有限元及工程軟件解讀PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 有限元及工程軟件解讀有限元及工程軟件解讀 2 在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，對(duì)于許多力學(xué)問題和物理問題 滿足的基本方程：常微分方程或偏微分方程 定解條件 解析解很難獲得 簡化 數(shù)值解法 主要工具 第1頁/共56頁 3 第一類 以有限差分法為代表。直接求解基本方程和相應(yīng)定 解條件的近似解。有限差分法的求解步驟： l將求解域劃分為網(wǎng)格； l在網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)上用差分方程代替微分方程。 第二類 建立和原問題基本方程及相應(yīng)定解條件相等效的 積分提法，然后建立近似解法。包括：配點(diǎn)法，最小 二乘法，Galerkin法，力矩法等。里茲法屬于這一類 近似方法。 有限單元法是基于變分原理的里茲法的另一種形式 第2頁/共5

2、6頁 4 有限元方法是工程領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的一種數(shù) 值計(jì)算方法，它不但可以解決工程中的結(jié)構(gòu)分析問 題，而且已成功地解決了傳熱學(xué)、流體力學(xué)、電磁 學(xué)和聲學(xué)等領(lǐng)域的問題。 將有限元理論、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和優(yōu)化技術(shù)相結(jié) 合，開發(fā)出了一批有效的通用和專用有限元軟件， 它們以功能強(qiáng)大，用戶使用方便、技術(shù)結(jié)果可靠和 效率高而逐漸形成了新的技術(shù)產(chǎn)品，使用這些軟件 已成功地解決了大量的工程問題：機(jī)械、水工、土 建、橋梁等。 第3頁/共56頁 5 一、有限元的基本思想 有限元法是在連續(xù)體上直接進(jìn)行近似計(jì)算的一種數(shù)值方法。 有限元的物理解釋：把一個(gè)連續(xù)體分割成許多小 單元，單元之間在節(jié)點(diǎn)處以鉸鏈相連接，由單元組 成的

3、結(jié)構(gòu)近似代替原連續(xù)結(jié)構(gòu)。如果能合理求出各 單元的彈性特性，也就可以求出這個(gè)組合結(jié)構(gòu)的彈 性特性。這樣，結(jié)構(gòu)在一定的約束條件下，在給定 的載荷作用下，就可以求解各節(jié)點(diǎn)的位移，進(jìn)而求 解單元內(nèi)的應(yīng)力。 第4頁/共56頁 6 有限元的數(shù)學(xué)解釋：把求解區(qū)域分解成許多子域， 子域內(nèi)的位移可用各頂點(diǎn)的位移插值來表示。按原問 題的控制方程和約束條件，可以解出各節(jié)點(diǎn)的待定位 移，推廣到其他連續(xù)域問題，節(jié)點(diǎn)的未知量也可以是 壓力、溫度、速度等物理量。 二、有限元的發(fā)展概況 1943年Courant第一次嘗試應(yīng)用定義三角形區(qū) 域的分片連續(xù)函數(shù)和最小勢(shì)能原理求解圣維南扭轉(zhuǎn) 問題。 第5頁/共56頁 7 1956年T

4、urner、Clough等人在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí) 將剛架位移法推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)問題：他們第一次 給出了應(yīng)用三角形單元求平面應(yīng)力問題的正確解答， 他們的研究打開了利用計(jì)算機(jī)求解復(fù)雜問題的新局面。 1960年Clough將這種方法命名為有限元法。 19631964年，Besseling、Melosh和Jones 等人證明了有限元法是基于變分原理的里茲（Ritz） 法的另一種形式，從而使里茲分析的所有理論適用于 有限元法。利用變分原理建立有限元方程和經(jīng)典里茲 法的主要區(qū)別：有限元法假設(shè)的近似函數(shù)不是在全求 解域上規(guī)定的，而是在單元上規(guī)定的，而且事先不要 求滿足任何邊界條件，因此可以處理任何復(fù)雜問題。

