新高等數(shù)學(xué)定PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 新高等數(shù)學(xué)定新高等數(shù)學(xué)定 高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-18 第1頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-19 第2頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-20 第3頁/共82頁 定義定義 1 1.11.11 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)( (或正數(shù)或正數(shù)X),), 使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 0 0 x x ( (或或xX) ) 的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值( )f x都滿足不等式都滿足不等式 ( )f x, , 則則稱函數(shù)稱函數(shù)( )f x是是當(dāng)當(dāng)

2、 0 xx( (或或x) )時(shí)時(shí)的的無窮無窮 小小, ,記作記作 0 lim( ) 0 (lim( ) 0).f xf x xxx 或 也可記為也可記為 0 ( )0 ()( )0().f xxxf xx或 第4頁/共82頁 2. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 證證,)(lim 0 Axf xx 設(shè)設(shè)Axfx )()( 令令 , 0)(lim 0 x xx 則有則有 ).()(xAxf 定理定理1 1 Axf xx )(lim 0 .)( 0時(shí)的無窮小 時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx ),()(xAxf , 0 , 0 ,|0 0 xx當(dāng)當(dāng)恒有恒有 |)(|Axf 也即也即

3、| )(|x 無窮小與無窮大無窮小與無窮大 第5頁/共82頁 ),()(xAxf 設(shè)設(shè) ,是常數(shù)是常數(shù)其中其中A ,)( 0時(shí)的無窮小 時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)xxx Axf xx )(lim 0 .)( 0時(shí)的無窮小 時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx ),()(xAxf 于于 是是 | )(|)(|xAxf , 0 , 0 ,|0 0 xx當(dāng)當(dāng)恒有恒有 | )(|x 即即 .|)(| Axf.)(lim 0 Axf xx 類似可證明類似可證明 的情的情 形形. x 定理定理1 1 無窮小與無窮大無窮小與無窮大 第6頁/共82頁 意義意義 （1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊

4、極限 問題問題(無窮小無窮小); 0 2( ) ( ),( ). f xx f xAx （）給出了函數(shù)在附近的近似表達(dá) 式誤差為 3、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)、無窮小的運(yùn)算性質(zhì): 定理定理1.2 在同一過程中在同一過程中,有限個(gè)無窮小有限個(gè)無窮小 的代數(shù)和仍是無窮小的代數(shù)和仍是無窮小. 注意注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小 . . 1 ,n n 例 如時(shí)是 無 窮 小 ， 1 1.n n 但 個(gè) 之和為 不是無窮小 第7頁/共82頁 定理定理1.3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮

5、小的乘積是無窮小. 推論推論2 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小 . 211 ,0,sin,a rc ta nxxx xx 例 如 當(dāng)時(shí) 都是無窮小都是無窮小 第8頁/共82頁 x x x sin lim 高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-23 解： sin1 limlimsin xx x x xx 1 sinsin1) x x xx 又當(dāng)時(shí)，為無窮小量， 為有界變量(, sin lim0 x x x 第9頁/共82頁 定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M( (不論它多不論它多 么大么大),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)( (或正數(shù)或正數(shù)X),

6、),使得對(duì)于適合使得對(duì)于適合 不等式不等式 0 0 xx ( (或或 x X ) )的一切的一切 x , ,對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 的函數(shù)值的函數(shù)值 ( )f x 總滿足不等式總滿足不等式 ( )f xM , , 則稱函數(shù)則稱函數(shù) ( )f x 當(dāng)當(dāng) 0 xx ( (或或x ) )時(shí)為無窮大時(shí)為無窮大, , 記作記作 0 lim( )(lim( ). xxx f xf x 或 絕對(duì)值無限增大的變量稱為絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大無窮大. 第10頁/共82頁 特殊情形特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大：正無窮大，負(fù)無窮大 00 lim( )(lim( ) ()() f xf x xxxx xx 或 注意注意 （1

7、）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆; （3）無窮大是一種特殊的無界變量）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無 界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大. 0 2lim( ).f x xx （）切勿將認(rèn)為極限存在 0 0 :lim( ), ( ). f xxx xx yf x 若則稱直線 是曲線的一條鉛直漸近線 定義 第11頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-29 第12頁/共82頁 lim( )f xAlim( )g xB (1)lim ( )( ) lim( )lim ( ) f xg x f xg xAB 二、極限運(yùn)算法則 第13頁/共82頁

