魅力無比的定理證明

1、魅力無比的 定理證明 勾股定理 的證明勾股定理 是 幾何學(xué) 中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的 數(shù)學(xué)家 ，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者， 有普通的老百姓，也有尊貴的 政要 權(quán)貴， 甚至有國家總統(tǒng)。 也許是因?yàn)?勾股定理 既重要又簡單， 更容易吸引人， 才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。 1940 年 出版過一本名為 畢達(dá)哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯，其中收集了 367 種不同的 證明方法 。 實(shí)際上還不止于此， 有資料表明， 關(guān)于勾股定理的 證明方法 已有 500 余種， 僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。 這是任何定理無法比擬的。在這數(shù)百

2、種 證明方法 中， 有的十分精彩， 有的十分簡潔， 有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說分別來源于中國和希臘。1 中國方法畫兩個(gè)邊長為 （a+b） 的正方形，如圖，其中 a、 b 為直角邊， c 為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形， 左右四個(gè)三角形面積之和必相等。 從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉， 圖形剩下部分的面積必相等。 左圖剩下兩個(gè)正方形， 分別以a、 b 為邊。右圖剩下以 c 為邊的正方形。于是a2+b2=c2。這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。2希臘方法直接在直角

3、三角形三邊上畫正方形，如圖。容易看出， ABA 9XAA C。過C向A B【垂線，交AB于C,交A于C ABA與正方形ACDA同底等高，前者面積為后者面積的一半， AA g矩形AA C C 同底等高，前者的面積也是后者的一半。由 ABA 9ANA ，知正方形 ACDA的面積等 于矩形AA C的面積。同理可彳#正方形BP EC的面積等于矩形 B BC的面積。S正方形 AA B佃彤 ACDA +S正方形BB EC即 a2+b2=c2 。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到（請讀者自己證明） 。這里只用到簡單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的 面積公式 。這就是希臘古代數(shù)學(xué) 家 歐

4、幾里得 在其 幾何原本 中的證法。以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀點(diǎn)： 全等形 的面積相等； 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全能夠接受的樸素觀點(diǎn)，任何人都能理解。我國歷 代數(shù)學(xué) 家關(guān)于勾股定理的 論證方法 有多種， 為勾股定理作的圖注也很多， 其中較早的是 趙爽 （即 趙君卿 ）在他附于 周髀算經(jīng) 之中的論文勾股圓方圖注中的證明。采用的是割補(bǔ)法：如圖， 將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色 ，把中間小正方形涂上黃色， 叫做中 黃實(shí) ，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過拼補(bǔ)搭配， “令出入相補(bǔ)，各從其類” ，他肯定了勾股弦三者的關(guān)

5、系是符合勾股定理的。即 “勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之，即弦也”。趙爽對勾 股定理的證明，顯示了我國 數(shù)學(xué)家 高超的證題思想，較為簡明、直觀。西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理， 給出了很多證明方法， 其中有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。據(jù)說當(dāng)他證明了勾股定理以后， 欣喜若狂 ，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為 “百牛定理” 。遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯 的證明方法早已失傳， 我們無從知道他的證法。下面介紹的是美國第二十任總統(tǒng)伽 菲爾德對勾 股定理的證明。如圖，S 梯形 ABCD= (a+b)2= (a2+2ab+b2) ， 又 S 梯形 ABCD=S AED+S EBC+S CE

6、D= ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 。 比較以上二式，便得a2+b2=c2。這個(gè)證明因?yàn)橛昧颂菪蚊娣e公式 和 三角形面積公式 ，從而使證明相當(dāng)簡潔。1876 年 4 月 1 日，伽 菲爾德 在 新英格蘭 教育日志上發(fā)表了他對勾 股定理的這個(gè)證明。 5年后，伽 菲爾德 就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這個(gè)證法稱為勾股定理的 “總統(tǒng) ”證法，這在數(shù)學(xué)史 上被傳為佳話。在學(xué)習(xí)了 相似三角形 以后， 我們知道在直角三角形中， 斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。如圖，RtAABC中，/ ACB=90 。作CD

