1高等數(shù)學(xué)課件（完整版）詳細

1、一、基本概念一、基本概念 1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體. 組成這個集合的事物稱為該集合的組成這個集合的事物稱為該集合的元素元素. , 21n aaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集 無限集無限集 ,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說說則則必必若若BABxAx .BA 記作記作 數(shù)集分類數(shù)集分類:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集 Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實數(shù)集實數(shù)集 數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A 例如例如 ,023 2 xxx

2、C.CA 則則 不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集.)(記記作作 例如例如,01, 2 xRxx 規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集. 2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù). 這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點. .,baRba 且且 bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間, ),(ba記作記作 bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記記作作 oxa b oxa b bxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間, 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間, ),ba記作記作 ,(ba記記作作 ),xaxa ),(bxxb

3、oxa ox b 有限區(qū)間有限區(qū)間 無限區(qū)間無限區(qū)間 區(qū)間長度的定義區(qū)間長度的定義: : 兩端點間的距離兩端點間的距離(線段的長度線段的長度)稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度. 3.3.鄰域鄰域: : . 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設(shè)設(shè)a ).( 0 aU 記記作作 ,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 . )( axaxaU x a a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點點 a . 0)( axxaU ,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數(shù)集數(shù)集 aaxx 4.4.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量,

4、 注意注意 常量與變量是相對常量與變量是相對“過程過程”而言的而言的. 通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量, 而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量. 常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法： 用字母用字母x, y, t等表示變量等表示變量. 5.5.絕對值絕對值: : 0 0 aa aa a )0( a 運算性質(zhì)運算性質(zhì):;baab ; b a b a .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或 絕對值不等式絕對值不等式: 二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念 例例 圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正多邊形的周長 n nrS n sin2 , 5 ,

5、4 , 3 n 3 S5 S 4 S6 S 圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形邊形 O r n ) 因變量因變量自變量自變量 .)(, 000 處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點點稱稱時時當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域 函函數(shù)數(shù)值值全全體體組組成成的的數(shù)數(shù)集集 DxxfyyW 變變量量y按按照照一一定定法法則則總總有有 確確定定的的數(shù)數(shù)值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱y是是x的的函函數(shù)數(shù)，記記作作 定定義義 設(shè)設(shè)x和和y是是兩兩個個變變量量, ,D是是一一個個給給定定的的數(shù)數(shù)集集， 數(shù)集數(shù)集D叫做這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的定義域定義域)(xfy 如如果果對對于于每每個個數(shù)數(shù)Dx ,

6、 ( ( ) ) 0 x )( 0 xf 自變量自變量 因變量因變量 對應(yīng)法則對應(yīng)法則f 函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對應(yīng)法則對應(yīng)法則. x y D W 約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義 的一切實數(shù)值的一切實數(shù)值. 2 1xy 例例如如， 1 , 1 : D 2 1 1 x y 例例如如， )1 , 1(: D 定義定義: : .)( ),(),( 的圖形的圖形函數(shù)函數(shù) 稱為稱為點集點集 xfy DxxfyyxC ox y ),(yx x y W D 如果自變量在定如果自變量在定 義域內(nèi)任取一個數(shù)值義域內(nèi)任取一個數(shù)值 時，對應(yīng)

7、的函數(shù)值總時，對應(yīng)的函數(shù)值總 是只有一個，這種函是只有一個，這種函 數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否 則叫與多值函數(shù)則叫與多值函數(shù) 例例如如， 222 ayx (1) 符號函數(shù)符號函數(shù) 01 00 01 sgn x x x xy 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 幾個特殊的函數(shù)舉例幾個特殊的函數(shù)舉例 1 -1 x y o xxx sgn (2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=x x表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 階梯曲線階梯曲線 x 0, 1 0, 12 )(, 2 xx xx xf例例如如 12 xy 1