8、 (2)lim ( )( ) lim( ) lim ( ) f xg x f xg xA B ( )lim( ) (3)lim(0) ( )lim ( ) f xf xA B g xg xB lim( )lim( )Cf xCf x lim ( )lim( ) nn f xf x 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-05 第14頁/共82頁 3 2 2 1 lim 53 x x xx 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-06 解：原式= 3 2 2 2 lim(1) lim(53) x x x xx 7 3 3 2 21 25 23 第15頁/共82頁 2 2 1 34 lim 54 x

9、xx xx 解： 原式= 2 1 2 1 lim(34) lim(54) x x xx xx 5 3 0 0 解：原式= 1 (1)(4) lim (1)(4) x xx xx 1 4 lim 4 x x x 第16頁/共82頁 5 12 lim 5 x x x 解： 原式= 5 (12)(12) lim (5)(12) x xx xx 5 1 lim 12 x x 5 1 4 lim (5)(12) x x xx （要先變形） 1 4 第17頁/共82頁 2 lim() x xxx 解：原式= 2 limlim xx xxx 解： 原式= 22 2 ()() lim () x xxxxxx

10、xxx 22 2 lim x xxx xxx 2 lim x x xxx 1 lim 1 11 x x 1 2 (分子有理化) 第18頁/共82頁 2 2 3 lim 235 x xx xx 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-07 2 1 3 lim 35 2 x x xx 解： 原式= 2 1 lim(3) 35 lim(2) x x x xx 3 2 第19頁/共82頁 2 32 321 lim 25 x xx xx 23 3 321 lim 15 2 x xxx xx 解： 原式= 23 3 321 lim() 15 lim(2) x x xxx xx 0 2 0 第20頁/共82頁

11、 32 2 25 lim 321 x xx xx 3 23 15 2 lim 321 x xx xxx 解： 原式= （不存在） 第21頁/共82頁 1 110 1 110 lim 0, , (0,0) , mm mm nn nn m mn n x a xaxa xa b xbxb xb mn a mnab b mn 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-08 第22頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-09 0 0 第23頁/共82頁 例例 ). 21 (lim 222 n n nn n 求求 解解是無限多個(gè)無窮小之和是無限多個(gè)無窮小之和時(shí)時(shí), n 2222 21 lim) 2

12、1 (lim n n n n nn nn 2 )1( 2 1 lim n nn n ) 1 1( 2 1 lim n n . 2 1 先變形再求極限先變形再求極限. 第24頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-09 0 sin (1)lim1 x x x 1 (2)lim(1) x x e x 第25頁/共82頁 0 sin (1)lim1 x x x 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-10 第26頁/共82頁 )()()(xhxfxg Axg xx )(lim 0 Axh xx )(lim 0 Axf xx )(lim 0 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-12 第27

13、頁/共82頁 例例1 1). 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn n 求求 解解 , 1 1 1 1 2222 n n nnnnn n n nn n nn 1 1 1 limlim 2 又又 , 1 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n nn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得 . 1) 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn n 第28頁/共82頁 A C (1) 1 sin lim 0 x x x ) 2 0(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓 ,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有 x o B D .ACO ，得，得作單位圓的切線

14、作單位圓的切線 ,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 第29頁/共82頁 ,tansinxxx , 1 sin cos x x x即即 .0 2 也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 x, 2 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 01 cosx 2 sin2 2 x 2 ) 2 (2 x , 2 2 x , 0 2 lim 2 0 x x , 0)cos1(lim 0 x x , 1coslim 0 x x , 11lim 0 x 又又. 1 sin lim 0 x x x 第30頁/共82頁 . tan lim 0 x x x 解解: x x x tan lim 0 0 sin1 lim co

15、s x x xx x x x sin lim 0 x xcos 1 lim 0 1 例例2. 求. arcsin lim 0 x x x 解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此 原式 t t tsin lim 0 1 lim 0 t t tsin 1 第31頁/共82頁 例例3 3. cos1 lim 2 0 x x x 求求 解解 2 2 0 2 sin2 lim x x x 原式原式 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 x x x 2 0 ) 2 2 sin (lim 2 1 x x x 2 1 2 1 . 2 1 第32頁/共82頁 練習(xí)練習(xí) 3 0 tan