7、 BC,垂足為 D。則 BCD s* BAC , CAD BAC。由 BCDA BAC 可彳B BC2=BD ? BA , 由 CAD s bac 可得 AC2=AD ? AB。 我們發(fā)現(xiàn)，把、兩式相加可得BC2+AC2=AB ( AD+BD ) ，而 AD+BD=AB ，所以有 BC2+AC2=AB2 ，這就是a2+b2=c2。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了 相似三角形 的知識。在對勾股定理為數(shù)眾多的證明中， 人們也會犯一些錯(cuò)誤。 如有人給出了如下證明勾股定理的方法：設(shè) ABC中，/ C=90 ,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，因?yàn)? C=90 ,所以cos

8、C=0。所以a2+b2=c2。這個(gè)證法， 看來準(zhǔn)確，而且簡單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯(cuò)誤。 原因是 余弦定理 的證明來自勾股定理。人們對勾股定理感興趣的原因還在于它能夠作推廣。歐幾里得 在他的 幾何原本 中給出了勾股定理的推廣定理： “直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和 ” 。從上面這個(gè)定理能夠推出下面的定理： “以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和 ” 。勾股定理還能夠推廣到空間： 以直角三角形的三邊為對應(yīng)棱作相似 多面體 ， 則斜邊上的 多面體 的表面積等于直角邊上兩個(gè) 多面體 表面積之和。若

9、以直角三角形的三邊為直徑分別作球， 則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球 表面積之和。如此等等?！?附錄 】1、 【 周髀算經(jīng) 簡介】 周髀算經(jīng) 算經(jīng)十書 之一。約成書于公元前二世紀(jì) ，原名周髀 ，它是我國最古老的 天文學(xué) 著作， 主要闡明當(dāng)時(shí)的 蓋天說 和 四分歷 法。 唐初規(guī)定它為 國子監(jiān)明算科 的教材之一， 故 改名 周髀算經(jīng) 。周髀算經(jīng) 在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應(yīng)用。原書沒有對勾股定理實(shí)行證明， 其證明是三國時(shí)東吳人趙爽 在 周髀注一書的勾股圓方圖注中給出的。周髀算經(jīng)使用了相當(dāng)繁復(fù)的分?jǐn)?shù)算法和 開平方 法。2、 【伽菲爾德證明勾股定理的故事】1876 年一

10、個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓 的郊外，有一位 中年人 正在散步，欣賞黃昏的美景， 他就是當(dāng)時(shí)美國 俄亥俄州共和黨議員 伽菲爾德。 他走著走著， 突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會神 地談?wù)撝裁矗?時(shí)而大聲爭論， 時(shí)而小聲探討。 因?yàn)楹闷嫘尿?qū)使， 伽菲爾德 循聲 向兩個(gè)小孩走去， 想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。 只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形。 于是伽菲爾德便問他們在干什么？那個(gè)小男孩頭也不抬地說： “請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為 3 和 4，那么斜邊長為多少呢？ ”伽菲爾德答道： “是 5 呀。 ”小男孩又問道： “如果兩條直角邊長分別為

11、 5和 7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長又是多少？ ”伽菲爾德 不假思索 地回答道： “那斜邊的平方一定等于 5 的平方加上7 的平方。 ”小男孩又說： “先生，你能說出其中的道理嗎？ ”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。于是， 伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。 他經(jīng)過反復(fù)思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。轉(zhuǎn)引自： http： / 中 “數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)”欄目。圖無法轉(zhuǎn)貼，請查看原魅力無比的定理證明 勾股定理的證明勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖， 其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者， 有普通的老

12、百姓，也有尊貴的 政要 權(quán)貴， 甚至有國家總統(tǒng)。 也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾唵危?更容易吸引人， 才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。 1940 年 出版過一本名為畢達(dá)哥拉 斯命題的勾股定理的證明專輯，其中收集了 367 種不同的證明方法。 實(shí)際上還不止于此， 有資料表明， 關(guān)于勾股定理的證明方法已有 500 余種， 僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳 就提供了二十多種精彩的證法。 這是任何定理無法 比擬的。在這數(shù)百種證明方法中， 有的十分精彩， 有的十分簡潔， 有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常 著名。首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說分別來源于中國和希臘。1 中國方法畫兩個(gè)邊長為（a+b）

