 0 22 )( n k knk qp knk n knp 1 1 )!()!1( )!1( n k knk n k knk qp knk n qp knk n knp 1 1 1 1 )!()!1( )!1( )!()!1( )!1( ) 1( 2 11()E Xnp np， 2 2 1()(),D XE

3、XEXnpp.()D Xnpq ,.E XnpB n pD Xnpq 綜綜上上，X X 第3頁(yè)/共59頁(yè) 5 例例1 1 某射手命中率為某射手命中率為0.80.8，獨(dú)立射擊，獨(dú)立射擊3 3次，求恰好命次，求恰好命 中兩次的概率中兩次的概率. . 解解 設(shè)設(shè)) 3 , 2 , 1( iA i 為為第第i 次次命命中中， ，8 . 0)( pAP i 則恰好命中兩次的概率為則恰好命中兩次的概率為 )( 321321321 AAAAAAAAAP )()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP )1()1()1( 222 pppppp .384. 0)1( 22 3 ppC 由可加性 由獨(dú)

4、立性 第4頁(yè)/共59頁(yè) 6 例例2 2 某人打靶某人打靶, ,命中率為命中率為p=0.8,=0.8,獨(dú)立重復(fù)射擊獨(dú)立重復(fù)射擊5 5次次, ,求：求： (1) (1) 恰好命中兩次的概率；恰好命中兩次的概率； (2) (2) 至少命中兩次的概率；至少命中兩次的概率； (3) (3) 至多命中至多命中4 4次的概率次的概率. . 解解 設(shè)設(shè) X為命中數(shù)，為命中數(shù)， ，則則)8 . 0, 5( BX (1)(1)2 XP.0512. 02 . 08 . 0 322 5 C (2)(2)2 XP101 XPXP .99328. 02 . 08 . 052 . 01 45 (3)(3)4 XP51 XP

5、.67232. 08 . 01 5 第5頁(yè)/共59頁(yè) 7 解解 例例3 3 某經(jīng)理有某經(jīng)理有7 7個(gè)顧問(wèn)，對(duì)某決策征求意見(jiàn)，經(jīng)理聽(tīng)個(gè)顧問(wèn)，對(duì)某決策征求意見(jiàn)，經(jīng)理聽(tīng) 取多數(shù)人的意見(jiàn)取多數(shù)人的意見(jiàn). .若每位顧問(wèn)提出正確意見(jiàn)的概率均若每位顧問(wèn)提出正確意見(jiàn)的概率均 為為 0.7，且相互獨(dú)立，求經(jīng)理作出正確決策的概率，且相互獨(dú)立，求經(jīng)理作出正確決策的概率. . 提出正確意見(jiàn)的顧問(wèn)人數(shù)提出正確意見(jiàn)的顧問(wèn)人數(shù) )7 . 0, 7( BX 則經(jīng)理作出正確決策的概率為則經(jīng)理作出正確決策的概率為 4 XP 7 4 7 7 3 .07 .0 k kkk C .874. 0 第6頁(yè)/共59頁(yè) 8 解解 例例4 4

6、對(duì)某藥物的療效進(jìn)行研究，假定這種藥物對(duì)某對(duì)某藥物的療效進(jìn)行研究，假定這種藥物對(duì)某 種疾病的治愈率為種疾病的治愈率為p= =0.8. .現(xiàn)在現(xiàn)在10個(gè)患者同時(shí)服此藥，個(gè)患者同時(shí)服此藥， 求至少有求至少有6個(gè)患者治愈的概率個(gè)患者治愈的概率( (假定患者之間相互獨(dú)假定患者之間相互獨(dú) 立立) ). . 治愈人數(shù)治愈人數(shù) )8 . 0,10( BX 則至少有則至少有6個(gè)患者治愈的概率為個(gè)患者治愈的概率為 6 XP 10 6 10 10 2 .08 .0 k kkk C.97. 0 這個(gè)概率是很大的，也即，如果治愈率確為這個(gè)概率是很大的，也即，如果治愈率確為0.8， 則在則在10人中治愈人數(shù)少于人中治愈人