16、sin lim. x xx x 求 解解 3 0 sin (1 cos ) lim cos x xx xx 原式 0 sin lim x x x 11 1 21 1 2 2 0 1 cos lim x x x 0 1 lim cos x x 第33頁/共82頁 1 (2)lim(1) x x e x 1 (1) x x 1 0 1 lim(1) lim(1) x x xx exe x 或 或 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-15 第34頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-16 x 1 x 2 x 3 x 1 n x n x 2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 滿足條件滿足條件如

17、果數(shù)列如果數(shù)列 n x , 121 nn xxxx單調(diào)增加單調(diào)增加 , 121 nn xxxx 單調(diào)減少單調(diào)減少 單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 幾何解釋幾何解釋: AM 第35頁/共82頁 例例4 4 .) 1 1(lim x x x 求求 解解 x x x ) 1 1( 1 lim 1 ) 1 1(lim x x x 原原式式 . 1 e 例例5 5.) 2 3 (lim 2x x x x 求求 解解原式 . 2 e 2 24 11 lim(1) lim(1) 22 x xx xx 2 1 lim(1) 2 x x x = 2(2) 4 1 lim(1). 2 x x x = (或)原式 2 1 lim

18、(1) 2 x x x = 2 2 2 1 lim(1) 2 x x x x x = . 2 e 第36頁/共82頁 1 sin lim) 1 ( 0 e ) 1 1(lim) 2 (或 e 1 )1(lim 0 注注: 代表相同的表達(dá)式 推廣：推廣： 第37頁/共82頁 1 6.lim 1 x x x x 解： 原式 sec /2 7. lim(1 2cos ) x x x 解： 原式 2 lim 1 1 x x x 2 1 1 2 2 lim1 1 x x x x x 2 e 1 cos /2 lim (1 2cos ) x x x 2 e 2 1 2cos /2 lim (1 2cos

19、) x x x 第38頁/共82頁 lim0 limC lim1 三、無窮小量的階三、無窮小量的階 第39頁/共82頁 . , 0, 0lim)4( 無窮小無窮小 階的階的的的是是就說就說如果如果kkC k ，0 3 lim 2 0 x x x ，1 sin lim 0 x x x ;30 2 高階的無窮小高階的無窮小是比是比時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxx ).0()3( 2 xxox即即 是等價(jià)無窮小是等價(jià)無窮小與與時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxxsin0 ).0(sinxxx即即 例如，例如， 第40頁/共82頁 22 2 sin (0)tan (0) sin(0)arcsin (0) arctan (0) ln(

20、1) (0) 1 1cos(0)1(0) 2 x xx xxxx xxxxx x xx xxxx xxxexx 第41頁/共82頁 定理定理( (等價(jià)無窮小代換定理等價(jià)無窮小代換定理) ) ,lim,limlim. 設(shè)且存在 則 證證 lim )lim( limlimlim .lim 第42頁/共82頁 解 當(dāng)x0時(shí) tan 2x2x sin 5x5x 所以 解 當(dāng)x0時(shí)sinxx 無窮小x33x與它本身顯然是 等價(jià)的 所以 若 且 lim存在 則 limlim 例7 例例 求 x x x5sin 2tan lim 0 x x x5sin 2tan lim 05 2 5 2 lim 0 x x

21、 x 例8 例例 求 xx x x3 sin lim 3 0 x x x5sin 2tan lim 05 2 5 2 lim 0 x x xx x x5sin 2tan lim 05 2 5 2 lim 0 x x x 3 1 3 1 lim 3 lim 3 sin lim 2 0 2 0 3 0 xx x xx x xxx 3 lim 0 3 x x xx 2 0 1 lim 3 x x 1 3 第43頁/共82頁 練習(xí)練習(xí). 2sin sintan lim 3 0 x xx x 求求 解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 3 0 )2( lim x xx x 原式原式. 0 解解

22、,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )cos1(tansintanxxxx , 2 1 3 x ,22sinxx 3 3 0 )2( 2 1 lim x x x 原式原式. 16 1 錯(cuò)錯(cuò) 第44頁/共82頁 小小 結(jié)結(jié) 0 sin0 1.lim1 0 x x x 為型不定式，使用時(shí) 注意條件是否成立。 1 2.lim 11 1 x x e x 為型不定式，使用時(shí)需 對(duì)表達(dá)式進(jìn)行變形，首先將指數(shù)變?yōu)榈讛?shù) 里面 后面所有項(xiàng)的倒數(shù)，再乘以一個(gè)代數(shù) 式以使指數(shù)不變。 第45頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-30 第46頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-31 第47頁/共82頁 x0