13、 的正方形，如圖，其中a、 b 為直角邊， c 為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形， 左右四個(gè)三角形面積之和必相等。 從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉， 圖形剩下部分的面積必相等。 左圖剩下兩個(gè)正方形， 分別以a、 b 為邊。右圖剩下以 c 為邊的正方形。于是a2+b2=c2。這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。2希臘方法直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。容易看出， ABA 9XAA C。過C向A B【垂線，交AB于C,交A于C ABA與正方形ACDA同底等高，前者面積為后者面積的一半， AA g矩形AA C C

14、同底等高，前者的面積也是后者的一半。由 ABA 9ANA ，知正方形 ACDA的面積等 于矩形AA C的面積。同理可彳#正方形BP EC的面積等于矩形 B BC的面積。S正方形 AA B佃彤 ACDA +S正方形BB EC即 a2+b2=c2 。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到（請讀者自己證明） 。這里只用到簡單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的 面積公式 。這就是希臘古代數(shù)學(xué) 家 歐幾里得 在其 幾何原本 中的證法。以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀點(diǎn)： 全等形 的面積相等； 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。

15、這是完全能夠接受的樸素觀點(diǎn)，任何人都能理解。我國歷 代數(shù)學(xué) 家關(guān)于勾股定理的 論證方法 有多種， 為勾股定理作的圖注也很多， 其中較早的是趙爽（即 趙君卿 ）在他附于周髀算經(jīng)之中的論文勾股圓方圖注中的證明。采用的是割補(bǔ)法：如圖， 將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色 ，把中間小正方形涂上黃色， 叫做中 黃實(shí) ，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過拼補(bǔ)搭配， “令出入相補(bǔ)，各從其類” ，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即 “勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之，即弦也”。趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡明、直觀。西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理， 給出了很多證明方法， 其

16、中有文字記載的最早的證明是畢 達(dá)哥拉 斯給出的。據(jù)說當(dāng)他證明了勾股定理以后， 欣喜若狂 ，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為 “百牛定理 ” 。遺憾的是， 畢達(dá)哥拉 斯的證明方法早已失傳， 我們無從知道他的證法。下面介紹的是美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對勾股定理的證明。如圖，S 梯形 ABCD= (a+b)2= (a2+2ab+b2) ， 又 S 梯形 ABCD=S AED+S EBC+S CED= ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 。 比較以上二式，便得a2+b2=c2。這個(gè)證明因?yàn)橛昧颂菪蚊娣e公式和 三角形面積公式 ，從而使證明相當(dāng)簡潔。1876 年 4 月 1 日，伽菲爾德在新

17、英格蘭 教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這個(gè)證明。 5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這個(gè)證法稱為勾股定理的 “總統(tǒng) ”證法，這在數(shù)學(xué)史 上被傳為佳話。在學(xué)習(xí)了 相似三角形 以后， 我們知道在直角三角形中， 斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。如圖，RtAABC中，/ ACB=90 。作CD BC,垂足為 D。則 BCD s* BAC , CAD BAC。由 BCDA BAC 可彳B BC2=BD ? BA , 由 CAD s bac 可得 AC2=AD ? AB。 我們發(fā)現(xiàn)，把、兩式相加可得BC2+AC2=AB ( AD+BD ) ，而 AD+BD=AB ，所以有 BC2+AC2=AB2 ，這就是a2+b2=c2。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。在對勾股定理為數(shù)眾多的證明中， 人們也會犯一些錯(cuò)誤。 如有人給出了如下證明勾股定理的方法：設(shè) ABC中，/ C=90 ,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，因?yàn)? C=90 ,所以cosC=0。所以a2+b2=c2。這個(gè)證法， 看來準(zhǔn)確，而且簡單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯(cuò)誤。 原因是余弦定理的證明來自勾股定