8、 2 xy 在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同的對應(yīng)法則用不同的 式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù). 例例1 1 脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖其波形如圖 所示所示,寫出電壓寫出電壓U與時間與時間 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式.)0( tt 解解 U t o E ), 2 (E )0 ,( 2 , 2 , 0時時當(dāng)當(dāng) t t E U 2 ; 2 t E 單三角脈沖信號的電壓單三角脈沖信號的電壓, 2 (時時當(dāng)當(dāng) t ),( 2 0 0 t E U)( 2 t E U即即 ,),(時時當(dāng)當(dāng) t. 0 U

9、其表達式為其表達式為 是一個分段函數(shù)是一個分段函數(shù),)(tUU ),(, 0 , 2 (),( 2 2 , 0, 2 )( t tt E tt E tU U t o E ), 2 (E )0 ,( 2 例例2 2 .)3(, 212 101 )(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xf x x xf 解解 2312 1301 )3( x x xf 212 101 )( x x xf 122 231 x x 1, 3 : f D 故故 三、函數(shù)的特性三、函數(shù)的特性 M -M y x o y=f(x) X 有界有界無界無界 M -M y x o X 0 x ,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxM

10、DX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性: .)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf 2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性: ,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) , 2121 時時當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf ),()()1( 21 xfxf 恒有恒有 )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o I )(xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o I ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf ,)(DIDxf 區(qū)間

11、區(qū)間的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) , 2121 時時當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2( 21 xfxf 恒恒有有 3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性: 偶函數(shù)偶函數(shù) 有有對對于于關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf y x )( xf )(xfy ox-x )(xf ;)(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱稱xf 有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xf 奇函數(shù)奇函數(shù) )( xf y x )(xf ox -x )(xfy 4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性: （通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說

12、周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）. ,)(Dxf的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如如果果存存在在一一個個不不為為零零的的 .)()(恒成立恒成立且且xflxf 為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù) .)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl 2 l 2 l 2 3l 2 3l 四、反函數(shù)四、反函數(shù) 0 x 0 y 0 x 0 y x y D W )(xfy 函函數(shù)數(shù) o x y D W )(yx 反反函函數(shù)數(shù) o )(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù) x y o ),(abQ ),(baP )(xy 反反函函數(shù)數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與

13、反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱.xy 例例3 3 解解 , 0 1 )( Qx Qx xD設(shè)設(shè) .)().21(), 5 7 (的的性性質(zhì)質(zhì)并并討討論論求求xDDDD , 1) 5 7 ( D, 0)21( D , 1)( xDD o x y 1 單值函數(shù)單值函數(shù), 有界函數(shù)有界函數(shù), 偶函數(shù)偶函數(shù), 周期函數(shù)周期函數(shù)(無最小正周期無最小正周期) 不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù), 五、小結(jié)五、小結(jié) 基本概念基本概念 集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 常量與變量常量與變量, 絕對值絕對值. 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 函數(shù)的特性函數(shù)的特性 有界性有界性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性

14、. . 反函數(shù)反函數(shù) 思考題思考題 設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值 2 1) 1 (xx x f ， 求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達達式式. 思考題解答思考題解答 設(shè)設(shè) u x 1 則則 2 1 1 1 uu uf , 11 2 u u 故故)0(. 11 )( 2 x x x xf 一、一、 填空題填空題: : 1 1、 若若 2 2 51 t tt f , ,則則_)( tf, , _)1( 2 tf. . 2 2、 若若 3 ,sin 3 , 1 )( xx x t, , 則則) 6 ( =_=_，) 3 ( =_.=_. 3 3、不等式、不等式 15 x 的區(qū)間表示法是的

15、區(qū)間表示法是_._. 4 4、設(shè)、設(shè) 2 xy , ,要使要使 ), 0( Ux 時，時， )2 , 0(Uy , , 須須 _._. 練練 習(xí)習(xí) 題題 二、證明二、證明xylg 在在), 0(上的單調(diào)性上的單調(diào)性. . 三、證明任一定義在區(qū)間三、證明任一定義在區(qū)間)0(),( aaa上的函數(shù)可表上的函數(shù)可表 示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和. . 四、設(shè)四、設(shè))(xf是以是以 2 2 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)， 且且 10, 0 01, )( 2 x xx xf, ,試在試在),(上繪出上繪出 )(xf的圖形的圖形. . 五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個

