采樣定理簡(jiǎn)介

1、一、采樣定理簡(jiǎn)介采樣定理，又稱香農(nóng)采樣定律、 奈奎斯特采樣定律，是信息論，特別是通訊與信號(hào)處理 學(xué)科中的一個(gè)重要基本結(jié)論 .E. T. Whittaker ( 1915年發(fā)表的統(tǒng)計(jì)理論)，克勞德香農(nóng) 與 Harry Nyquist 都對(duì)它作出了重要貢獻(xiàn)。另外， V. A. Kotel nikov也對(duì)這個(gè)定理做了重要貢獻(xiàn)。采樣是將一個(gè)信號(hào) (即時(shí)間或空間上的連續(xù)函數(shù))轉(zhuǎn)換成一個(gè)數(shù)值序列(即時(shí)間或空間上的離散函數(shù))。采樣得到的離散信號(hào)經(jīng)保持器后，得到的是階梯信號(hào)，即具有零階保持器的特性。如果信號(hào)是帶限的，并且采樣頻率高于信號(hào)最高頻率的一倍，那么，原來(lái)的連續(xù)信號(hào)可以從采樣樣本中完全重建出來(lái)。帶限信號(hào)

2、變換的快慢受到它的最高頻率分量的限制， 也就是說(shuō)它的離散時(shí)刻采樣表現(xiàn)信號(hào)細(xì)節(jié)的能力是非常有限的。采樣定理是指，如果信號(hào)帶寬小于奈奎斯特頻率(即采樣頻率的二分之一)，那么此時(shí)這些離散的采樣點(diǎn)能夠完全表示 原信號(hào)。高于或處于奈奎斯特頻率的頻率分量會(huì)導(dǎo)致混疊現(xiàn)象。大多數(shù)應(yīng)用都要求避免混疊，混疊問(wèn)題的嚴(yán)重程度與這些混疊頻率分量的相對(duì)強(qiáng)度有關(guān)。采樣過(guò)程所應(yīng)遵循的規(guī)律，又稱取樣定理、抽樣定理。采樣定理說(shuō)明采樣頻率與信號(hào)頻譜之間的關(guān)系，是連續(xù)信號(hào)離散化的基本依據(jù)。采樣定理是1928年由美國(guó)電信工程師 H.奈奎斯特首先提出來(lái)的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1933年由蘇聯(lián)工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴(yán)格地表述這

3、一定理，因此在蘇聯(lián)文獻(xiàn)中稱為科捷利尼科夫采樣定理。1948年信息論的創(chuàng)始人.香農(nóng)對(duì)這一定理加以明確地說(shuō)明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又 稱為香農(nóng)采樣定理。采樣定理有許多表述形式，但最基本的表述方式是時(shí)域采樣定理和頻域 采樣定理。采樣定理在數(shù)字式遙測(cè)系統(tǒng)、時(shí)分制遙測(cè)系統(tǒng)、信息處理、數(shù)字通信和采樣控制理論等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。時(shí)域采樣定理頻帶為F的連續(xù)信號(hào)f(t)可用一系列離散的采樣值f(t1),f(t1 A t) , f(t1 2At),.來(lái)表示，只要這些采樣點(diǎn)的時(shí)間間隔 t W 1/2F，便可根據(jù)各采樣值完全恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)f(t)。時(shí)域采樣定理的另一種表述方式是：當(dāng)時(shí)間信號(hào)函數(shù)f(t)

4、的最高頻率分量為fM時(shí),f(t)的值可由一系列采樣間隔小于或等于1/2fM的采樣值來(lái)確定，即采樣點(diǎn)的重復(fù)頻率 f 2fM。時(shí)域采樣定理是采樣誤差理論、隨機(jī)變量采樣理 論和多變量采樣理論的基礎(chǔ)。頻域采樣定理 對(duì)于時(shí)間上受限制的連續(xù)信號(hào) f(t)(即當(dāng)|t | T時(shí),f(t)=0, 這里 T=T2-T1是信號(hào)的持續(xù)時(shí)間)， 若其頻譜為F(3),則可在頻域上用一系列離散的采樣值來(lái) 表示，只要這些采樣點(diǎn)的頻率間隔 w = n / tm 。二、采樣簡(jiǎn)介從信號(hào)處理的角度來(lái)看，此采樣定理描述了兩個(gè)過(guò)程：其一是采樣，這一過(guò)程將連續(xù) 時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)；其二是信號(hào)的重建，這一過(guò)程離散信號(hào)還原成連續(xù)信號(hào)。

