哈工大斷裂力學(xué)講義(第二章)PPT優(yōu)秀課件

1、1 第二章第二章 應(yīng)力強度因子的計算應(yīng)力強度因子的計算 2 計算 值的幾種方法 K 1.數(shù)學(xué)分析法:復(fù)變函數(shù)法、積分變換； 2.近似計算法：邊界配置法、有限元法； 3.實驗標(biāo)定法：柔度標(biāo)定法； 4.實驗應(yīng)力分析法：光彈性法. 3 2-1 2-1 三種基本裂紋應(yīng)力強度因子的計算三種基本裂紋應(yīng)力強度因子的計算 一一. .無限大板無限大板型裂紋應(yīng)力強度因子的計算型裂紋應(yīng)力強度因子的計算 0 lim2KZ 計算 的基本公式 K 1.在“無限大”平板中具有長度為 的穿透板厚的裂 紋表面上,距離 處各作用一對集中力P P 2a xb ReIm x ZyZ ReIm y ZyZ Re xy yZ 選取復(fù)變解

2、析函數(shù)： 22 22 2 () pz ab Z zb 4 邊界條件：邊界條件： ,0 xyxy z ,za 除去 處裂紋為自由 表面上 zb 0,0 yxy 如切出 坐標(biāo)系內(nèi)的第一象限的 薄平板，在 軸所在截面上內(nèi)力 總和為P P xy x 以新坐標(biāo)表示 22 22 2 () ()(2 ) paab Z aba 220 2 lim2( ) () p a KZ ab 5 2.在無限大平板中,具有長度為 的穿透板厚的裂紋表 面上,在距離 的范圍內(nèi)受均布載荷q作用 2a 1 xa 利用疊加原理 集中力 qdx 22 2 () q a dKdx ax 220 2 () a q a Kdx ax 令 2

3、2 coscosxaaxacosdxad 6 1 1 1 sin() 1 0 cos 22sin () cos a a a a aaa Kqdq a 當(dāng)整個表面受均布載荷時 1 2sin ( ) a a a Kqqa 3.受二向均布拉力作用的無限大平板,在 軸上有一系列 長度為 ,間距為 的裂紋 x 2a2b 單個裂紋時 22 z Z za 7 邊界條件邊界條件是周期的: , yx z 0,22yaxaabxab 0,0 yxy 22 sin 2 (sin)(sin) 22 z b Z za bb 8 采用新坐標(biāo): za 22 sin() 2 () (sin)(sin) 22 a b Z aa

4、 bb 當(dāng) 時， 0sin,cos1 222bbb sin()sincoscossin 22222 aaa bbbbb cossin 222 aa bbb 2222 sin()() cos2cossin(sin) 2222222 aaaaa bbbbbbb 22 sin()(sin)2cossin 22222 aaaa bbbbb 9 0 sin 2 2 cossin 222 a b Z aa bbb 0 sin 2 lim22 tan 21 cossin 222 a a b KZb baa bbb 2 tan 2 ba a ab 2 tan 2 w ba M ab 取 -修正系數(shù)修正系數(shù),大

5、于1,表示其他裂紋存在對 的影響 K 若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多（ ）可不 考慮相互作用,按單個裂紋計算. 21 25 a b 10 二二. .無限大平板無限大平板、型裂紋問題應(yīng)力強度因子的計算型裂紋問題應(yīng)力強度因子的計算 1.型裂紋應(yīng)力強度因子的普遍表達(dá)形式(無限大板): 0 lim( ) 2KZ 2.無限大平板中的周期性的裂紋,且在無限遠(yuǎn)的邊界上處于 平板面內(nèi)的純剪切力作用. 22 sin 2 ( ) (sin)(sin) 22 z b Z z za bb 22 sin() 2 ( ) sin()(sin) 22 a b Z a a bb 11 0 2 lim2( )tan 2 ba