16、奇函數(shù)的五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的 乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). . 六、證明函數(shù)六、證明函數(shù) acx bax y 的反函數(shù)是其本身的反函數(shù)是其本身. . 七七、求求 xx xx ee ee xf )(的的反反函函數(shù)數(shù)，并并指指出出其其定定義義域域. . 一、一、1 1、 2 2 5 t t , , 22 2 )1( 2 )1(5 t t； 2 2、1,11,1； 3 3、(4,6)(4,6)； 4. 4.2, 0( . . 七、七、)1 , 1( , 1 1 ln x x y. . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案 一、基本

17、初等函數(shù)一、基本初等函數(shù) 1.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xy o x y )1 , 1( 1 1 2 xy xy x y 1 xy 2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaay x x ay x a y) 1 ( )1( a )1 , 0( x ey 3.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxy a xyln xy a log xy a 1 log )1( a )0 , 1( 4.三角函數(shù)三角函數(shù) 正弦函數(shù)正弦函數(shù) xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù) xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xyse

18、c xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù) xycsc 5.反三角函數(shù)反三角函數(shù) xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù) xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù) xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反 三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù). xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arc xycot arc 二、復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù) 1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) ,uy 設(shè)設(shè),1 2 xu 2 1xy 定義定義: 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(ufy 的的定定

19、義義域域 f D, 而而函函數(shù)數(shù) )(xu 的的值值域域為為 Z, 若若 ZD f , 則則稱稱 函函數(shù)數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù). ,自變量自變量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y 注意注意: :1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù) 合函數(shù)的合函數(shù)的; ,arcsinuy 例如例如 ;2 2 xu )2arcsin( 2 xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù) 合構(gòu)成合構(gòu)成. , 2 cot x y 例例如如,uy ,cotvu . 2 x v 2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次由

20、常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次 四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用 一個式子表示一個式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù). 四、小結(jié)四、小結(jié) 函數(shù)的分類函數(shù)的分類: 函數(shù)函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù) 非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項等函數(shù)有無窮多項等函數(shù)) ) 代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù) 超越函數(shù)超越函數(shù) 有理函數(shù)有理函數(shù) 無理函數(shù)無理函數(shù) 有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項式函數(shù)多項式函數(shù)) ) 有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) ) 思考題思考題 下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù)下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù))(xgfy ， 若能，寫

21、出其解析式、定義域、值域若能，寫出其解析式、定義域、值域 ,)()1(uufy 2 )(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu 思考題解答思考題解答 2 )()1(xxxgfy ,10| xxDx 2 1 , 0)( Df )2(不能不能01sin)( xxg )(xg的的值值域域與與)(uf的的定定義義域域之之交交集集是是空空集集. ._ 1 反反三三角角函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱 對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，三三角角函函數(shù)數(shù)和和、冪冪函函數(shù)數(shù)，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)， ._ )(ln31)(2 的的定定義義域域為為 ，則則函函數(shù)數(shù)，的的定定義義域域為為、函函數(shù)數(shù)xfxf 一、填空題一、填空題:

22、 ._3 2 復(fù)復(fù)合合而而成成的的函函數(shù)數(shù)為為，、由由函函數(shù)數(shù)xuey u ._2lnsin4復(fù)復(fù)合合而而成成由由、函函數(shù)數(shù)xy ._)0()()( _)0)( _)(sin_ 10)(5 2 的定義域為的定義域為 ，的定義域為的定義域為 ，的定義域為的定義域為，為為 ）的定義域）的定義域（，則，則，的定義域為的定義域為、若、若 aaxfaxf aaxf xf xfxf 練練 習(xí)習(xí) 題題 .sin的的圖圖形形”作作函函數(shù)數(shù)二二、應(yīng)應(yīng)用用圖圖形形的的“疊疊加加xxy .)()( )( 11 10 11 )( ，并作出它們的圖形，并作出它們的圖形，求求 ， ， ， ， 三、設(shè)三、設(shè) xfgxgf