7、數(shù)少于6人的情況是很少出現(xiàn)的人的情況是很少出現(xiàn)的. . 因此，如果在一次實(shí)際試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)因此，如果在一次實(shí)際試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)10個(gè)病人中治個(gè)病人中治 愈不到愈不到6人，那么假定治愈率為人，那么假定治愈率為0.8就值得懷疑了就值得懷疑了. . 第7頁(yè)/共59頁(yè) 9 解解 例例5 5 假設(shè)有假設(shè)有10臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的可靠性臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的可靠性( (無(wú)故障工作的無(wú)故障工作的 概率概率) )為為0.90，每臺(tái)出現(xiàn)故障時(shí)需要由一人進(jìn)行調(diào)，每臺(tái)出現(xiàn)故障時(shí)需要由一人進(jìn)行調(diào) 整問(wèn)為保證在整問(wèn)為保證在95% %的情況下當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)都能的情況下當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)都能 及時(shí)得到調(diào)整，至少需要安排幾個(gè)人值班？及時(shí)得到調(diào)整

8、，至少需要安排幾個(gè)人值班？ 出故障機(jī)器臺(tái)數(shù)出故障機(jī)器臺(tái)數(shù) )1 . 0,10( BX 求滿足求滿足95. 0 kXP的最小的最小k值，值， 0 XP ,0574. 010. 090. 03 373 10 CXP 10 90. 0 ,3487. 0 1 XP10. 090. 0 91 10 C,3874. 0 ,1937. 010. 090. 0 2 282 10 CXP 7361. 0 9298. 0 9872. 0 因此，至少需要安排因此，至少需要安排3個(gè)人值班個(gè)人值班 第8頁(yè)/共59頁(yè) 10 解解 例例6 6 ( (保險(xiǎn)事業(yè)保險(xiǎn)事業(yè)) )若一年中某類保險(xiǎn)者的死亡率若一年中某類保險(xiǎn)者的死亡率

9、 為為0.005. .現(xiàn)有現(xiàn)有1萬(wàn)人參加這類保險(xiǎn)，試求在未來(lái)一萬(wàn)人參加這類保險(xiǎn)，試求在未來(lái)一 年中在這些保險(xiǎn)者里面，年中在這些保險(xiǎn)者里面，(1)(1)有有40人死亡的概率；人死亡的概率； (2)(2)死亡人數(shù)不超過(guò)死亡人數(shù)不超過(guò)70人的概率人的概率. . 死亡人數(shù)死亡人數(shù) )005. 0,10000( BX 40 XP(1)(1).995. 0005. 0 99604040 10000 C (2)(2)70 XP.995. 0005. 0 70 0 10000 10000 k kkk C 計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，下面介紹一個(gè)實(shí)用的近似公式計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，下面介紹一個(gè)實(shí)用的近似公式. . 第9頁(yè)/共59頁(yè)

10、11 解解 例例7 7 假如生三胞胎的概率為假如生三胞胎的概率為10- -4，求在求在10萬(wàn)次生萬(wàn)次生 育中，恰有兩次生三胞胎的概率育中，恰有兩次生三胞胎的概率. . 10萬(wàn)次生育中生三胞胎的次數(shù)萬(wàn)次生育中生三胞胎的次數(shù) )0001. 0,100000( BX 直接用伯努利公式計(jì)算得直接用伯努利公式計(jì)算得 ，0022693. 0)1(2 222 n n ppCXP 用泊松近似公式，用泊松近似公式， ，10 np .002270. 0e ! 2 2 2 XP 可見(jiàn)（當(dāng)可見(jiàn)（當(dāng)n非常大時(shí)）近似程度令人滿意非常大時(shí)）近似程度令人滿意. . 第10頁(yè)/共59頁(yè) 12 ,. kn k MNM n N C

11、 C XH N M nP Xk C 定義定義 (,)H N M nN M n參參數(shù)數(shù)為為的的超超幾幾稱稱為為何何分分布布. . n N 性性質(zhì)質(zhì). . 當(dāng)當(dāng)很很小?。ㄈ缛缧⌒∮谟?.050.05）時(shí)時(shí)， , M H N M nn N B B有有：. . 1,. MMM XH N M nEXnDXn NNN 由由此此有有：, , 參見(jiàn)參見(jiàn)P P65 65 . . 第11頁(yè)/共59頁(yè) 13 例例8 8 設(shè)某批產(chǎn)品共有設(shè)某批產(chǎn)品共有N件，其中有件，其中有M件次品件次品. . 按按 如下兩種方式從中任選如下兩種方式從中任選n件產(chǎn)品件產(chǎn)品: (1): (1)每次取出觀每次取出觀 察后放回；察后放回；(2

