應(yīng)用基本不等式求最值

1、應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)用基本不等式求最值 一、基本不等式回顧一、基本不等式回顧 如果如果a, , b是正數(shù)是正數(shù), , 那么那么 (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)號(hào)) (均值均值 不等式不等式) 2 ab ab 2 xy x y 2 2 2 xy xyxy xy 設(shè)設(shè) ，則有，則有, x y均為正數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)，“=”成立成立xy 公式運(yùn)用公式運(yùn)用 正用、逆用變形應(yīng)用正用、逆用變形應(yīng)用 二、基本不等式的應(yīng)用二、基本不等式的應(yīng)用 1.基本不等式可證明簡單的不等式基本不等式可證明簡單的不等式 2.應(yīng)用基本不等式求最值的問題應(yīng)用基本不等式求最值的問題 最值定理：積定和最小最值

2、定理：積定和最小 和定積最大和定積最大 2 x+y 2 xy 2xyxy 注意：注意：各項(xiàng)皆為正數(shù)；各項(xiàng)皆為正數(shù)； 和為定值或積為定值；和為定值或積為定值； 注意等號(hào)成立的條件注意等號(hào)成立的條件. . 一一“正正”， 二二“定定”， 三三“相等相等”. . 二、應(yīng)用基本不等式求最值的問題二、應(yīng)用基本不等式求最值的問題 (1)利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟: 例一例一1)1)若若x0,f(x)= x0,f(x)= 的最小值為的最小值為 _;_;此時(shí)此時(shí)x=_.x=_. x x 3 12 解解: :因?yàn)橐驗(yàn)閤0,x0, 2) 2)若若x x 0,f(x)= 0,f(x

3、)= 的最大值的最大值_; _; 此時(shí)此時(shí)x=_.x=_. x x 3 12 即當(dāng)即當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)的最小值為時(shí)函數(shù)的最小值為12. 122 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取等號(hào)等號(hào), , 12 3xx2 x 即即 12 f(x)3x x 123 12 2x x 一正一正 二定二定 三相等三相等 二、應(yīng)用基本不等式求最值的問題二、應(yīng)用基本不等式求最值的問題 (1)利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟: 2) 2)若若x x 0,f(x)= x0,f(x)= 的最小值為的最小值為_;_;此時(shí)此時(shí)x=_.x=_.x x 3 12 2)2)若若x x 0,f(x)= 0,f(x)=

4、的最大值為的最大值為_;_;此時(shí)此時(shí)x=_.x=_.x x 3 12 122 -12-2 錯(cuò)解錯(cuò)解! ! 22 22 55 f(x)log x2 log x2 5 log xlog x 22 0 x1log x0 -log x0， 注意注意: :各項(xiàng)必須為正數(shù)各項(xiàng)必須為正數(shù) 正解正解: 2 2 5 f(x)log x-2 5 log x max f(x)2 5 2 2 5 f(x)log x(0 x1) log x 的范圍的范圍 練習(xí)：求函數(shù)練習(xí)：求函數(shù) 5 2 2 5 log,2, log xx x 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí) 一正一正 二定二定 三相等三相等 1 yx x1 1 x11 x1 1 1 x

5、 x例二例二. 函數(shù)函數(shù)y= (x 0)的最小值為的最小值為 _,此時(shí)此時(shí)x=_. 解解: 2-1=1 1 x1x0 x1 即即當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)號(hào) 01 2.應(yīng)用基本不等式求最值的問題應(yīng)用基本不等式求最值的問題 (1)利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟: (2)先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值: ,二不定 需變形積或和為定值 1 x0,0 x1 構(gòu)造積為定值構(gòu)造積為定值 解解: 1 例二:函數(shù)y=x+(x0)的最小值=_ x+1 此時(shí)x=_ 設(shè)t=x+1,則x=t-1 1 ,y=t-1+ t x0, t1 1 211t

6、 t 1 y=t-1+ t 1 當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1,x=0時(shí),取等號(hào) t y的最小值=1,此時(shí)x=0 1 1 x x例二例二. 函數(shù)函數(shù)y= (x 0)的最小值為的最小值為_,此時(shí)此時(shí)x=_. 01 2.應(yīng)用基本不等式求最值的問題應(yīng)用基本不等式求最值的問題 (1)利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟: (2)先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值: )1( 1 13 )( 2 x x xx xf變式變式2.求函數(shù)求函數(shù) 的最小值的最小值. 4 ( )(-1) 1 f xxx x 變式變式1.求函數(shù)求函數(shù) 的最小值的最小值. 1 ( )(13

