東北大學(xué)大學(xué)物理上附加題4和14參考答案

1、2021/6/16 1 附加題附加題 2021/6/16 2 附附4-1 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為m 和和2m，半徑分別為，半徑分別為r 和和2r的兩個(gè)均的兩個(gè)均 質(zhì)圓盤(pán)，同軸地粘在一起，可繞通過(guò)盤(pán)心且垂直于盤(pán)面質(zhì)圓盤(pán)，同軸地粘在一起，可繞通過(guò)盤(pán)心且垂直于盤(pán)面 的水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在大小盤(pán)邊緣都繞有細(xì)繩，繩下端的水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在大小盤(pán)邊緣都繞有細(xì)繩，繩下端 都掛一質(zhì)量為都掛一質(zhì)量為m的重物，盤(pán)繩無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，如圖所示，的重物，盤(pán)繩無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，如圖所示， 求求:(1)圓盤(pán)對(duì)水平光滑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤(pán)對(duì)水平光滑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; (2)圓盤(pán)的角加速度。圓盤(pán)的角加速度。 m m 解解: (1)和在一起的兩個(gè)圓盤(pán)

2、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和在一起的兩個(gè)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是兩個(gè)圓盤(pán)單獨(dú)存在時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和。是兩個(gè)圓盤(pán)單獨(dú)存在時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和。 首先要求出每一個(gè)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。首先要求出每一個(gè)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2021/6/16 3 mrJJdd 2 222 21 2 9 2 8 2 1 mrmrmrJJJ rrS R m d2d 2 ， z rdrR 2 1 2 1 mrJ 單個(gè)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：?jiǎn)蝹€(gè)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： rrSmd2dd 2 0 3 2 1 d2mRrr R 2 2 2 2 8 22 2 1 mrrmJ 2021/6/16 4 (2)為了求圓盤(pán)的角加速度，必為了求圓盤(pán)的角加速度，必 須對(duì)圓盤(pán)和兩個(gè)重物進(jìn)行受力

3、須對(duì)圓盤(pán)和兩個(gè)重物進(jìn)行受力 分析，如圖所示：對(duì)重物進(jìn)行分析，如圖所示：對(duì)重物進(jìn)行 受力分析：受力分析： m mg 1 T 1 a 根據(jù)牛頓第二定律可得：根據(jù)牛頓第二定律可得： m mg 2 T 2 a 11 maT-mg 1 T 2 T O 22 mamgT (1) 對(duì)圓盤(pán)進(jìn)行受力分析可得：對(duì)圓盤(pán)進(jìn)行受力分析可得： (2) 2211 TTTT ， 作用力和反作用力。作用力和反作用力。 2021/6/16 5 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M=J 可得：可得： JTrTr 21 2 根據(jù)線量和角量的關(guān)系可得：根據(jù)線量和角量的關(guān)系可得： )4(2 21 rara ， 把方程把方程(1)、 (4)、(5

4、)代入代入(3)可得：可得： )5( 2 9 2 mrJ r g 19 2 1 T 2 T O JrTrT (3) 2 21 11 maT-mg 22 mamgT (1) 2021/6/16 6 附附4-2 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為，質(zhì)量為 M 的均質(zhì)細(xì)桿，其一端掛的均質(zhì)細(xì)桿，其一端掛 在一個(gè)光滑的水平軸上，靜止在豎直位置。有一質(zhì)量為在一個(gè)光滑的水平軸上，靜止在豎直位置。有一質(zhì)量為 m 的子彈以速度的子彈以速度v0從桿的中點(diǎn)穿過(guò)，穿出速度為從桿的中點(diǎn)穿過(guò)，穿出速度為v， 求：求：(1)桿開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度；桿開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度； (2)桿的最大擺角。桿的最大擺角。 O Mg h 解：解：(

5、1)選子彈和細(xì)桿為研究對(duì)象選子彈和細(xì)桿為研究對(duì)象,應(yīng)應(yīng) 用角動(dòng)量守恒定律用角動(dòng)量守恒定律: J l m l m 22 0 vv lM m 2 3 0 vv 2 3 1 MlJ 2021/6/16 7 (2)桿的最大擺角桿的最大擺角 選細(xì)桿和地球?yàn)檠芯繉?duì)象選細(xì)桿和地球?yàn)檠芯繉?duì)象,應(yīng)用機(jī)械能應(yīng)用機(jī)械能 守恒定律守恒定律:(勢(shì)能零點(diǎn)如圖勢(shì)能零點(diǎn)如圖) cos1 2 1 2 1 2 lMgMghJ O Mg h 0 P E 2 0 2 2 4 3 1cosvv lgM m 2 0 2 2 4 3 1arccosvv lgM m 2021/6/16 8 附附4-3 一半圓形均質(zhì)細(xì)桿，半徑為一半圓形均質(zhì)細(xì)

6、桿，半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，求，求 半圓形均質(zhì)細(xì)桿對(duì)過(guò)細(xì)桿二端半圓形均質(zhì)細(xì)桿對(duì)過(guò)細(xì)桿二端AA軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 A A R r sd d R M dddd M R R M sm ddRs sinRr mrJd 2 0 2 dsin M R 0 2 d2cos1 2 MR 2 2 MR 2021/6/16 9 附附4-4 一繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán)一繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán),角速度為角速度為若將它放在若將它放在 摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為水平桌面上水平桌面上,問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間停下來(lái)？問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間停下來(lái)？(已知已知 圓盤(pán)質(zhì)量為圓盤(pán)質(zhì)量為m半徑為半徑為R) 解：解： rrS R m d2d 2 ， z rd