12、)(2)不放回不放回. . 設(shè)取得的次品數(shù)為設(shè)取得的次品數(shù)為X，試試 分別就所述的兩種情形，求分別就所述的兩種情形，求X的分布律的分布律. . (1) (1) 由于是有放回的抽取，所以每次取到次品由于是有放回的抽取，所以每次取到次品 的概率均為的概率均為M/ /N，所以所以 解解 nk N M N M CkXP knk k n , 2 , 1 , 0,1 即即 , )/,(NMnBX 第12頁(yè)/共59頁(yè) 14 (2) (2) 若不還原，在若不還原，在N件產(chǎn)品中任選件產(chǎn)品中任選 n 件，其中恰好件，其中恰好 有有 k 件次品的取法共有件次品的取法共有 ， kn MN k MC C 第13頁(yè)/共5

13、9頁(yè) 15 作為二項(xiàng)分布的近似作為二項(xiàng)分布的近似, , 1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家年法國(guó)數(shù)學(xué)家泊泊松松 引入的引入的. . 了了泊松分布。泊松分布。 定義0( )e. ! k XPP Xk k 泊松分布的實(shí)際背景：泊松分布的實(shí)際背景：最簡(jiǎn)流最簡(jiǎn)流. . 例如，到達(dá)商店的顧客，用戶對(duì)某種商品質(zhì)量的投訴，例如，到達(dá)商店的顧客，用戶對(duì)某種商品質(zhì)量的投訴， 暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到達(dá)某暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到達(dá)某 港口等待進(jìn)港的貨輪、紡紗機(jī)上的斷頭港口等待進(jìn)港的貨輪、紡紗機(jī)上的斷頭所形成的隨機(jī)所形成的隨機(jī) 質(zhì)點(diǎn)流質(zhì)點(diǎn)流 第14頁(yè)/共59頁(yè) 16 0 1( ).XP

14、EXDX 0 67 2:PoissonP定定理理 limlim, nn nn npB n pP e. ! k kkn knp n np C p q k 第15頁(yè)/共59頁(yè) 17 0 22 e ! )( k k k kXE 1 e )!1( k k k k 12 e )!1( e )!1( )1( k k k k kk k ， 2 所以所以.)( 22 XD 0 ()e ! k k E Xk k 1 1 e ()! k k k 1 1 0 1 e ()! k k k 0 e. ! n n e e n 性質(zhì)性質(zhì)2 20 0請(qǐng)自己閱讀請(qǐng)自己閱讀P P67 67. . 第16頁(yè)/共59頁(yè) 18 例例9

15、 9 通過(guò)某十字路口的汽車數(shù)服從泊松分布通過(guò)某十字路口的汽車數(shù)服從泊松分布. . 若平若平 均均5秒鐘有秒鐘有1輛汽車通過(guò)輛汽車通過(guò), , 求求1010秒鐘內(nèi)通過(guò)的汽車不秒鐘內(nèi)通過(guò)的汽車不 少于少于兩兩輛的概率輛的概率. . 解解設(shè)設(shè) X 為為10秒內(nèi)通過(guò)的汽車數(shù)，秒內(nèi)通過(guò)的汽車數(shù)， ，則則)2( PX 2 XP101 XPXP e) ! 1! 0 (1 10 .594. 0e31 2 第17頁(yè)/共59頁(yè) 19 例例10 10 某商店出售某種大件商品，據(jù)歷史記錄分某商店出售某種大件商品，據(jù)歷史記錄分 析，每月銷售量服從泊松分布，析，每月銷售量服從泊松分布，= = 7 7，問(wèn)在月初進(jìn)問(wèn)在月初進(jìn)