5、第6頁/共56頁 8 20世紀(jì)6070年代，數(shù)學(xué)工作者對(duì)有限元的誤 差、解的收斂性和穩(wěn)定性等方面做了著有成效的工作。 彈性力學(xué)的平面問題 有限元法的應(yīng)用 空間問題、板殼問題 靜力平衡問題 穩(wěn)定問題、動(dòng)力問題 和波動(dòng)問題 分析對(duì)象 彈性材料 塑性、粘彈性、粘塑性 和復(fù)合材料 第7頁/共56頁 9 研究領(lǐng)域 固體力學(xué)流體力學(xué)、傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué) 工程分析 分析校核優(yōu)化設(shè)計(jì) 第8頁/共56頁 10 三、有限元分類 1、線彈性有限元法 線彈性有限元法以理想彈性體為研究對(duì)象，所 考慮的變形建立在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上，在這類問 題中，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為線性關(guān)系，滿足胡 克定律；應(yīng)變和位移也是線性關(guān)系。

6、線彈性有限元法歸結(jié)為求解線性方程組問題。 線彈性靜力分析和線彈性動(dòng)力分析 線彈性有限元 第9頁/共56頁 11 2、非線性有限元法 線彈性有限元問題和非線性有限元問題的區(qū)別： 非線性問題的方程是非線性的，需要迭代求解。 非線性問題不能采用疊加原理。 非線性問題不總有一致解，有時(shí)甚至沒解。 非線性有限元問題包括： 材料非線性問題； 幾何非線性問題； 非線性邊界（接觸問題）。 第10頁/共56頁 12 材料非線性問題 材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性關(guān)系，但應(yīng)變和位移 卻很微小，應(yīng)變和位移呈線性關(guān)系。 工程實(shí)際中的材料非線性問題主要包括：非線性 彈性、彈塑性、粘塑性及蠕變等。 幾何非線性問題 幾何非線性是

7、由于位移之間出現(xiàn)非線性關(guān)系引 起的。應(yīng)變和位移之間是非線性的。 這類問題包括：大位移大應(yīng)變（橡膠）和大位移 小應(yīng)變（彈性屈曲）。 非線性邊界（接觸問題） 第11頁/共56頁 13 四、有限元的分析過程 1、有限元的分析過程 前處理、分析和后處理。 前處理：將實(shí)際的連續(xù)體經(jīng)離散后建立有限元分 析模型。包括：構(gòu)造計(jì)算對(duì)象的幾何模型，劃分有限 元網(wǎng)格，生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)。 分析過程主要包括：單元分析、整體分析、載荷 移置、引入約束、求解約束方程等。 有限元分析方法包括三類： 有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。 第12頁/共56頁 14 有限元位移法：選節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。 有限元力法

8、：選節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量。 有限元混合法：基本未知量的部分為節(jié)點(diǎn)位移， 部分為節(jié)點(diǎn)力。 除板殼問題采用一定量的混合法外，全部采用 有限元位移法。 后處理：對(duì)計(jì)算結(jié)果的加工處理、編輯組織和 圖形表示。 第13頁/共56頁 15 五、有限元解的性質(zhì)和收斂性 1、有限元解的收斂性 有限單元法是里茲法的一種特殊形式，不同是有 限單元法的試探函數(shù)定義于單元（子域）。里茲法要 求試探函數(shù)具有完全性和連續(xù)性。 在有限單元法中，場(chǎng)函數(shù)的總體泛函是由單元泛 函集成的。如果采用完全多項(xiàng)式作為單元的插值函數(shù) （試探函數(shù)），則有限元解在一個(gè)有限尺寸的單元內(nèi) 可以精確地和真正解一致。但由于有限元的試探函數(shù) 只能取有限項(xiàng)