6、 KZa ab 3.型裂紋應(yīng)力強度因子的普遍表達(dá)形式(無限大板): 0 lim2( )KZ 4.型周期性裂紋: 2 tan 2 ba Ka ab 12 3-2 3-2 深埋裂紋的應(yīng)力強度因子的計算深埋裂紋的應(yīng)力強度因子的計算 1950年,格林和斯內(nèi)登分析了彈 性物體的深埋的橢圓形裂紋鄰域內(nèi)的 應(yīng)力和應(yīng)變得到橢圓表面上任意點, 沿 方向的張開位移為 y 122 2 0 22 (1) xz yy ac 其中: 2 0 2(1) a y E 第二類橢圓積分 13 12 222 2 0 sin( ) cos a d c 1962年,Irwin利用上述結(jié)果計算在這種情況下的應(yīng) 力強度因子 原裂紋面 11

7、 cos,sinzx 22 222222 11 11 22 1 xz c xa za c ac 2222 sincos ac ca 14 假設(shè):橢圓形裂紋擴(kuò)展時 rf1f 2222 sincos rr fca ac 邊緣上任一點 有 ( ,)p x z 1 ()sin(1) sin(1)xrff x 1 ()cos(1)zrf z 11 ( ,), ( ,)p x zp x z均在 的平面內(nèi) 0y 222242222 (1)c xa zfa ca c 15 新的裂紋面仍為橢圓 長軸 (1)cf c 短軸 (1)af a 22 00 2(1)2(1) (1) (1) af a yf y EE 原

8、有裂紋面: 22 2 22 0 ()1 xzy acy 擴(kuò)展后裂紋面: 22 2 22 0 ()1 xzy acy 以 ， 代入 1 xx 1 zz 原有裂紋面的邊緣 向位移 y y 16 22222 1111 2222222 0 11 (1)(1) xzxzy yacfafc 222222 111111 222222 1 (1 2 )(1 2 )12 () xzxzxz fff acacac 2 f 22222 000 22 (1)2yfyffyfy 2222 sincos r fca ac 2 22222 0 2 sincos ry yca ac 17 設(shè)各邊緣的法向平面為平面應(yīng)變,有:

9、3 (21)sinsin 4222 Kr vk G 34k 當(dāng) 時， 2 4(1) 2 r vK E 222 22222 0 2 216(1) sincos 2 I ryr caK acE 2222222 0 2 1E ()sincos 4 1 I Kyca ac 18 2 0 2(1) a y E 1 4 1 2222 2 ( ) (sincos) I a Kca c 在橢圓的短軸方向上，即 ，有 2 IImax KK -橢圓片狀深埋裂紋的應(yīng)力強度因子橢圓片狀深埋裂紋的應(yīng)力強度因子 當(dāng) 時， 2 ac 2 I Ka -圓片狀深埋裂紋應(yīng)力強度因子圓片狀深埋裂紋應(yīng)力強度因子 19 3-3 3-3

10、 半橢圓表面裂紋的應(yīng)力強度因子計算半橢圓表面裂紋的應(yīng)力強度因子計算 一、表面線裂紋的應(yīng)力強度因子一、表面線裂紋的應(yīng)力強度因子 歐文假設(shè)： 半橢圓片狀表面線裂紋 與 深埋橢圓裂紋的 之比等于邊裂 紋平板 與中心裂紋平板的 值之比 I K I K I K I K II II KK KK 表邊 埋中 1 2 2 0.1sin (1) tan I I A K W A K W 邊 中 又有 裂紋長度 板寬度 20 當(dāng) 時， 1 A W 22 sin AA WW tan AA WW 1.21.1 I I K K 邊 中 1.1 I I K K 表 埋 1.16 1.1 II a KK 埋表 -橢圓片狀表面