7、rR rrSmd2dd rrgmgfd2dd rrgfrMd2dd 2 2021/6/16 10 R rrgMM 0 2 d2d 3 3 2 Rg 3 2 3 2 R R m g gmR 3 2 2021/6/16 11 R g mR gmR J M 3 4 2 1 3 2 2 g R t 4 30 00 gmRM 3 2 2 2 1 mRJ 2021/6/16 12 附附4-5 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l 質(zhì)量為質(zhì)量為m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置,其下端與一其下端與一 固定鉸鏈固定鉸鏈O相接相接,并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)。由于此豎直放置的細(xì)桿并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)。由于此豎直放置的細(xì)桿 處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)處于非穩(wěn)定平

8、衡狀態(tài),當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重 力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動(dòng)。試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到轉(zhuǎn)動(dòng)。試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到 與豎直線成與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度。角時(shí)的角加速度和角速度。 解：解：細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的 約束力約束力FN作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得： m,l O mg N F Jmgl sin 2 1 2 3 1 mlJ sin 2 3 l g 13 m,l O mg N F t t d d d d d d 由角加速度的定義由角加速度的定義 d d l g dsin 2 3 d 00 dsin

9、2 3 d l g )cos1 ( 3 l g 2021/6/16 14 附附14-1 已知已知 介子在其靜止系中的半衰期為介子在其靜止系中的半衰期為1.810-8s。 今有一束今有一束 介子以的速度介子以的速度v=0.8c離開(kāi)加速器，試問(wèn)，從實(shí)離開(kāi)加速器，試問(wèn)，從實(shí) 驗(yàn)室參考系看來(lái)驗(yàn)室參考系看來(lái),當(dāng)當(dāng) 介子衰變一半時(shí)飛越了多長(zhǎng)的距離介子衰變一半時(shí)飛越了多長(zhǎng)的距離? 8 0 1.8 10ts 解：在解：在 介子的靜止系中，半衰期為是本征時(shí)間：介子的靜止系中，半衰期為是本征時(shí)間： 由時(shí)間膨脹效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)室由時(shí)間膨脹效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)室 參系中的觀察者測(cè)得的同參系中的觀察者測(cè)得的同 一過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間為：一

10、過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間為： 8 0 2 2 3 10 ( ) 1 t ts v c 7.2dv tm 因而飛行距離為因而飛行距離為 2021/6/16 15 附附14-2 一靜止體積為一靜止體積為V0，靜止質(zhì)量為，靜止質(zhì)量為m0的立方體沿其的立方體沿其 一棱的方向相對(duì)于觀察者一棱的方向相對(duì)于觀察者A以速度以速度v 運(yùn)動(dòng)，則觀察者運(yùn)動(dòng)，則觀察者A測(cè)測(cè) 得立方體的體積、質(zhì)量和質(zhì)量密度為多少？得立方體的體積、質(zhì)量和質(zhì)量密度為多少？ 2 2 0 2 2 000 11 c -V c -LLLV vv 3 00 LV 立方體靜止時(shí)的邊長(zhǎng)。立方體靜止時(shí)的邊長(zhǎng)。 0 L 2 2 0 0 1 c - m mm v 2

11、021/6/16 16 2 2 0 2 2 0 1 1 c -V c - m V m v v 2 2 0 1 c -VV v 2 2 0 1 c - m m v 22 2 0 v c c 0 0 0 V m 2021/6/16 17 解解: 0 2EE 2 cc 2 3 v 2 0 2 1cmmcEK 0 2mm 00 EEE 2 3 附附14-3 已知一粒子的靜止質(zhì)量為已知一粒子的靜止質(zhì)量為m0，當(dāng)其動(dòng)能等于，當(dāng)其動(dòng)能等于 其靜止能量時(shí)，求粒子的質(zhì)量、速率和動(dòng)量。其靜止能量時(shí)，求粒子的質(zhì)量、速率和動(dòng)量。 0 mm cmmp 0 3 v 2021/6/16 18 附附14-4 兩個(gè)靜止質(zhì)量都是兩個(gè)靜止質(zhì)量都是m0的小球，其中一個(gè)靜止，的小球，其中一個(gè)靜止， 另一個(gè)以另一個(gè)以v=0.8c運(yùn)動(dòng)，在它們做對(duì)心碰撞后粘在一起，運(yùn)動(dòng)，在它們做對(duì)心碰撞后粘在一起， 求：碰后合成小球的靜止質(zhì)量。求：碰后合成小球的靜止質(zhì)量。 解：設(shè)碰撞前運(yùn)動(dòng)的小球的質(zhì)量為解：設(shè)碰撞前運(yùn)動(dòng)的小球的質(zhì)量為m1，碰撞后合成的小，碰撞后合成的小 球的質(zhì)量和速度分別為球的質(zhì)量和速度分別為M和和V。 0 2 2 0 1 3 5 1 m c - m m v 碰撞前