9、，因此只能得到近似解。有必要研究在 什么條件下，當(dāng)單元尺寸趨近零時(shí)，有限元解趨近真 正解。 第14頁/共56頁 16 以待求的標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)為例，微分方程為 0)()(bLA 相應(yīng)的泛函是 dbCC )()( 2 1 mp 假定泛函中包含 和它的直至m階的各階導(dǎo)數(shù)， 若m階導(dǎo)數(shù)非零，若取p次完全多項(xiàng)式為試探函數(shù)， 則必須滿足 以保證試探函數(shù)及其m階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式都包含 有常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)單元尺寸趨于零時(shí)在每一單元內(nèi)的試 探函數(shù)及其直至m階導(dǎo)數(shù)都趨于精確解。 第15頁/共56頁 17 收斂準(zhǔn)則 準(zhǔn)則1：完備性要求。如果出現(xiàn)在泛函中場(chǎng)函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元 內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的試探函數(shù)

10、至少是m階完全多項(xiàng)式，或者說 試探函數(shù)必須包括本身和直至m階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的項(xiàng)。 單元的試探函數(shù)滿足上述要求，稱單元是完備的。 準(zhǔn)則2：協(xié)調(diào)性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的最高導(dǎo)數(shù) 是m階，則試探函數(shù)在單元交界面上必須具有 連 續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上應(yīng)有連續(xù)函數(shù)直至 m1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 1m C 單元的插值函數(shù)滿足上述要求，稱單元是協(xié)調(diào)的。 第16頁/共56頁 18 2、選擇位移函數(shù)的一般原則 有限元的分析過程依賴于假定的單元位移函數(shù)或 位移模式。假定的位移場(chǎng)應(yīng)盡量逼近彈性體的真實(shí)位 移形態(tài)。單元的位移函數(shù)一般采用包含若干待定參 數(shù)的多項(xiàng)式，稱為位移多項(xiàng)式。 有限項(xiàng)多項(xiàng)式選取的原則： 待定參數(shù)是由

11、節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量確定的，因此待定參數(shù) 的個(gè)數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)一致。 第17頁/共56頁 19 對(duì)于應(yīng)變由位移的一階導(dǎo)數(shù)確定的場(chǎng)問題，選 取多項(xiàng)式時(shí)，常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須具備。位 移函數(shù)中常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)分別反映了單元?jiǎng)?體位移和常應(yīng)變。對(duì)于應(yīng)變由位移的二階導(dǎo)數(shù)確定 的問題，常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)和二次項(xiàng)必須具備。 多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量取完整性 階數(shù)高的多項(xiàng)式以提高單元精度（稱為單元的完備 性）。若由于項(xiàng)數(shù)限制不能選取完整多項(xiàng)式，選取 的多項(xiàng)式應(yīng)盡可能具有坐標(biāo)的對(duì)稱性（稱為幾何不 變性）。 第18頁/共56頁 20 單元內(nèi)位移函數(shù)必須連續(xù)。多項(xiàng)式是單值連續(xù)函 數(shù)，因此選擇多項(xiàng)式作為位移函

12、數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù) 性能夠保障。 在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。每個(gè)單 元的應(yīng)變狀態(tài)可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點(diǎn)位置的 常應(yīng)變和由各點(diǎn)位置決定的變量應(yīng)變。當(dāng)單元的尺寸 足夠小時(shí)，單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，常應(yīng)變成為 主要的應(yīng)變。 在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。單元 內(nèi)任一點(diǎn)的位移包括形變位移和剛體位移。 第19頁/共56頁 21 完備性條件 滿足完備性條件的單元完備單元 收斂的 必要條件 位移函數(shù)在相鄰單元的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。對(duì) 一般單元而言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處有 相同位移，而且沿單元邊界也有相同位移，以保證不 發(fā)生單元的相互脫離和侵入重疊。協(xié)調(diào)性保證了相鄰 單元邊