11、裂紋橢圓片狀表面裂紋A A處的處的 值值 I K 21 二、表面深裂紋的應(yīng)力強度因子二、表面深裂紋的應(yīng)力強度因子 深裂紋：引入前后二個自由表面 使裂紋尖端的彈性約束減少 裂紋容易擴(kuò)展 增大 I K () II KMe K表面（埋藏） 彈性修正系數(shù)，由實驗確定 一般情況下 12 MeMM 前自由表面的修正系數(shù) 后自由表面的修正系數(shù) 22 巴里斯和薛 0 a c 時， 接近于單邊切口試樣 1 1.12M 1 a c 時， 接近于半圓形的表面裂紋 1 1M 利用線性內(nèi)插法 1 10.12(1) a M c 利用中心穿透裂紋彈性體的厚度校正系數(shù) 1 2 2 2 (tan) 2 Ba M aB 板厚 裂

12、紋深度 淺裂紋不考后自由表面的影響 23 柯巴亞希.沙.莫斯 2 1 10.12(1) 2 a M c 1 2 2 2 (tan) 2 Ba M aB 表面深裂紋的應(yīng)力強度因子（應(yīng)為最深點處） I a KMe 24 2-4 2-4 其他問題應(yīng)力強度因子的計算其他問題應(yīng)力強度因子的計算 一、一、.型復(fù)合問題應(yīng)力強度因子的計算型復(fù)合問題應(yīng)力強度因子的計算 復(fù)變數(shù)： iyxz iyxz 取復(fù)變解析函數(shù)： ( ) x zpiq 11 ( ) zpiq 取應(yīng)力函數(shù) 2( )( )( )( )zzzx zzx z Re ( )( )zzx z或 滿足雙調(diào)和方程 25 分析第一應(yīng)力不變量 22 22 4Re

13、 ( ) xy x z xy 對于.型復(fù)合裂紋 型： ReIm xII ZyZ ReIm yII ZyZ | |0| |0| |0 ()2Re2Re 2 I xyII K Z 型： 2ImRe xIIII ZyZ Re yII yZ 000 () |2Im|2Im| 2 xy K Z 26 、型復(fù)合裂紋在裂紋前端處的不變量 000 ()|2Re|2Im| 22 xy KK 0 1 2Re()| 2 KiK 取復(fù)數(shù)形式的應(yīng)力強度因子 KKiK 00 ()|2Re()| 2 xy K ()4Re ( ) xy x Z 又 0 lim2 2( )Kx Z 27 若采用 2 2lim( ) za Za

14、KZax Z 選擇 滿足具體問題的應(yīng)力邊界條件 ( )x z 1144 ( )( )( )( )fF ZF ZZF ZZF Z -復(fù)變解析函數(shù)表達(dá)的雙調(diào)和函數(shù)的普遍形式復(fù)變解析函數(shù)表達(dá)的雙調(diào)和函數(shù)的普遍形式 或復(fù)變應(yīng)力函數(shù)為普遍形式或復(fù)變應(yīng)力函數(shù)為普遍形式 利用這個方法可以求解很多”無限大”平板中的穿 透裂紋問題. 28 二、無限寬板穿透裂紋應(yīng)力強度因子的計算二、無限寬板穿透裂紋應(yīng)力強度因子的計算 實際情況應(yīng)看成有限寬計算.必須考慮的自由邊界對 裂紋尖端應(yīng)力場和位移場的影響.在理論上得不到完全解. 通過近似的簡化或數(shù)值計算方法. 方法:邊界配置法,有限單元法等. 邊界配置法邊界配置法:將應(yīng)力函

15、數(shù)用無窮級數(shù)表達(dá),使其滿足 雙調(diào)和方程和邊界條件,擔(dān)不是滿足所有的邊界條件,而 是在有限寬板的邊界上,選足夠多的點,用以確定應(yīng)力函 數(shù),然后再由這樣符合邊界條件的應(yīng)力函數(shù)確定 值. K 邊界配置法:只限于討論直邊界問題. 29 1.威廉氏(Williams)應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力公式 Williams應(yīng)力函數(shù) 1 2 1 ( 1) 2 ( , ) cos(1)cos(1) 22 1 2 j j j j j jj rCr j 滿足雙調(diào)和方程 邊界條件邊界條件:裂紋上、下表面 2 y xy , 均為零 在邊界上的邊界條件的滿足如下 確定:在有限寬板的邊界上選取足夠 的點,使這一點的邊界條件滿足. 30 為

