哈工大控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)大作業(yè)——直線一級(jí)倒立擺控制器設(shè)計(jì)14頁(yè)

1、Harbin Institute of Technology課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書（論文）課程名稱： 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)題目：直線一級(jí)倒立擺控制器設(shè)計(jì)院 系：航天學(xué)院控制科學(xué)與工程系班 級(jí)： 設(shè) 計(jì) 者： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 羅晶 設(shè)計(jì)時(shí)間： 2012.8.272012.9.9 哈爾濱工業(yè)大學(xué)教務(wù)處哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計(jì)任務(wù)書 姓 名： 張盛博 院 （系）：航天學(xué)院控制科學(xué)與工程系 專 業(yè)： 探測(cè)制導(dǎo)與控制技術(shù) 班 號(hào)：0904201 任務(wù)起至日期： 2012 年 8 月 27 日至 2012 年 9 月 9 日 課程設(shè)計(jì)題目： 直線一級(jí)倒立擺控制器設(shè)計(jì) 已知技術(shù)參數(shù)和設(shè)計(jì)要求：本課程設(shè)計(jì)的

2、被控對(duì)象采用固高公司的直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)GIP-100-L。系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：小車質(zhì)量 0.5 Kg ；擺桿質(zhì)量0.2 Kg ；小車摩擦系數(shù)0.1 N/m/sec ； 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.3 m ；擺桿慣量0.006 kg*m*m ；采樣時(shí)間0.005秒。設(shè)計(jì)要求：1推導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。用Matlab進(jìn)行階躍輸入仿真，驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2設(shè)計(jì)PID控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.1N的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）穩(wěn)定時(shí)間小于5秒；（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度。3設(shè)計(jì)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.2m的階躍信號(hào)時(shí)，閉

3、環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時(shí)間小于3秒（2）的上升時(shí)間小于1秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。 工作量：1. 建立直線一級(jí)倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型；2. 倒立擺系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計(jì)、MATLAB仿真及實(shí)物調(diào)試；3. 倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)、MATLAB仿真及實(shí)物調(diào)試。 工作計(jì)劃安排：第3周 （1）建立直線一級(jí)倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型；（2）倒立擺系統(tǒng)的PID控制器設(shè)計(jì)、MATLAB仿真；（3）倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)、MATLAB仿真。第4周 （1）實(shí)物調(diào)試；（2）撰寫課程設(shè)計(jì)論文。 同組設(shè)計(jì)者及分工：各項(xiàng)工作獨(dú)立完成。 指導(dǎo)

4、教師簽字_ 年 月 日 教研室主任意見(jiàn)： 教研室主任簽字_ 年 月 日*注：此任務(wù)書由課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)教師填寫。一、 直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)及建立 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關(guān)系。 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是經(jīng)過(guò)小心

5、的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面我們采用其中的牛頓歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 1.1、微分方程的推導(dǎo) 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng). 下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿水平和垂直方向的分量。圖1（a）小車隔離受力圖 （b）擺桿隔離受力圖本系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)定義如下： M : 小車質(zhì)量 m：擺桿質(zhì)量 b：小車摩擦系數(shù) l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I：擺桿慣量 F：加在小車上的力 x：小車位置 ：擺桿與垂直

6、向上方向的夾角 ：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定,因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：即 把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 即 力矩平衡方程如下： 注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負(fù)號(hào)。 合并這兩個(gè)方程，約去P和N ，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：1、微分方程模型 設(shè)=+（是擺桿與垂直向上方向之間

7、的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小,即1，則可以進(jìn)行近似處理：。用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F ，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： 2、傳遞函數(shù) 對(duì)以上微分方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。 由于輸出為角度為，求解方程組上述方程組的第一個(gè)方程，可以得到或者 （1-12）如果令，則有 （1-13）把上式代入10式，則有： （1-14）整理： （1-15）其中 3、狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型，可得狀態(tài)方程二、 直線一級(jí)倒立擺PID控制器設(shè)計(jì)2.1、PID控制器各個(gè)校正環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),PID控制器各個(gè)校正環(huán)節(jié)的作用如下:（1） 比例環(huán)節(jié)：成比例的反應(yīng)控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)

8、e(t)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。（2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)T1，T1越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。（3） 微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)（變化速率），并能在偏差信號(hào)值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)節(jié)時(shí)間。22、PID控制器的設(shè)計(jì)及MATLAB仿真 首先，對(duì)于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上。系構(gòu)框圖如下： 圖3 直線一級(jí)倒立擺PID控制系統(tǒng)框圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù)，G(s)是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。考慮到輸入r(s)=0，結(jié)構(gòu)圖可以

9、很容易的變換成圖4 直線一級(jí)倒立擺PID控制簡(jiǎn)化系統(tǒng)框圖 該系統(tǒng)的輸出為 其中，num被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) den被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) numPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) denPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) 被控對(duì)象的傳遞函數(shù)是 其中：PID控制器的傳遞函數(shù)為 需仔細(xì)調(diào)節(jié)PID 控制器的參數(shù)，以得到滿意的控制效果。 前面的討論只考慮了擺桿角度，那么，在我們施加控制的過(guò)程中，小車位置如何變化呢？ 考慮小車位置，得到改進(jìn)的系統(tǒng)框圖如下：圖5 直線一級(jí)倒立擺PID控制改進(jìn)系統(tǒng)框圖 其中，G1(s)是擺桿傳遞函數(shù)，G2(s)是小車傳遞函數(shù)。 由于輸入信號(hào)r(s)=0 ，所以可以