23、exg x x x xf x . )( )()(30. 0 5020. 05002 20 形形 出出圖圖之之間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系，并并作作千千克克于于行行李李重重量量 元元元元，試試建建立立行行李李收收費費出出部部分分每每千千克克 千千克克超超元元，超超出出千千克克每每千千克克收收費費 千千克克以以下下不不計計費費，定定如如下下：四四、火火車車站站行行李李收收費費規(guī)規(guī) x xf 一、一、1 1、基本初等函數(shù)；、基本初等函數(shù)； 2 2、, 3 ee； 3 3、 2 x ey ； 4 4、xvvuuy2,ln,sin ； 5 5、-1,1,-1,1, kk2,2, 1 ,aa , , 2 1

24、2 1 01 , a aaa . . 三、三、 1, 1 0, 0 0, 1 )( x x x xgf； 1, 1 1, 1 1, )( x e x xe xfg. . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案 四、四、 50),50(3 . 010 5020,2 . 0 200 xx xx x y 一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù) 1.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xy o x y )1 , 1( 1 1 2 xy xy x y 1 xy 2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaay x x ay x a y) 1 ( )1( a )1 , 0( x ey 3.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxy a

25、xyln xy a log xy a 1 log )1( a )0 , 1( 4.三角函數(shù)三角函數(shù) 正弦函數(shù)正弦函數(shù) xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù) xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù) xycsc 5.反三角函數(shù)反三角函數(shù) xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù) xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù) xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三

26、角函數(shù)和反三角函數(shù)和反 三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù). xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arc xycot arc 二、復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù) 1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) ,uy 設(shè)設(shè),1 2 xu 2 1xy 定義定義: 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(ufy 的的定定義義域域 f D, 而而函函數(shù)數(shù) )(xu 的的值值域域為為 Z, 若若 ZD f , 則則稱稱 函函數(shù)數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù). ,自變量自變量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y 注意注意: :1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù) 合函數(shù)的合函數(shù)的;

27、,arcsinuy 例如例如 ;2 2 xu )2arcsin( 2 xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù) 合構(gòu)成合構(gòu)成. , 2 cot x y 例例如如,uy ,cotvu . 2 x v 2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次 四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用 一個式子表示一個式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù). 四、小結(jié)四、小結(jié) 函數(shù)的分類函數(shù)的分類: 函數(shù)函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù) 非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項

28、等函數(shù)有無窮多項等函數(shù)) ) 代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù) 超越函數(shù)超越函數(shù) 有理函數(shù)有理函數(shù) 無理函數(shù)無理函數(shù) 有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項式函數(shù)多項式函數(shù)) ) 有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) ) 思考題思考題 下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù)下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù))(xgfy ， 若能，寫出其解析式、定義域、值域若能，寫出其解析式、定義域、值域 ,)()1(uufy 2 )(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu 思考題解答思考題解答 2 )()1(xxxgfy ,10| xxDx 2 1 , 0)( Df )2(不能不能01sin)( xxg )(xg的的值值域域與與)

29、(uf的的定定義義域域之之交交集集是是空空集集. ._ 1 反反三三角角函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱 對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，三三角角函函數(shù)數(shù)和和、冪冪函函數(shù)數(shù)，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)， ._ )(ln31)(2 的的定定義義域域為為 ，則則函函數(shù)數(shù)，的的定定義義域域為為、函函數(shù)數(shù)xfxf 一、填空題一、填空題: ._3 2 復(fù)復(fù)合合而而成成的的函函數(shù)數(shù)為為，、由由函函數(shù)數(shù)xuey u ._2lnsin4復(fù)復(fù)合合而而成成由由、函函數(shù)數(shù)xy ._)0()()( _)0)( _)(sin_ 10)(5 2 的定義域為的定義域為 ，的定義域為的定義域為 ，的定義域為的定義域為，為為 ）的定義域）的定義域（，則，則，的定義域