16、了計算方便引入無量綱量 2 j jj DC BWp 試件厚度 試件寬度 1 2 1 ( 1) 2 ( , ) cos(1)cos(1) 22 1 2 jj j j j pWrjj rD j BW 2 2 1 ( , ) yjj j p D A r xBW 1 2 2( 1) )cos(1)(1)cos(3) 22222 j j j rjjjjj A W 2 2 1 ( , ) xjj j p D B r yBW 2 1 ( , ) xyjj j p D E r x yBW 31 2. 的計算 K 針對型裂紋 3 cos(1 sinsin) 2222 x K r 3 cos(1 sinsin)

17、2222 y K r 當(dāng) 時, 0 2 yx K r 0r 0 0 lim2| y r Kr 當(dāng) 時, ,當(dāng) =1時,在乘 后與 無關(guān).而當(dāng) =2,3時,在乘 之后與 有關(guān),當(dāng) 都為零 0 j 2 r cos1j 2 r r r 0r 32 1 2 1 0 111 lim()(2 1) 1 (1) 1 222 r pr KD BWW 1 2 p D B W 3.借用無裂紋體內(nèi)的邊界條件求系數(shù) j D 取含裂紋三點彎曲試樣的左半段的 受力狀態(tài)和不含裂紋的懸臂梁受力是一 樣的. 取 個點分析,以 有限級數(shù)代 替無限級數(shù)精度足夠. m2m 33 對于不同的點有 2 11 1 m yjjy j p D

18、 A BW 1 2 11 1 m xyjjxy j p D E BW () pa KF BWW 13579 22222 ()11.6()18.4()87.2()150.4()154.8() aaaaaa F WWWWWW 其中 標(biāo)準(zhǔn)試件 4sW 34 3-5 3-5 確定應(yīng)力強度因子的有限元法確定應(yīng)力強度因子的有限元法 不同裂紋體在不同的開裂方式下的應(yīng)力強度因子是不 同的.一些實驗方法解析方法都有各自的局限性,而有限元 等數(shù)值解法十分有效地求解彈塑性體的應(yīng)力和位移場,而 應(yīng)力和位移場與 密切相關(guān),所以,可以通過有限元方法 進(jìn)行應(yīng)力強度因子的計算. K 一一. .位移法求應(yīng)力強度因子位移法求應(yīng)力

19、強度因子 型: 3 ( , )(21)coscos 4222 Kr u rk G 3 ( , )(21)sinsin 4222 Kr v rk G 35 有限元法 裂紋尖端位移 22 ( , ) 1 G Kv r kr 外推法 二二. .應(yīng)力法求應(yīng)力強度因子應(yīng)力法求應(yīng)力強度因子 型: ( , )( ) 2 iyiy K rf r 有限元法 ( ,0)2 yy rKr 利用剛度法求應(yīng)力時,應(yīng)力場比 位移場的精度低(因應(yīng)力是位移對坐 標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)). 36 三三. .間接法求應(yīng)力強度因子間接法求應(yīng)力強度因子( (應(yīng)變能釋放率法應(yīng)變能釋放率法) ) K G E 四四. . 積分法積分法 J :圍繞裂紋

20、尖端的閉合曲線 T :積分邊界上的力 u :邊界上的位移 u JWdyTds x 1 2 iyiy W 應(yīng)變能密度 線彈性問題: K JG E 37 2-6 2-6 疊加原理及其應(yīng)用疊加原理及其應(yīng)用 一一. . 的疊加原理及其應(yīng)用的疊加原理及其應(yīng)用 K 線彈性疊加原理線彈性疊加原理:當(dāng)n個載荷同時作用于某一彈性體 上時，載荷組在某一點上引起的應(yīng)力和位移等于單個載 荷在該點引起的應(yīng)力和位移分量之總和. 疊加原理適用于 K 證明證明: : 0 0 lim2| y r Kr 1 T (1)(1)(1) 00 0 ,|lim2| yy r Kr 2 T (2)(2)(2) 00 0 ,|lim2| y