16、貨時(shí)要庫(kù)存多少件此種商品，才能以貨時(shí)要庫(kù)存多少件此種商品，才能以0.999的概率的概率 充分滿足顧客的需要？充分滿足顧客的需要？ 解解 銷售量銷售量 ，)7( PX 設(shè)至少庫(kù)存設(shè)至少庫(kù)存N件，則件，則 NXP N k kXP 0 N k k k 0 e ! ，999. 0 經(jīng)計(jì)算，必須取經(jīng)計(jì)算，必須取 N = = 16. . 第18頁(yè)/共59頁(yè) 20 定義定義 1 1 0 , ( , ). xa b XU a bfxb 定定義義 其其它它 a b )(xf x 二、2.5 三種重要的連續(xù)型分布 ( , ),U a ba b：區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的均均勻勻分分布布. . bx bxa ab ax ax

17、 xF , 1 , , 0 )( 若若 若若 若若 )(xf xab 1 第19頁(yè)/共59頁(yè) 21 ，設(shè)設(shè)),(baUX ，對(duì)對(duì)),(,badc d c ab x dXc d P. ab cd 這表明，這表明，X取值于取值于( (a, ,b) )內(nèi)的任一區(qū)間的概率內(nèi)的任一區(qū)間的概率 與區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該區(qū)間的具體位置無(wú)與區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該區(qū)間的具體位置無(wú) 關(guān)關(guān), ,這就是均勻分布的概率意義。這就是均勻分布的概率意義。 若若不不然然 若若 , 0 , 1 )( bxa abxf 第20頁(yè)/共59頁(yè) 22 ( , )XU a b EX( )dxf xx b a x ab xd 1 2

18、1 22 ab ab . 2 ba 2 212 () EXDX abba ， xxfxXd)()(E 22 3 1 33 ab ab ， 3 22 aabb 2 2 DE()EXXX . 12 )( 2 ab 性質(zhì)性質(zhì) 第21頁(yè)/共59頁(yè) 23 例例2222 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班分鐘來(lái)一班 車，即車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)等時(shí)刻有汽車到達(dá) 此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是是7:00 到到 7:30 之間之間 的均勻隨機(jī)變量的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于試求他候車時(shí)間少于5

19、分鐘的概率分鐘的概率. 第22頁(yè)/共59頁(yè) 24 解解 依題意，依題意， 以7:00為起點(diǎn)0,以分為單位， 其它其它, 0 300, 30 1 )( x xf 為使候車時(shí)間少于為使候車時(shí)間少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達(dá)車站之間到達(dá)車站. 所求概率為：所求概率為： 30251510 XPXP , 3 1 30 5 30 5 即乘客候車時(shí)間少于5 分鐘的概率是1/3. , )30, 0( UX 例例2222 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班分鐘來(lái)一班 車，即車，即 7:

20、00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)等時(shí)刻有汽車到達(dá) 此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是是7:00 到到 7:30 之間之間 的均勻隨機(jī)變量的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于試求他候車時(shí)間少于5 分鐘的概率分鐘的概率. 第23頁(yè)/共59頁(yè) )(xf x 25 0 00 e, ( )( ) , x x XEf x x 若若 若若 . 0 ,0 0 ,e1 )( x x xF x 若若 若若 定義定義 ( )XXE服服從從以以 為為參參數(shù)數(shù)的的指指數(shù)數(shù)分分布布，記記作作 指數(shù)分布在排隊(duì)論和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用，常常 用它來(lái)作為各種“壽命”的分布的近

21、似.例如,電子元件的壽命, 電話的通話時(shí)間,微生物的壽命,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等 都可認(rèn)為是近似服從指數(shù)分布. 第24頁(yè)/共59頁(yè) 26 性質(zhì)（性質(zhì)（無(wú)記憶性無(wú)記憶性）： 00 P|P. ( ) , Xst XsX X t E st s xxfsXd)(P證證 s x xde s x e ， s e P P P sX tsX sXtsX t s ts e e e )( .PtX 注注：指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型分布指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型分布. . 第25頁(yè)/共59頁(yè) 27 xxxfXd)()(E 0 dexx x 0 de x x 0 e 1 x 0 0 deexx x