30、為的定義域為、若、若 aaxfaxf aaxf xf xfxf 練練 習(xí)習(xí) 題題 .sin的的圖圖形形”作作函函數(shù)數(shù)二二、應(yīng)應(yīng)用用圖圖形形的的“疊疊加加xxy .)()( )( 11 10 11 )( ，并作出它們的圖形，并作出它們的圖形，求求 ， ， ， ， 三、設(shè)三、設(shè) xfgxgf exg x x x xf x . )( )()(30. 0 5020. 05002 20 形形 出出圖圖之之間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系，并并作作千千克克于于行行李李重重量量 元元元元，試試建建立立行行李李收收費費出出部部分分每每千千克克 千千克克超超元元，超超出出千千克克每每千千克克收收費費 千千克克以以下下不

31、不計計費費，定定如如下下：四四、火火車車站站行行李李收收費費規(guī)規(guī) x xf 一、一、1 1、基本初等函數(shù)；、基本初等函數(shù)； 2 2、, 3 ee； 3 3、 2 x ey ； 4 4、xvvuuy2,ln,sin ； 5 5、-1,1,-1,1, kk2,2, 1 ,aa , , 2 1 2 1 01 , a aaa . . 三、三、 1, 1 0, 0 0, 1 )( x x x xgf； 1, 1 1, 1 1, )( x e x xe xfg. . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案 四、四、 50),50(3 . 010 5020,2 . 0 200 xx xx x y . sin 時的變化趨勢時的

32、變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 播放播放 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應(yīng)應(yīng) 函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A. ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的過過程程表表示示 xXx . 0 sin )(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當(dāng)當(dāng) x x xfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察: 問題問題: 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”. 定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù)

33、 ( (不論它多么小不論它多么小),), 總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式Xx 的一切的一切 x, ,所對應(yīng)的函數(shù)值所對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, , 那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時的極限時的極限, ,記作記作 )()()(lim xAxfAxf x 當(dāng)當(dāng)或或 :. 1 定定義義 定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng) Axf x )(lim :.10情情形形 x .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng) :.2 0 情形情形xAxf x )(lim .)(, 0, 0

34、 AxfXxX恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng) Axf x )(lim 2.另兩種情形另兩種情形: Axf x )(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxf xx 且且 x x y sin 3.幾何解釋幾何解釋: X X .2, )(, 的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線 圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當(dāng)當(dāng) Ay xfyXxXx A x x y sin 例例1. 0 sin lim x x x 證證明明 證證 x x x xsin 0 sin x 1 X 1 , , 0 , 1 X取取 時恒有時恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,0 sin x x . 0 sin lim x

35、 x x 故故 . )(,)(lim: 的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線 是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxf x 二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限 問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 0 xx 的的過過程程中中,對對應(yīng)應(yīng) 函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A. ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .0 00 的的過過程程表表示示xxxx x 0 x 0 x 0 x , 0 鄰鄰域域的的去去心心點點 x. 0程度 程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) (

36、(不論它多不論它多 么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 0 0 xx的一切的一切x, ,對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都 滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù) )(xf當(dāng)當(dāng) 0 xx 時的極限時的極限, ,記作記作 )()()(lim 0 0 xxAxfAxf xx 當(dāng)當(dāng)或或 :. 1 定義定義 定定義義 .)( ,0, 0, 0 0 Axf xx 恒恒有有 時時使使當(dāng)當(dāng) 2.幾何解釋幾何解釋: )(xfy A A A 0 x 0 x 0 x x y o .2 , )(, 0 的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為

37、 為中心線為中心線線線 圖形完全落在以直圖形完全落在以直 函數(shù)函數(shù)域時域時 鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ay xfy xx 注意：注意：;)(. 1 0是 是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 例例2).( ,lim 0 為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCC xx 證證 Axf )( CC ,成立成立 , 0 任給任給 0 .lim 0 CC xx , 0 任任取取,0 0 時時當(dāng)當(dāng) xx 例例3.lim 0 0 xx xx 證證明明 證證 ,)( 0 xxAxf , 0 任給任給,