21、y r Kr 由疊加原理有 (1)(2) 000 | yyy (1)(2) KKK 38 實例實例:鉚釘孔邊雙耳裂紋 疊加原理: ( )( )( )( )( )( )( ) 1 () 2 abcdabc KKKKKKK 其中: ( ) () 2 b a Ka D 圓孔直徑 板有寬度: ()sec aa F WW - 板寬的修正 39 2 f D aa 有效裂紋長度 ( ) () 2 ()sec 2 b D a a Ka D W 確定 :無限板寬中心貫穿裂紋受集中力 作用 ( )c K p p K a 1 (2 ) 2 p K Da 有限板寬: (2 ) ()sec 2 aDa F WW ( )

22、 (2)(2 ) secsec 22 ()() 22 c paDWDa K WWDD aa ( ) (2 ) sec() 22 () 2 2 a DaaW Ka D WD a 40 二二. .應(yīng)力場疊加原理及其應(yīng)用應(yīng)力場疊加原理及其應(yīng)用 0 T:無裂紋時外邊界約束在裂紋所處位置產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力場 應(yīng)力場疊加原理:在復(fù)雜的外界約束作用下,裂紋前端 的應(yīng)力強度因子等于沒有外界約束,但在裂紋表面上反向 作用著無裂紋時外界約束在裂紋出產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力 所致 的應(yīng)力強度因子. 0 T 41 實例實例:旋轉(zhuǎn)葉輪(或軸)內(nèi)孔端裂紋 42 1.求解無裂紋時,旋轉(zhuǎn)體在無裂紋部位的內(nèi)應(yīng)力 由彈性力學(xué)有 222 22 11

23、 2 222 22 3 (1) 8 r RRr fR RrR 222 22 11 2 222 22 31 3 (1) 83 RRr fR RrR f 為葉輪密度 為角速度 1 R為葉輪內(nèi)徑 2 R為葉輪外徑 r為計算點的位置 平面應(yīng)力 1 平面應(yīng)變 一般情況下: 1 2 11 1050 R R 2 1 2 ()1 R R 2 22 1 02 2 3 (1) 8 R TfR r 43 2.根據(jù)類比原則 比較兩種情況:內(nèi)孔半徑一致,裂紋大小及組 態(tài)一樣,裂紋面上下受力一致,外邊界無約束,唯 一不同的是一個是有限體,一個是無限體,由于邊 界是自由的 ( )d KK (b) 44 帶中心孔的無限大板,

24、受雙向拉應(yīng)力 時, 孔邊附近的應(yīng)力(注意無裂紋時),由彈性力學(xué)知 22 02 3 8 fR 2 1 00 2 (1) R T r ( )d KK (c) ( ) 0 1 () c a KKa f R (a) 3.根據(jù)疊加原理 45 2.7 2.7 實際裂紋的近似處理實際裂紋的近似處理 利用斷裂力學(xué)進(jìn)行安全評價時,首先確定缺陷的 大小,部位和形狀,偏于安全考慮:夾雜、空洞、氣孔、 夾雜性裂紋 裂紋應(yīng)針對實際問題進(jìn)行分析 一一. .缺陷群的相互作用缺陷群的相互作用 1.垂直外應(yīng)力的并列裂紋 并列裂紋的作用使下降 ,工程上偏安全考慮 K 并列裂紋作為單個裂紋考慮; 對于密集的缺陷群,假定它們在空間規(guī)