23、 第48頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-33 第49頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-34 第50頁/共82頁 00 00 limlim ()()0 xx yf xxf x ,0 0 xxx 就是就是 ).()(0 0 xfxfy 就是就是 , 0 xxx 設(shè)設(shè) ),()( 0 xfxfy 第51頁/共82頁 0 0 lim( )() xx f xf x 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-36 第52頁/共82頁 0 lim( ) xx f x 0 0 lim( )() xx f xf x 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-37 第53頁/共82頁

24、 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-38 第54頁/共82頁 )0()()(lim 00 0 xfxfxf xx )0()()(lim 00 0 xfxfxf xx )() 0() 0()()(lim 0000 0 xfxfxfxfxf xx 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-39 第55頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-40 第56頁/共82頁 例例 1 1 . 0 , 0, 0 , 0, 1 sin )( 處處連連續(xù)續(xù) 在在試試證證函函數(shù)數(shù) x x x x x xf 證證 0 1 lim sin0, x x x 又(0)0,f 由定義知由定義知 .0)(處連續(xù)處連

25、續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf 0 lim( )(0), x f xf 第57頁/共82頁 例例2 2.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy 證證),( x任取任取 xxxysin)sin( ) 2 cos( 2 sin2 x x x , 1) 2 cos( x x. 2 sin2 x y 則則 ,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)任意的對(duì)任意的 ,sin 有有 , 2 sin2x x y 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy 第58頁/共82頁 :)( 0 條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf ;)()1

26、( 0處有定義 處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf ;)(lim)2( 0 存在存在xf xx ).()(lim)3( 0 0 xfxf xx ).()( ),()( , 00 或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn) 為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù) 則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只 xf xxxf 第59頁/共82頁 )(lim 0 xf xx )()(lim 0 0 xfxf xx 第60頁/共82頁 1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .)( )(),()(lim ,)( 0 00 0 0 的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱

27、點(diǎn) 處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但 處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果 xfx xxfxfAxf xxf xx 例例1 1 .1 , 1,1 1 , 10 , 1 ,2 )( 處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在 討論函數(shù)討論函數(shù) x xx x xx xf ox y 1 1 2 xy 1 xy2 解解 , 1)1( f 11 lim( )lim22, xx f xx 11 lim( )lim(1)2, xx f xx 2)(lim 1 xf x ),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x 第61頁/共82頁 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間 斷處函數(shù)的定

28、義斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). 如例如例1中中, 2)1( f令令 .1 , 1,1 , 10,2 )( 處連續(xù)處連續(xù)在在 則則 x xx xx xf ox y 1 1 2 第62頁/共82頁 2.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) 00 0 0 ( ), ,lim( )lim( ), ( ). xxxx f xx f xf xx f x 如果在點(diǎn)處左 右極限都 存在 但則稱點(diǎn) 為函數(shù) 的跳躍間斷點(diǎn) 例例2 2 .0 , 0,1 , 0, )(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) x xx xx xf 解解 00 lim( )lim()0, xx f xx 00 lim( )

29、lim(1)1, xx f xx 00 lim( )lim( ), xx f xf x .0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) x ox y 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). 特點(diǎn)特點(diǎn) . 0處的左、右極限都存在 處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x 第63頁/共82頁 3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn) .)( , )( 0 0 的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn) 為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存 處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果 xf x xxf 例例3 3.0 , 0, , 0, 1 )(處的連續(xù)性處的連續(xù)性

30、在在討論函數(shù)討論函數(shù) x xx x x xf 解解 o x y 00 lim( )lim0, xx f xx 00 1 lim( )lim, xx f x x .1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x .斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間 第64頁/共82頁 例例4 4.0 1 sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) x x xf 解解 x y 1 sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x . 1 sinlim 0 不存在不存在且且 x x .0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x .斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間 第65頁/共82頁 可去型可去型 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn) o y x 跳躍型跳躍型 無窮型無窮型振蕩型振蕩型 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn) o y x 0 x o y x 0 x o y x 0 x 第66頁/共82頁 高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-43 第67頁/共82頁 )()( )(lim)(lim 00