10、把結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成：圖5 直線一級(jí)倒立擺PID控制簡(jiǎn)化后改進(jìn)系統(tǒng)框圖其中，反饋環(huán)代表我們前面設(shè)計(jì)的控制器。 小車位置輸出為：其中，num1 ,den1,num2, den2 分別代表被控對(duì)象1和被控對(duì)象2傳遞函數(shù)的分子和分母。 numPID和denPID 代表PID 控制器傳遞函數(shù)的分子和分母。 下面我們來(lái)求G2(s)，根據(jù)前面的推導(dǎo):可以推出小車位置的傳遞函數(shù)為:其中：可以看出，den1=den2=den，小車的傳遞函數(shù)可以簡(jiǎn)化成： 2.3、PID控制器參數(shù)的調(diào)節(jié)按題目要求，施加0.1N的脈沖信號(hào)，觀察指標(biāo)。脈沖信號(hào)仿真源程序?yàn)椋篗 = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006

11、;g = 9.8;l = 0.3;num1 = m*l;den1 = (I+m*l2) 0 -m*g*l;Kp = 1;Ki = 0; Kd = 0;numPID = Kd Kp Ki;denPID = 1 0;num = conv(num1,denPID);den = polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1 ); r,p,k = residue(num,den);s = p t=0:0.005:5;impulse(0.1*num,den,t)grid當(dāng)系統(tǒng)加入PID控制器后的方框圖為：直線一級(jí)倒立擺PID控制MATLAB仿真模型由所查閱資料，調(diào)節(jié)

12、Kp，會(huì)影響ess和振蕩次數(shù)以及ts；Kp太大不穩(wěn)定，Kp可以選擇負(fù)數(shù)。調(diào)節(jié)Ki，會(huì)影響穩(wěn)定性，ess。調(diào)節(jié)Kd,會(huì)影響，ts;由于Kd的特殊性，必須選擇合適的Kd才能使與ts均位于合適的范圍。具體的調(diào)試過(guò)程：先調(diào)節(jié)Kp使系統(tǒng)穩(wěn)定；再調(diào)節(jié)Kd使系統(tǒng)僅有一次振蕩；最后調(diào)節(jié)Ki使ess為0。令Kp=130、Ki=130、Kd=10，得到以下仿真結(jié)果：直線一級(jí)倒立擺PID控制仿真結(jié)果圖（Kp=130、Ki=130、Kd=10）4、PID系統(tǒng)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：PID控制優(yōu)點(diǎn)明顯，應(yīng)用廣泛。PID能消除穩(wěn)態(tài)誤差；同時(shí)可以減少超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高；并且能加快系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，減小調(diào)整時(shí)間，從

13、而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。缺點(diǎn)：PID控制的過(guò)度期比較長(zhǎng)，上升過(guò)程中波動(dòng)明顯；當(dāng)然，較好的PID控制效果是以已知被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型為前提的，當(dāng)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型未知時(shí)，PID控制的調(diào)試將會(huì)有很大的難度。三、 狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)，解得=0.59，wn=3.39=0.804，符合要求。根據(jù)（1）擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時(shí)間小于3秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%求得閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為：，選取另兩個(gè)極點(diǎn)為-12，-12。則：1、 仿真程序：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5000 0;B=0;1;0;2.5000;C=1 0 0 0

14、;0 0 1 0;D=0;0;J=-12 0 0 0;0 -12 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i;JA=poly(A);a1=JA(2);a2=JA(3);a3=JA(4);a4=JA(5);M=B A*B A2*B A3*B;W=a3 a2 a1 1;a2 a1 1 0;a1 1 0 0;1 0 0 0;T=M*W;JJ=poly(J)aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);aa4=JJ(5);K=aa4-a4 aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1*(inv(T);Ac = (A-B*K);Bc = B;Cc = C;Dc =

15、D;T = 0:0.005:5;U = 0.2*ones(size(T);Cn = 1 0 0 0;Nbar = rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn = Nbar*B;Y,X = lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);figure(1)plot(T,X(:,1),r);grid;legend(Cart Position);figure(2);plot(T,X(:,3),g);grid;legend(Pendulum Angle);K =1.0e+003 *(-6.0245 -2.4514 8.5677 1.0782)倒擺小車位置、倒擺小車速度、倒擺傾角、倒擺傾角速度的響應(yīng)曲線倒擺小車位置響應(yīng)曲線倒擺傾角的響應(yīng)曲線狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)是極點(diǎn)的任意配置，無(wú)論開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在什么位置，都可以任意配置期望的閉環(huán)極點(diǎn)。這為我們提供了控制系統(tǒng)的手段，假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以被測(cè)量和反饋的話，狀態(tài)反饋可以提供簡(jiǎn)單而適用的設(shè)計(jì)四、 實(shí)物調(diào)試試驗(yàn)4.1直線一級(jí)倒立擺PID控制實(shí)驗(yàn)采用固高科技的一級(jí)倒立擺模型進(jìn)行PID控制器實(shí)物調(diào)試，系統(tǒng)框圖如圖所示：直線一級(jí)倒立擺MATLAB-PID實(shí)時(shí)控制界面由實(shí)驗(yàn)結(jié)果所示可看出系統(tǒng)較穩(wěn)定，調(diào)節(jié)過(guò)程比較平穩(wěn)，干擾作用下，系統(tǒng)能很快回到平衡位置，說(shuō)明這組PID參數(shù)具有較好的控制效果,滿足設(shè)計(jì)要求。直線一級(jí)倒立擺PID控制