38、取取 ,0 0 時時當(dāng)當(dāng) xx 0 )(xxAxf ,成立成立 .lim 0 0 xx xx 例例4. 2 1 1 lim 2 1 x x x 證證明明 證證 2 1 1 )( 2 x x Axf, 0 任給任給 , 只只要要取取 ,0 0 時時當(dāng)當(dāng) xx 函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有定義. 1 x ,)( Axf要要使使 ,2 1 1 2 x x 就就有有 . 2 1 1 lim 2 1 x x x 例例5 .lim 0 0 xx xx 證證 0 )(xxAxf , 0 任給任給 ,min 00 xx取取 ,0 0 時時當(dāng)當(dāng) xx 0 0 xx xx ,)( Axf要要使使 , 0

39、 xx就就有有 , 0 0 x xx . 00 且且不不取取負負值值只只要要 xxx .lim,0: 00 0 xxx xx 時時當(dāng)當(dāng)證明證明 3.單側(cè)極限單側(cè)極限: 例如例如, . 1)(lim 0, 1 0,1 )( 0 2 xf xx xx xf x 證明證明 設(shè)設(shè) 兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx , 0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 0 0 xx記記作作 , 0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 0 0 xx記記作作 y ox 1 xy 1 1 2 xy 左極限左極限 .)( , 0, 0 00 Axf xxx 恒有恒有 時時使當(dāng)使當(dāng) 右極限右極限 .)(

40、, 0, 0 00 Axf xxx 恒恒有有 時時使使當(dāng)當(dāng) 00 0: 00 0 xxxxxx xxx 注注意意 .)0()(lim 0 )( 0 0 0 AxfAxf xx xx 或或記記作作 .)0()(lim 0 )( 0 0 0 AxfAxf xx xx 或或記記作作 .)0()0()(lim: 00 0 AxfxfAxf xx 定定理理 .lim 0 不存在不存在驗證驗證 x x x y x 1 1 o x x x x xx 00 limlim 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等, .)(lim 0 不不存存在在xf x 例例6 證證 1)1(lim 0 x x x x x x

41、x00 limlim 11lim 0 x 三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì) 1.有界性有界性 定定理理 若若在在某某個個過過程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在 過過程程的的一一個個時時刻刻, ,在在此此時時刻刻以以后后)(xf有有界界. . 2.唯一性唯一性 定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一. 推論推論 ).()(),(, 0 ,)(lim,)(lim 0 0 00 xgxfxUx BABxgAxf xxxx 有有則則 且且設(shè)設(shè) 3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì) 定理定理( (保序性保序性) ) .),()(),(, 0 .)(lim,)(lim 0 0

42、 00 BAxgxfxUx BxgAxf xxxx 則則有有若若 設(shè)設(shè) ).0)(0)(,),(, 0 ),0(0,)(lim 0 0 0 xfxfxUx AAAxf xx 或或時時當(dāng)當(dāng)則則 或或且且若若定理定理( (保號性保號性) ) ).0(0),0)(0)( ,),(, 0,)(lim 0 0 0 AAxfxf xUxAxf xx 或或則則或或 時時當(dāng)當(dāng)且且若若 推論推論 例如例如, x x y sin 1 sin lim 0 x x x , 1 1 sinlim n n n , 1 1 sinlim n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 n n n n n 函數(shù)極限與數(shù)列極限

43、的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極 限都存在限都存在, ,且相等且相等. . x y 1 sin 例例7 . 1 sinlim 0 不不存存在在證證明明 x x 證證 , 1 n xn取取 , 0lim n n x; 0 n x且且 , 2 14 1 n xn取取 , 0lim n n x; 0 n x且且 n x n n n sinlim 1 sinlim 而而 , 1 2 14 sinlim 1 sinlim n x n n n 而而 1lim n 二者不相等二者不相等,. 1 sinlim 0 不存在不存在故故