13、界位移的連續(xù)性。在板殼的相鄰單元間，還要 求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 協(xié)調(diào)性要求 滿足協(xié)調(diào)性要求的單元稱為協(xié)調(diào)單元 收斂的 充要條件 第20頁/共56頁 22 3、有限元位移解的下限性質(zhì) 在用有限元位移法求解彈性力學(xué)問題時(shí)，要應(yīng)用 到最小勢(shì)能原理。因此求得的位移近似解小于精確 解。這種位移近似解稱為下限解。 位移解的下限性質(zhì)可如下解釋：單元是連續(xù)體 的一部分，具有無限多個(gè)自由度。假定單元位移函 數(shù)后，自由度限制為只有以節(jié)點(diǎn)位移表示的有限自 由度，使單元的剛度加大了，因此連續(xù)體的整體剛 度加大了。 第21頁/共56頁 23 五、有限元通用軟件的介紹 1、通用有限元軟件的共同之處 功能強(qiáng)大。一般可進(jìn)行

14、多種物理場(chǎng)分析，如結(jié) 構(gòu)分析、溫度場(chǎng)分析、電磁場(chǎng)分析、流場(chǎng)分析、多 場(chǎng)耦合分析等。 具有豐富的材料庫?？梢蕴幚矶喾N材料，如金 屬、土壤、巖石、塑料、橡膠、木材、陶瓷、混 凝土、復(fù)合材料等。 第22頁/共56頁 24 具有多種自動(dòng)網(wǎng)格劃分技術(shù)，自動(dòng)進(jìn)行單元形態(tài)、 求解精度檢查及修正。 具有強(qiáng)大的后處理及圖象顯示功能。 具有與多種CAD系統(tǒng)直接的接口。 具有良好的用戶開發(fā)環(huán)境。 具有良好的培訓(xùn)和維護(hù)能力。 技術(shù)成熟、已推向市場(chǎng)多年，版本不斷更新。 第23頁/共56頁 25 2、著名的通用有限元軟件 ANASYS ADINA ALGOR MSC.NASTRAN MSC.MARC ABAQUS 第24

15、頁/共56頁 26 ABAQUS公司成立于1978年，總部位于美國羅德島 州博塔市，是世界知名的高級(jí)有限元分析軟件公司， 其主要業(yè)務(wù)為非線性有限元分析軟件ABAQUS的開發(fā)、 維護(hù)及售后服務(wù)。 ABAQUS軟件在技術(shù)、品質(zhì)以及可靠性等方面具有 非常卓越的聲譽(yù)，對(duì)于工程中各種線性和非線性問題， 無論簡單還是復(fù)雜，它都能夠提供完美的解決方案，并 不斷吸取最新的分析理論和計(jì)算機(jī)技術(shù)，領(lǐng)導(dǎo)著全世界 非線性有限元技術(shù)的發(fā)展。 ABAQUS軟件現(xiàn)已被全球工業(yè)界廣泛接受，并擁有 世界最大的非線性力學(xué)用戶群，是國際上最先進(jìn)的大型 通用非線性有限元分析軟件。 ABAQUS簡介 第25頁/共56頁 27 本課程的

16、主要內(nèi)容和安排： 講課內(nèi)容（36學(xué)時(shí)） 桿系結(jié)構(gòu) 平面問題的有限元法 空間問題的有限元法 空間軸對(duì)稱問題有限元法 板殼問題有限元法 結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題有限元法 溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力問題 非線性有限元問題 上機(jī)（18學(xué)時(shí)） 大型有限元程序的應(yīng)用 第26頁/共56頁 28 第一章 桿系結(jié)構(gòu) 第27頁/共56頁 29 第一節(jié) 概述 一維桿件：構(gòu)件一個(gè)方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于其他兩個(gè) 方向的幾何尺寸。 一維桿件分為：梁和桿。 梁：一維桿件受到任意力系的作用，既有作用于軸線 方向的拉力和壓力，也有作用于垂直軸線的剪力和彎 矩，這種桿件稱為梁，利用梁單元分析。 桿：一維桿件只有軸力作用，稱為拉壓桿；一維桿件 只作用扭矩，