22、x . 1 1 EX ( ).XeDX 證明：證明： 第26頁(yè)/共59頁(yè) 28 xxfxXd)()(E 22 0 2 dexx x 0 2 de x x 0 0 2 de2exxx xx . 2 2 22 )(E)(E)(DXXX . 1 2 1 EX ( ).XeDX 方差的證明：方差的證明： 第27頁(yè)/共59頁(yè) 29 例例2 23 3 假設(shè)電話一次通話時(shí)間是一隨機(jī)變量，服從參假設(shè)電話一次通話時(shí)間是一隨機(jī)變量，服從參 數(shù)為數(shù)為0.1的指數(shù)分布假設(shè)某人到達(dá)電話亭時(shí)有一人正的指數(shù)分布假設(shè)某人到達(dá)電話亭時(shí)有一人正 在通話，試求在通話，試求: : 解解 (1) (1) 此人至少需要等此人至少需要等1

23、0分鐘的概率分鐘的概率； (2) (2) 此人需要等此人需要等10到到20分鐘的概率分鐘的概率 以以 X表表示示一一次次通通話話時(shí)時(shí)間間，則則根根據(jù)據(jù)條條件件) 1 . 0( EX, 10 )1( XP 2325. 0ee2010P )2( 21 X 10 1 . 0 de1 . 0 x x ;3679. 0ee 1101 . 0 第28頁(yè)/共59頁(yè) 30 正態(tài)分布是概率分布中最重要的一種分布，這有實(shí)踐與正態(tài)分布是概率分布中最重要的一種分布，這有實(shí)踐與 理論兩方面的原因。實(shí)踐方面的原因是，正態(tài)分布是自然界理論兩方面的原因。實(shí)踐方面的原因是，正態(tài)分布是自然界 最最常見(jiàn)常見(jiàn)的一種分布，例如測(cè)量的誤

24、差、炮彈的落點(diǎn)、人的身的一種分布，例如測(cè)量的誤差、炮彈的落點(diǎn)、人的身 高與體重、農(nóng)作物的收獲量、波浪的高度等等都近似服從正高與體重、農(nóng)作物的收獲量、波浪的高度等等都近似服從正 態(tài)分布。一般來(lái)說(shuō)，態(tài)分布。一般來(lái)說(shuō)，如果影響某一隨機(jī)變量的因素很多，而如果影響某一隨機(jī)變量的因素很多，而 每一個(gè)因素都不起決定性作用，且這些影響是可以疊加的每一個(gè)因素都不起決定性作用，且這些影響是可以疊加的， 則這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，這點(diǎn)可用第四章的極限定理則這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，這點(diǎn)可用第四章的極限定理 來(lái)加以證明。從理論方面來(lái)說(shuō)，正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，來(lái)加以證明。從理論方面來(lái)說(shuō)，正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，

25、 如正態(tài)分布可以如正態(tài)分布可以導(dǎo)出導(dǎo)出一些其它分布，而某些分布（如二項(xiàng)分一些其它分布，而某些分布（如二項(xiàng)分 布、泊松分布等）在一定的條件下可用正態(tài)分布來(lái)布、泊松分布等）在一定的條件下可用正態(tài)分布來(lái)近似近似。 第29頁(yè)/共59頁(yè) 31 定義定義 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 xxf x e 2 1 )( 2 2 2 )( ， 其其中中0 , , 則則稱稱X服服從從參參數(shù)數(shù)為為 ,的的正正態(tài)態(tài)分分布布, , . ),( 2 NX記記為為 )(xf x 第30頁(yè)/共59頁(yè) 32 正態(tài)變量的分布函數(shù)為正態(tài)變量的分布函數(shù)為 xtxF x t ,de 2 1 )( 2 2 2 )(

26、)(xF x 1 第31頁(yè)/共59頁(yè) 33 )(x )(x tx x t de 2 1 )( 2 2 10 , 的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. xx x ,e 2 1 )( 2 2 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示： )(x )(x 第32頁(yè)/共59頁(yè) 34 書末書末P262附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表. 100 5()( ),.x x 表中給的是表中給的是x 0時(shí)時(shí), (x)的值的值. )(x x )(x xx 第33頁(yè)/共59頁(yè) 35 任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. ，若若),( 2 NX. ) 1, 0( N X Y 則則 定理 ,