44、 x x , 0 四、小結(jié)四、小結(jié) 函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義 ;)(limAnf n ;)(limAxf x ;)(limAxf x ;)(limAxf x ;)(lim 0 Axf xx ;)(lim 0 Axf xx .)(lim 0 Axf xx .)( , 0)(lim Axf Axf 恒有恒有 從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻 (見下表見下表) 過過 程程 時時 刻刻 從此時刻以后從此時刻以后 n x x x N Nn Nx Nx Nx )(xf Axf)( 0 xx 0 0 xx 0 xx 0 xx 0 0 xx0 0 xx 過過 程程 時時 刻刻 從此時刻以后從此時刻

45、以后 )(xf Axf)( 思考題思考題 試試問問函函數(shù)數(shù) 0,5 0,10 0, 1 sin )( 2 xx x x x x xf在在0 x處處 的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時時，)(xf的的 極極限限是是否否存存在在？ 思考題解答思考題解答 )(lim 0 xf x , 5)5(lim 2 0 x x 左極限存在左極限存在, )(lim 0 xf x , 0 1 sinlim 0 x x x 右極限存在右極限存在, )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 不存在不存在. .01. 01 _1 3 1 2 2 2 yzx z x x

46、 yx ，必必有有時時，只只要要 取取，問問當(dāng)當(dāng)時時，、當(dāng)當(dāng) .001. 0420 _421 2 yx xyx ，必必有有只只要要 時時，取取，問問當(dāng)當(dāng)時時，、當(dāng)當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義 一、填空題一、填空題: 0 sin lim2 2 12 41 lim1 2 2 1 x x x x x x 、 、 練練 習(xí)習(xí) 題題 . )(: 0 極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右 時極限存在的充分時極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf ? 0)( 存存在在 時時的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) x

47、 x x x 一、一、1 1、0.00020.0002； 2 2、397. . 四、不存在四、不存在. . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x

48、x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無

49、窮大時函數(shù)的極限 . sin 時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x 一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 一、無窮小一、無窮小 1.定義定義: 定定義義 1 1 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), , 總總存存在在正正數(shù)數(shù) ( (或或正正數(shù)數(shù)X) ), ,使使得得對對于于適適合合不不等等式式 0 0 xx( (或或 xX) )的的一一切切x, ,對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值 )(xf都都滿滿足足不不等等式式 )(xf, , 那那末末 稱稱函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) 0 xx ( (或或 x) )時時為為無無

50、窮窮小小, , 記記作作 ).0)(lim(0)(lim 0 xfxf xxx 或或 極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小. 例如例如, , 0sinlim 0 x x .0sin時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx , 0 1 lim x x . 1 時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) x x , 0 )1( lim n n n . )1( 時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 n n n 注意注意 1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆; 2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù). 2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限

51、的關(guān)系: 證證 必要性必要性,)(lim 0 Axf xx 設(shè)設(shè) ,)()(Axfx 令令 , 0)(lim 0 x xx 則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè) ,)( 0時 時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx )(lim)(lim 00 xAxf xxxx 則則)(lim 0 xA xx .A 定定理理 1 1 ),()()(lim 0 xAxfAxf xx 其其中中)(x 是是當(dāng)當(dāng) 0 xx 時時的的無無窮窮小小. 意義意義 1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮無窮 小小); ).(,)( )(. 2 0 xAxf x

52、xf 誤差為誤差為 附近的近似表達式附近的近似表達式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù) 3.無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì): 定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和有限個無窮小的代數(shù)和 仍是無窮小仍是無窮小. 證證,時時的的兩兩個個無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)及及設(shè)設(shè) x 使得使得, 0, 0, 0 21 NN ; 2 1 時恒有時恒有當(dāng)當(dāng)Nx; 2 2 時時恒恒有有當(dāng)當(dāng)Nx ,max 21 NNN 取取恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nx 22 , )(0 x 注意注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. . 是是無無窮窮小小，時時例例如如 n n 1 , .1 1

53、不不是是無無窮窮小小之之和和為為個個但但 n n 定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 證證 內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),( 10 0 xUu . 0, 0, 0 101 Mu xxM 恒恒有有 時時使使得得當(dāng)當(dāng)則則 , 0時 時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)又又設(shè)設(shè)xx . 0, 0, 0 202 M xx 恒恒有有 時時使使得得當(dāng)當(dāng) 推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘 積是無窮小積是無窮小. 推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小

