高一數(shù)學(xué)必修一,二知識點(diǎn)總結(jié)

1、高中高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點(diǎn)總結(jié)第一章 集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素2、集合的中元素的三個(gè)特性：1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性說明：(1)對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性

2、。3、集合的表示： 如我校的籃球隊(duì)員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。注意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R關(guān)于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 aA ，相反，a不屬于集合A 記作 aA列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法。語

3、言描述法：例：不是直角三角形的三角形數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-32的解集是xR| x-32或x| x-324、集合的分類：1有限集 含有有限個(gè)元素的集合2無限集 含有無限個(gè)元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2“相等”關(guān)系(55，且55，則5=5)實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”結(jié)論：對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都

4、是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同時(shí) BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AB(讀作”A并B”)，即AB=

5、x|xA，或xB3、交集與并集的性質(zhì)：AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集與補(bǔ)集（1）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）記作： CSA 即 CSA =x | xS且 xA（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。（3）性質(zhì)：CU(C UA)=A (C UA)A= 二、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的

6、數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域注意：2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；3 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式定義域補(bǔ)充能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且

7、不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域再注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）（2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (

8、兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本21頁相關(guān)例2)值域補(bǔ)充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上 . 即記為C= P(x,y) | y

9、= f(x) , xA 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2) 畫法A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來.B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變(3)作用：1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。4快去了解區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間

10、的數(shù)軸表示5什么叫做映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A B為從集合A到集合B的一個(gè)映像。記作“f：A B”給定一個(gè)集合A到B的映像，如果aA,bB.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對于映射f：AB來說，則應(yīng)滿足：（）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且

11、象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù) （參見課本P24-25）在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范

12、圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=fg(x)=F(x)，(xA) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7函數(shù)單調(diào)性（1）增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(

13、x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間（睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念）如果對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2 時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2 必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有f(x1)f(x2) 。（2） 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是

14、上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：1 任取x1，x2D，且x11，且 *當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的 次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)此時(shí)， 的 次方根用符號 表示式子 叫做根式（radical），這里 叫做根指數(shù)（radical exponent）， 叫做被開方數(shù)（radicand）當(dāng) 是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)此時(shí)，正數(shù) 的正的 次方根用符號 表示，負(fù)的 次方根用符號 表示正的 次方根與負(fù)的 次方根可以合并成 （ 0）由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。注意：當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)， ，當(dāng) 是偶

15、數(shù)時(shí)， 2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)（exponential ），其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1圖象特征 函數(shù)性質(zhì)1.向x、y軸正負(fù)方向無限延伸 函數(shù)的定義域?yàn)镽2.圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù)3.函數(shù)圖象都在x軸上方 4.函數(shù)的值域?yàn)镽+5.函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1）6.自左

16、向右看圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降圖象上升趨勢是越來越陡 圖象上升趨勢是越來越緩 函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快； 函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在a，b上， 值域是 或 ；（2）若 ，則 ； 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ；（3）對于指數(shù)函數(shù) ，總有 ；（4）當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ；二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念：一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作： （ 底數(shù)， 真數(shù)， 對數(shù)式）兩個(gè)重要對數(shù)：1 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù) ；2 自然對數(shù)：以無理數(shù) 為底的對數(shù)的對數(shù) （二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概

17、念：函數(shù) ，且 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意：1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。圖象特征，函數(shù)性質(zhì)1.函數(shù)圖象都在y軸右側(cè) 函數(shù)的定義域?yàn)椋?，）2.圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱 非奇非偶函數(shù)3.向y軸正負(fù)方向無限延伸 函數(shù)的值域?yàn)镽4.函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）自左向右看，圖象逐漸上升，自左向右看，圖象逐漸下降（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（2） 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間 上是增函數(shù)特別地，當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù)的

18、圖象下凸；當(dāng) 時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3） 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當(dāng) 趨于 時(shí)，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸第三章 函數(shù)的應(yīng)用、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù) ，把使 成立的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn)3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù) 的零點(diǎn)：1 （代數(shù)法）求方程 的實(shí)數(shù)根；2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)

19、的性質(zhì)找出零點(diǎn)4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù) 1）0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2）0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)高一數(shù)學(xué)必修43）0，方程 無2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次

20、將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為終邊所落在的區(qū)域5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是7、弧度制與角度制的換算公式：，8、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，9、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，Pvx y A O M T 10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正11、三角函數(shù)線：，12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限，口訣：奇變偶不變，符號看

21、象限14、函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象函數(shù)的性質(zhì)：振幅：；周期：；頻率：；相位：；初相：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上