27、),( 2 NX設(shè)設(shè)其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 ),(xF則則 txF xt de 2 1 )( 2 2 2 )( . x 證 2 2 1 2 ed x t uu u 第34頁(yè)/共59頁(yè) 36 P YyP Xx (), x F xy (0,1). X YN 故 X Y Xxx XxYy 第35頁(yè)/共59頁(yè) 37 二、正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)二、正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)（8條條）：）： ( (1 1) ) 對(duì)對(duì)稱稱軸軸 x； ( (2 2) ) 漸漸近近線線x軸軸( (0)(lim xf x ) )； 2 2 2 )( e 2 1 )( x xf ( (3 3) ) 單單調(diào)調(diào)性性: :在在),( 內(nèi)內(nèi)

28、單單調(diào)調(diào)增增, ,在在),( 內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)減減； )(xf x 第36頁(yè)/共59頁(yè) 38 ( (4 4) ) 頂頂點(diǎn)點(diǎn)( (最最大大值值) )當(dāng)當(dāng) x處處達(dá)達(dá)到到最最大大值值 2 1 ； ( (5 5) ) 兩兩個(gè)個(gè)拐拐點(diǎn)點(diǎn)： x； 2 1 )(xf x 正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)： 2 2 2 )( e 2 1 )( x xf 第37頁(yè)/共59頁(yè) 39 2 1 )(xf x ( (6 6) ) 確確定定曲曲線線在在坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的位位置置， 影影響響曲曲線線的的形形狀狀： 當(dāng)當(dāng) 較較大大時(shí)時(shí)，曲曲線線較較平平坦坦；當(dāng)當(dāng) 較較小小時(shí)時(shí)，曲曲線線較較陡陡峭峭. . 2 2

29、 2 )( e 2 1 )( x xf 第38頁(yè)/共59頁(yè) （7）正態(tài)分布的數(shù)字特征正態(tài)分布的數(shù)字特征 2 ( ,)XN EX 2 2 () 2 1 ( ). 2 x f xxe 2 ()( )dDXxxx xe x x d 2 1 )( 2 2 2 )( 2 )( ,)( 2 1 2 1 22 )( 2 2 2 t x dtetdxexEX t x dtedtte tt 22 22 22 第39頁(yè)/共59頁(yè) 得得令令, t x 2 2 2 2 d 2 t DXt et tete tt d 2 22 2 22 2 2 0 2 2 第40頁(yè)/共59頁(yè) . 2 和和分別為兩個(gè)參數(shù)分別為兩個(gè)參數(shù)正態(tài)

30、分布的期望和方差正態(tài)分布的期望和方差 第41頁(yè)/共59頁(yè) 43 ，若若),( 2 NX0 1*( , ). X XN 則則 （8） , ),( 2 NX設(shè)設(shè)( )F x其其分分布布函函數(shù)數(shù)為為 2 2 2 1 2 () ( )ed tx F xt x 證 2 2 1 2 ed x t uu u *P XxP Xx( *),x 01*( , ). X XN 故故 * X X * Xx XxXx * * . x x x 第42頁(yè)/共59頁(yè) 2 2 0,.XNaXbN ab aa 2 ,.aXbN ab a 0 Y aFyP YyP aXby 0 Y aFyP YyP aXby ; X ybyb P

31、XF aa 1; X ybyb PXF aa 第43頁(yè)/共59頁(yè) 45 若若 XN(0,1), )()(PabbXa 則則 例例 1 1 解解 設(shè)設(shè)) 1, 0( NX, ,求求: :( (1 1) )2P) 2( ,10P XX. . 10P)1( X 5 . 08413. 0 .3413. 0 2P)4( X)2()2( 22P X 1)2(2 19773. 02 .9546. 0 )0()1( 2P)4( ,1P)3( XX 2P)2( X.9773. 0 )2( 1P)3( X.1587. 0 )1(1 , )(PbbX . )(1PaaX 第44頁(yè)/共59頁(yè) 46 )1)(, 0)(