54、有限個無窮小的乘積也是無窮小. ,min 21 取取恒恒有有時時則則當(dāng)當(dāng),0 0 xx uu M M , ., 0 為無窮小為無窮小時時當(dāng)當(dāng) uxx x x x xx 1 arctan, 1 sin,0, 2 時時當(dāng)當(dāng)例例如如 都是無窮小都是無窮小 二、無窮大二、無窮大 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù)M( (不論它多么不論它多么 小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 0 0 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所對應(yīng)的函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù) 值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Mxf )(, ,

55、 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) 0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, , 記作記作 ).)(lim()(lim 0 xfxf xxx 或或 絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大. 特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xx x xx 或或 注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆; 3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無 界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大. .)(lim. 2 0 認認為為極極限限存存在在切切

56、勿勿將將 xf xx xx y 1 sin 1 ., 1 sin 1 ,0, 但但不不是是無無窮窮大大是是一一個個無無界界變變量量 時時當(dāng)當(dāng)例例如如 xx yx ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 2 1 )1( 0 k k x取取 , 2 2)( 0 kxy .)(, 0 Mxyk 充充分分大大時時當(dāng)當(dāng) ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 1 )2( 0 k k x取取 , k xk充充分分大大時時當(dāng)當(dāng) kkxy k 2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大 無界，無界， . 1 1 lim 1 x x 證證明明例例 證證 . 0 M , 1 1 M x 要使要使 , 1 1

57、M x 只只要要, 1 M 取取 , 1 10時時當(dāng)當(dāng) M x . 1 1 M x 就有就有. 1 1 lim 1 x x . )(,)(lim: 0 0 的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線 是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxf xx 1 1 x y 三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系 定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ; 恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. . 證證 .)(lim 0 xf xx 設(shè)設(shè) , 1 )( 0, 0, 0 0 xf xx 恒恒有有 時時使使得得當(dāng)當(dāng)

58、. )( 1 xf 即即 . )( 1 , 0 為為無無窮窮小小時時當(dāng)當(dāng) xf xx . 0)(, 0)(lim, 0 xfxf xx 且且設(shè)設(shè)反反之之 , 1 )( 0, 0, 0 0 M xf xxM 恒恒有有 時時使使得得當(dāng)當(dāng) . )( 1 M xf 從而從而 . )( 1 , 0 為為無無窮窮大大時時當(dāng)當(dāng) xf xx , 0)( xf由由于于 意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小 的討論的討論. 四、小結(jié)四、小結(jié) 1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個定義兩個定義;四個定理四個定理;三個推論三個推論. 2、幾點注意、幾點注意: 無窮小與無窮大是相

59、對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的. （1） 無窮?。o窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混 淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)； （2 2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小. . （3） 無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大. 思考題思考題 若若0)( xf，且，且Axf x )(lim， 問：能否保證有問：能否保證有0 A的結(jié)論？試舉例說明的結(jié)論？試舉例說明. 思考題解答思考題解答 不能保證不能保證. 例例 x xf 1 )( , 0 x有有0 1 )( x xf )(

60、limxf x . 0 1 lim A x x 一、填空題一、填空題: : 1 1、 凡無窮小量皆以、 凡無窮小量皆以_為極限為極限. . .)( ,_2 的的水水平平漸漸近近線線 是是函函數(shù)數(shù)直直線線條條件件下下、在在 xfy cy .)0lim( ,)(_)(lim3 0 0 xx xx AxfAxf 其其中中 、 ._ ,)(,4 是無窮小是無窮小則則 是無窮大是無窮大若若、在同一過程中、在同一過程中xf .10, 21 ,0: 4 yx x x yx 能能使使應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件問問是是無無窮窮大大 函函數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)二二、根根據(jù)據(jù)定定義義證證明明 練練 習(xí)習(xí) 題題 .,0 ,1