17、這種桿稱為軸。拉壓桿和軸統(tǒng)稱為桿， 用桿單元分析。 剛架一般采用梁單元分析，桁架一般采用桿單元分析。 第28頁/共56頁 30 第二節(jié) 直梁 一、節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)載荷 T ii i i i f f 則任意節(jié)點(diǎn)i處的位移以列陣 變截面梁 計(jì)算模型 節(jié)點(diǎn)位移 正負(fù)規(guī)定： f 向上為正， 逆轉(zhuǎn)為正 第29頁/共56頁 31 節(jié)點(diǎn)載荷 T ii i i i MZ M Z Q 正負(fù)規(guī)定：Z向上為正，M逆轉(zhuǎn)為正 若梁受分布載荷作用，可近似為相當(dāng)載荷作用 在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。 第30頁/共56頁 32 二、單元的彈性特性單元的剛度矩陣 分析每個(gè)單元上的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。 T jjii e ff 單元的節(jié)

18、點(diǎn)位移 節(jié)點(diǎn)力 T jjii e mqmqp 單元在節(jié)點(diǎn)處所受到的力 剪力向上為正，彎矩逆轉(zhuǎn)為正 第31頁/共56頁 33 在彈性范圍內(nèi)，小變形情況下 j j i i j j i i f f aaaa aaaa aaaa aaaa m q m q 44434241 34333231 24232221 14131211 eee kp 單元?jiǎng)傟囍懈髟氐奈锢硪饬x： 表示當(dāng)l號(hào)節(jié)點(diǎn)的位移分量為1，其他位移分量 為零時(shí)，對(duì)應(yīng)m號(hào)節(jié)點(diǎn)力分量。 表示單元發(fā)出某種單位節(jié)點(diǎn)位移時(shí)所對(duì)應(yīng)的節(jié) 點(diǎn)力，反映出單元抵抗這種變形的能力。 單元的剛度矩陣 單元?jiǎng)傟?單元?jiǎng)傟囀菍?duì)稱的方陣。 ml a 第32頁/共56頁 3

19、4 另一種表示方法 4 3 2 1 44434241 34333231 24232221 14131211 4 3 2 1 u u u u aaaa aaaa aaaa aaaa s s s s u 位移分量 s 節(jié)點(diǎn)力分量 第33頁/共56頁 35 單元?jiǎng)傟嚨拇_定 已知：e單元長為l，彈性模量為E，截面慣性矩為J， 設(shè) . 0, 1 4321 uuuu 則梁單元變形如圖所示 由梁的變形公式 EJ ls EJ ls u 23 1 2 2 3 1 1 EJ ls EJ ls u 2 2 1 2 2 0 11 3 1 12 a l EJ s21 2 2 6 a l EJ s 第34頁/共56頁 3

20、6 由平衡方程有 31 3 3 12 a l EJ s 41 2 4 6 a l EJ s 22 22 3 4626 612612 2646 612612 llll ll llll ll l EJ k e 第35頁/共56頁 37 按節(jié)點(diǎn)來分組 節(jié)點(diǎn)力可表示為 e j ie p p p 節(jié)點(diǎn)位移表示為 e j ie 單元?jiǎng)偠染仃嚍?e jjji ijiie kk kk k e j i e jjji ijii e j i kk kk p p 單元?jiǎng)傟嚨淖泳仃?的物理意義： 當(dāng)j節(jié)點(diǎn)取兩組單位位移 ， 且其他節(jié)點(diǎn)位移皆為零時(shí)，對(duì)應(yīng)于i節(jié)點(diǎn)的兩組節(jié)點(diǎn)力。 01 jj f,10 jj f, e ij

21、k 第36頁/共56頁 38 三、單元的集合和剛度矩陣的疊加 每一個(gè)單元都有 e j i e jjji ijii e j i kk kk p p 1 2 1 1 2221 1211 1 2 1 kk kk p p 2 3 2 2 3332 2322 2 3 2 kk kk p p 3 4 3 3 4443 3433 3 4 3 kk kk p p 1 2 1 22 1 1 1 21 1 2 kkp 2 3 2 23 2 1 2 22 2 2 kkp 第37頁/共56頁 39 2 2 1 22 qqZ 2 2 1 22 mmM 2 2 1 22 ppQ 節(jié)點(diǎn)2所受外載荷節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力 第38頁/