32、 此公式把一般正態(tài)變量的概率轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算此公式把一般正態(tài)變量的概率轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算. , ),( 2 NX若若 )(P bXa PbXa )()(P a b bXa )(1P, )(P a aX a aX 第45頁(yè)/共59頁(yè) 47 例例2 2 解解 設(shè)設(shè))4 , 3( NX, ,求求: :( (1 1) )2P)2( ,53P XX. . 53P)1( X )0()1( .3413. 0 2P)2( X22P1 X ) 2 32 () 2 32 (1 )5 . 2()5 . 0(1 .6977. 0)5 . 0()5 . 2(1 2P1 X ) 2 33 () 2 35 (

33、 第46頁(yè)/共59頁(yè) 48 例例3 3 則則設(shè)設(shè), ),( 2 uNX P kX )()(kk ；6826. 01)1(2P X P kXk ，1)(2 k ；9544. 01)2(22P X .9974. 01)3(23P X 因因此此可可以以說(shuō)說(shuō)，若若),( 2 uNX，則則在在一一次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中， X幾幾乎乎總總是是落落在在)3,3( 之之中中。 3 此此即即：“原原則則” 第47頁(yè)/共59頁(yè) 49 x 2 2 3 3 68.26 % 95.44 % 99.74 % 第48頁(yè)/共59頁(yè) 50 例例4 4 設(shè)某批雞蛋每只的重量設(shè)某批雞蛋每只的重量X(以克計(jì)以克計(jì))服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布

34、 XN(50 25) (1)求從該批雞蛋中任取一只求從該批雞蛋中任取一只 其重量不足其重量不足45克的概率克的概率 (2)從該批雞蛋中任取一只從該批雞蛋中任取一只 其重量介于其重量介于40克到克到60克之間的概率克之間的概率 (3)若從該批雞蛋中任取五只若從該批雞蛋中任取五只 試求恰有試求恰有2只雞蛋不足只雞蛋不足45克的概率克的概率 (4)從該批雞蛋中任取一只其重量超過(guò)從該批雞蛋中任取一只其重量超過(guò)60克的概率克的概率 (5)求最小的求最小的n 使從中任選使從中任選n只雞蛋只雞蛋 其中至少有一只雞蛋的重量其中至少有一只雞蛋的重量 超過(guò)超過(guò)60克的概率大于克的概率大于0 99 解解 (1) )

35、 5 5045 ( )1(1 )1( ;1587. 08413. 01 45P X (2) 6040P X )2()2( ) 5 5040 () 5 5060 ( 1)2(2 2 0.9773 1 0.9546 ； 第49頁(yè)/共59頁(yè) 51 設(shè)設(shè)Y為為5只雞蛋中重量不足只雞蛋中重量不足45克的雞蛋數(shù)克的雞蛋數(shù) 則則 YB(5 0.1587) 故所求概率為故所求概率為 )25,50( NX (3) 2P Y;15. 0 322 5 )8413. 0()1587. 0(C (4)60P X)2(1 ;0228. 09772. 91 ) 5 5060 (1 第50頁(yè)/共59頁(yè) 52 設(shè)設(shè) Z 表示表

36、示n只雞蛋中重量大于只雞蛋中重量大于60克的雞蛋數(shù)克的雞蛋數(shù) 則則 ZB(n 0.0228) (5) 因?yàn)橐驗(yàn)?1P Z 欲使欲使 ,99. 01P Z 即即 ,11. 09772, 0 n 解得解得 .200 9772. 0ln 01. 0ln n 1P1 Z,)0228. 01(1 n 第51頁(yè)/共59頁(yè) 53 解解 例例5 5 若入學(xué)考試中各個(gè)考生的總分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布若入學(xué)考試中各個(gè)考生的總分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布 N(400,1002),共有共有2000人參加考試，假定只錄取前人參加考試，假定只錄取前300 名，求分?jǐn)?shù)線名，求分?jǐn)?shù)線a，使考生總分超過(guò)使考生總分超過(guò)a的概率等于升學(xué)率。的概率等于升學(xué)率。 設(shè)設(shè)X表示考試總分，表示考試總分， 則則 , )100,400( 2 NX ，要要求求 2000 300 P aX，即即85. 0 20 3 1P aX ，于于是是85. 0) 100 400 ( a ，查查表表得得04. 1 10