5、連續(xù)信號(hào)在時(shí)間（或空間）上以某種方式變化著，而采樣過(guò)程則是在時(shí)間（或空間） 上，以T為單位間隔來(lái)測(cè)量連續(xù)信號(hào)的值。T稱為采樣間隔。在實(shí)際中，如果信號(hào)是時(shí)間的函數(shù)，通常他們的采樣間隔都很小，一般在毫秒、微秒的量級(jí)。采樣過(guò)程產(chǎn)生一系列的數(shù)字，稱為樣本。樣本代表了原來(lái)地信號(hào)。每一個(gè)樣本都對(duì)應(yīng)著測(cè)量這一樣本的特定時(shí)間點(diǎn)，而采樣間隔的倒數(shù)，1/T即為采樣頻率，fs，其單位為樣本/秒，即赫茲。信號(hào)的重建是對(duì)樣本進(jìn)行插值的過(guò)程，即，從離散的樣本xn中，用數(shù)學(xué)的方法確定連續(xù)信號(hào)x（t）。三、對(duì)采樣定理的分析從采樣定理中，我們可以得出以下結(jié)論：如果已知信號(hào)的最高頻率 fH，采樣定理給出了保證完全重建信號(hào)的最低采

6、樣頻率。這 一最低采樣頻率稱為臨界頻率或奈奎斯特采樣率，通常表示為fN。相反，如果已知采樣頻率，采樣定理給出了保證完全重建信號(hào)所允許的最高信號(hào)頻率。以上兩種情況都說(shuō)明，被采樣的信號(hào)必須是帶限的，即信號(hào)中高于某一給定值的頻率 成分必須是零，或至少非常接近于零，這樣在重建信號(hào)中這些頻率成分的影響可忽略不計(jì)。 在第一種情況下，被采樣信號(hào)的頻率成分已知，比如聲音信號(hào)，由人類發(fā)出的聲音信號(hào)中， 頻率超過(guò)5 kHz的成分通常非常小，因此以 10 kHz的頻率來(lái)采樣這樣的音頻信號(hào)就足夠了。 在第二種情況下，我們得假設(shè)信號(hào)中頻率高于采樣頻率一半的頻率成分可忽略不計(jì)。這通常是用一個(gè)低通濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)的。（一）混疊

7、如果不能滿足上述采樣條件，采樣后信號(hào)的頻率就會(huì)重疊，即高于采樣頻率一半的頻 率成分將被重建成低于采樣頻率一半的信號(hào)。這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真稱為混疊，而重建出來(lái)的信號(hào)稱為原信號(hào)的混疊替身，因?yàn)檫@兩個(gè)信號(hào)有同樣的樣本值。一個(gè)頻率正好是采樣頻率一半的弦波信號(hào)，通常會(huì)混疊成另一相同頻率的波弦信號(hào)， 但它的相位和幅度改變了。以下兩種措施可避免混疊的發(fā)生：1. 提高采樣頻率，使之達(dá)到最高信號(hào)頻率的兩倍以上；2. 引入低通濾波器或提高低通濾波器的參數(shù)；該低通濾波器通常稱為抗混疊濾波器抗混疊濾波器可限制信號(hào)的帶寬，使之滿足采樣定理的條件。從理論上來(lái)說(shuō)，這是可 行的，但是在實(shí)際情況中是不可能做到的。因?yàn)闉V波器