22、共56頁 40 2 2 1 22 ppQ 1 2 1 22 1 1 1 21 1 2 kkp 2 3 2 23 2 1 2 22 2 2 kkp 2 2 2 1 2 3 2 232 2 22 1 221 1 212 kkkkQ)( 同理 4 3 343 3 33 2 332 2 323 kkkkQ)( 對(duì)于梁的兩端，節(jié)點(diǎn)載荷就等于該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力 2 1 121 1 11 1 11 kkpQ 4 3 443 3 43 3 44 kkpQ 第39頁/共56頁 41 4 3 2 1 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 1 22 2 22 1 21 1 12 1 11

23、 4 3 2 1 00 0 0 00 kk kkkk kkkk kk Q Q Q Q QK 整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣 321 kkkK 在進(jìn)行矩陣疊加時(shí)，單元?jiǎng)傟噾?yīng)擴(kuò)大為與總剛陣大 小一致，例： 0000 0000 00 00 1 22 1 21 1 12 1 11 1 kk kk k 梁劃分為m個(gè)單元 m e e kK 1 第40頁/共56頁 42 第三節(jié) 平面剛架 一、節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)載荷 第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移可表示為 T iiii vu 第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷列陣可表示為 T iiii MYXQ 每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有三個(gè)自由度，若有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，自由 度數(shù)為3n。 第41頁/共56頁 43 二、單元?jiǎng)傟?任意單元e，

24、 節(jié)點(diǎn)為i，j。 在局部坐標(biāo)系內(nèi) T jjjiii e ff 單元的節(jié)點(diǎn)位移 單元的節(jié)點(diǎn)力 T jjjiii e MqTMqTp 第42頁/共56頁 44 在小變形條件下，直桿的軸向變形只與軸向力 有關(guān)，彎曲變形與剪力和彎矩有關(guān)，可以分別建立 軸向變形和彎曲變形的單元?jiǎng)偠汝嚒?彎曲變形 j j i i e b j j i i f f k m q m q 上標(biāo)b表示彎曲變形 在彈性范圍內(nèi)，力與位移存在線性關(guān)系 軸向變形 第43頁/共56頁 45 j i e s j i k T T 其中 s jj s ji s ij s ii e s kk kk k 上標(biāo)s表示軸向變形 01 ji , l EA

25、kT s iii l EA kT s jij 同理 l EA k s ij l EA k s jj 第44頁/共56頁 46 11 11 l EA k e s j j i i e b j j i i f f k m q m q 又 j j j i i i j j j i i i f f l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EA l EA l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EA l EA m q T m q T 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 6

26、12 0 0000 22 2323 22 2323 第45頁/共56頁 47 eee kp e j i e jjji ijii e j i kk kk p p 按節(jié)點(diǎn)分塊表示為 式中 T iii e i mqTp T jjj e j mqTp T jjj e j f T iii e i f 單元的剛陣子塊 b ij s ije ij k k k 0 0 對(duì)局部坐標(biāo)的單元?jiǎng)傟?第46頁/共56頁 48 三、單元?jiǎng)傟嚨淖鴺?biāo)變換 得到在共同坐標(biāo)系內(nèi)的單元?jiǎng)傟?節(jié)點(diǎn)在統(tǒng)一坐標(biāo)系內(nèi)的位移 T iiii vu sincos iii vu cossin iii vuf i i i i i i v u f 100 0 0 cossin sincos 第47頁/共56頁 49 ii 局部坐標(biāo)系對(duì)統(tǒng)一坐標(biāo)系的方向余弦矩陣 一個(gè)單元的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位移變換關(guān)系為 e e e T 0 0 e T e單元的坐標(biāo)變換矩陣 e單元的節(jié)點(diǎn)力也存在相同的變換關(guān)系 e e e pTp 第48頁/