25、則排列,并可把 空間裂紋簡化成平面裂紋. 46 2.與外應(yīng)力垂直的面內(nèi)共線裂紋 如裂紋中心間距大于缺陷尺寸五倍以上,可做為單個 裂紋處理,否則必須考慮修正. 二二. .裂紋形狀的影響裂紋形狀的影響 通過探傷手段 裂紋形狀的影響 1.探傷結(jié)果是面積 當(dāng)缺陷的面積相同時, 的橢圓裂紋 最大 1 2 a c K 以 的橢圓裂紋分析是偏于安全的 1 2 a c 47 2.探傷的結(jié)果是最大線尺寸 當(dāng)最大直徑相同時,圓裂紋的 比橢圓裂紋大 K 以圓裂紋估算偏于安全 當(dāng)缺陷長度一樣時,貫穿裂紋 比其它裂紋的大 K 以貫穿裂紋估算偏于安全 48 2.8 2.8 塑性區(qū)及其修正塑性區(qū)及其修正 小范圍屈服:屈服區(qū)

26、較小時(遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于裂紋尺寸) 線彈性斷裂力學(xué)仍可用 一一. .塑性區(qū)的形狀和大小塑性區(qū)的形狀和大小 1.屈服條件的一般形式 屈服條件屈服條件:材料超過彈性階段而進(jìn)入塑性階段的條件. 單向拉壓: 1 2 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn): s 復(fù)雜情況: (,) xyzxyxzyz fc 123 (,)fc 49 2.根據(jù)屈服條件確定塑性區(qū)形狀大小 a.利用米塞斯(von.mises)屈服條件 當(dāng)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變能密度等于單向拉伸屈 服時的形狀改變能密度,材料屈服,即 2222 122331 ()()()2 s 對于型裂紋的應(yīng)力公式 12 2 () 22 xyxy xy 1 2 cos1 sin 222 K

27、r 3 0平面應(yīng)力 50 2 22 2 cos1 3sin 222 s K r -平面應(yīng)力下,型裂紋前端屈服區(qū)域的邊界方程 當(dāng) 時, 0 2 0 1 () 2 s K r 312 () z 平面應(yīng)變 2 222 2 cos(12 )3sin 222 s K r -平面應(yīng)變下, 型裂紋前端屈服區(qū)的邊界方程 當(dāng) 時, 0 2 1 0.16()(0.3) 2 s K r 22 1 (12 )() 2 s K 51 b.利用Tresca(屈雷斯加)屈服條件 在復(fù)雜受力下,當(dāng)最大切應(yīng)力等于材料彈性拉伸時的 屈服切應(yīng)力,材料即屈服. 比較發(fā)現(xiàn):平面應(yīng)變塑性區(qū)尺寸小,平面應(yīng)變處于三 向拉伸狀態(tài)不易屈服. 平

28、面應(yīng)變的有效屈服應(yīng)力 比 高 ys s 塑性區(qū)中的最大應(yīng)力 1ys 平面應(yīng)變 1 3 yss 3 2 2 ys 平面應(yīng)力 1yss 52 3.應(yīng)力松弛的影響 由于塑性變形引起應(yīng)力松弛 應(yīng)力松弛 依據(jù):單位厚含裂紋平板,在外力作用下發(fā)生局部屈服后, 其凈截面的內(nèi)力應(yīng)當(dāng)與外界平衡. 塑性區(qū)尺寸增大 0 | 2 y K r (圖中虛線所示) 此曲線下的面積為 1 ( ) y Fx dx =外力 53 應(yīng)力松弛后: 2y Fdx =外力 屈服區(qū)內(nèi)的最大應(yīng)力稱為有效屈服應(yīng)力 2 2() () s ys s 平面應(yīng)變 平面應(yīng)力 2 1 () 2 ys ys K r ( ) yy x dxdx 又BD與CE下的面積應(yīng)相等 00 ( ) 2 ysys rr ysy K x dxdx x 2 0 1 () 2 ys ys K rr (平面應(yīng)力) 22 0 1 ()2() 8 ss KK