8、不可能完全濾除奈奎斯特頻率之上的信號(hào)，所以，采樣定理要求的帶寬之外總有一些“小的”能量。不過(guò)抗混疊濾波器可使這些能量足夠小，以至可忽略不計(jì)。（二）減采樣當(dāng)一個(gè)信號(hào)被減采樣時(shí)，必須滿足采樣定理以避免混疊。為了滿足采樣定理的要求， 信號(hào)在進(jìn)行減采樣操作前，必須通過(guò)一個(gè)具有適當(dāng)截止頻率的低通濾波器。這個(gè)用于避免混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。為了不失真地恢復(fù)模擬信號(hào)，采樣頻率應(yīng)該不小于模擬信號(hào)頻譜中最高頻率的2倍，即Fs2Fmax采樣率越高，稍后恢復(fù)出的波形就越接近原信號(hào)，但是對(duì)系統(tǒng)的要求就更高，轉(zhuǎn)換電路必須具有更快的轉(zhuǎn)換速度。（三）重構(gòu)原信號(hào)任何信號(hào)都可以看做是不同頻率的正弦（余弦）信號(hào)的疊加

9、，因此如果知道所有組成 這一信號(hào)的正（余弦）信號(hào)的幅值、頻率和相角，就可以重構(gòu)原信號(hào)。由于信號(hào)測(cè)量、分解 及時(shí)頻變換的過(guò)程中存在誤差，因此不能100%地重構(gòu)原信號(hào)，重構(gòu)的信號(hào)只能保證原信號(hào)誤差在容許范圍內(nèi)。四、帶通采樣定理抽樣定理指出，由樣值序列無(wú)失真恢復(fù)原信號(hào)的條件是f S2 f h，為了滿足抽樣定理，要求模擬信號(hào)的頻譜限制在0f h之內(nèi)（fh為模擬信號(hào)的最高頻率）。為此，在抽樣之前，先設(shè)置一個(gè)前置低通濾波器，將模擬信號(hào)的帶寬限制在fh以下，如果前置低通濾波器特性不良或者抽樣頻率過(guò)低都會(huì)產(chǎn)生折疊噪聲。例如，話音信號(hào)的最高頻率限制在3400H Z,這時(shí)滿足抽樣定理的最低的抽樣頻率應(yīng)為fS=68

10、00HZ,為了留有一定的防衛(wèi)帶，CCITT規(guī)定話音信號(hào)的抽樣率 fS=8000HZ,這樣就留出了 8000-6800=1200HZ作為濾波器的防衛(wèi)帶。 應(yīng)當(dāng)指出，抽樣頻率fS不是越高越好，太高時(shí)， 將會(huì)降低信道的利用率（因?yàn)殡S著fS升高，數(shù)據(jù)傳輸速率也增大，則數(shù)字信號(hào)的帶寬變寬，導(dǎo)致信道利用率降低。）所以只要能滿足fS 2f h,并有一定頻帶的防衛(wèi)帶即可。以上討論的抽樣定理實(shí)際上是對(duì)低通信號(hào)的情況而言的，設(shè)模擬信號(hào)的頻率范圍為f0fh，帶寬B=fh - f0. 如果f0B，則稱之為帶通信號(hào)，載波 12路群信號(hào)（頻率范圍為 60108KHZ）就屬于帶通 型信號(hào)。對(duì)于低通型信號(hào)來(lái)講，應(yīng)滿足fS 2fh的條件，而對(duì)于帶通型信號(hào)，如果仍然按照這個(gè)抽樣，雖然能滿足樣值頻譜不產(chǎn)生重疊的要求，但是無(wú)疑fS太高了（因?yàn)閹ㄐ盘?hào)的 fh高），將降低信道頻寬的利用率，這是不可取的。設(shè)f（t）頻帶為（fi , fh），仍按f s=2f h抽樣，頻譜圖中有很多空隙，那么是否可降低抽樣 頻率呢經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)帶通信號(hào)的最高頻率fh如果是其帶寬的整數(shù)倍的話，例如fh=2B,當(dāng)抽樣頻率fs=2（fh fl ）=2 B時(shí)，其頻譜并不發(fā)生混疊。如果最高頻率fh不是信號(hào)帶寬B的整數(shù)倍，即：fh=KB其中