7、 ),(0) 3 f xxxx變式變式3.求函數(shù)求函數(shù) 的最的最大大值值. ,二不定 需變形積或和為定值 1 0,. 3 已知求函y=x 1-3x 的最大值x 解法一：解法一： 2 2 函函數(shù)數(shù)y y= =x x 1 1- -3 3x x = =- -3 3x x + +x x, , 然然后后利利用用二二次次函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)即即可可求求解解. . 變式變式3. 解法二解法二:(利用均值不等式性質(zhì)利用均值不等式性質(zhì)) 1 030 , 1 30 3 xxx解解: 2 1 31 3 3 1 31 3 32 1 12 yxx xx 1 . 12 max 1 當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x即x= 時(shí)有y 6

8、 1 練習(xí)4:己知0 x0)的單調(diào)性的單調(diào)性. 1 yt t t( 0 , 1 單調(diào)遞減單調(diào)遞減t1 ,) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增 依據(jù)依據(jù): : 正解正解: : 22 22 x5x41 y x4x4 2 2 1 x4 x4 2 tx4 令令 1 (2)ytt t 則 min 5 2,:0, 2 txy當(dāng)即時(shí) ,三不等 常用單調(diào)性 答案：D 2.下列函數(shù)中，最小值為下列函數(shù)中，最小值為4的是的是 _. x x xy0 sin 4 sin -xx eey 4 103loglog 3 xxy x x xy 4 例四例四. .已知正數(shù)已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1， 求求 yx 1

9、1 的最小值的最小值 22 1 22 1 xy xy即 xyyx2221 24222 1 2 11 xyyx 即即 的最小值為的最小值為 yx 11 24 過程中兩次運(yùn)用過程中兩次運(yùn)用 了基本不等式中取了基本不等式中取 “=”號(hào)過渡，而號(hào)過渡，而 這兩次取這兩次取“=”號(hào)號(hào) 的條件是不同的，的條件是不同的， 故結(jié)果錯(cuò)。故結(jié)果錯(cuò)。 錯(cuò)因：錯(cuò)因： 解：解： 例例. .已知正數(shù)已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1， 求求 yx 11 的最小值的最小值 解： 223 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) y x x y2 即即:xy2時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)號(hào) 12 2 yx xy 而 22 2 22 1 y

10、x 即此時(shí)即此時(shí)223 min y yx 11 y yx x yx 22 y x x y2 3 “1”代換法代換法 已知已知 ， ,求求x+y的最的最 小值。小值。 0, 0yx1 52 yx 【舉一反三舉一反三】 解解： 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào) y x x y52 5 52 2 y x x y 1027 y x x y 52 27 ) 52 )(1)( yx yxyx 【走近高考走近高考】 課堂小結(jié)：課堂小結(jié)： 二、基本不等式的應(yīng)用二、基本不等式的應(yīng)用 1.基本不等式可證明簡單的不等式基本不等式可證明簡單的不等式 2.應(yīng)用基本不等式求最值的問題應(yīng)用基本不等式求最值的問題 (1)利

11、用基本不等式求函數(shù)最值的步驟利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟: 一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等 ,0,02ababab 一不正常用 (2)先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值: (3)取不到等號(hào)時(shí)用函數(shù)單調(diào)性求最值取不到等號(hào)時(shí)用函數(shù)單調(diào)性求最值: ,三不等 常用單調(diào)性 ,二不定 需變形積或和為定值 1.,6, ,. ,6,3, ,. m nmnmn mn m nmnmn mn （1）若正數(shù)滿足則有最值 此時(shí) （2）若正數(shù)滿足則有最值 此時(shí) 大大9 33 小小 26 23 2 【練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固】 【練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固】 2.下列函數(shù)中，最小值為下列函數(shù)中，最小

12、值為4的是的是_. x x xy0 sin 4 sin -xx eey 4 103loglog 3 xxy x x xy 4 2 2 2 22 min 2 16 3. (1)sin(,)8 sin (2)1( )loglog2,); 88 (3),2,8; 2 (4)2 1 _ ax ykkZ xf xxa xRyxxxy xx x y x 最小值是 ； 設(shè)，則的值域是 設(shè)則中當(dāng)時(shí) 的最小值是 其中正確命題的有 (4) 6.已知已知lgx+lgy1， 的最小值是的最小值是_. yx 25 2 7.已知已知x,y為正數(shù)為正數(shù),且且2x+8yxy，則，則x+y 的最小值是的最小值是_. 18 1

13、5.已知已知x ,則函數(shù)則函數(shù)y= 的最小值是的最小值是_. 5 4 1 42 45 x x 5 【練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固】 8.若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù) ，且，且 ，則，則 的最小的最小 值是值是 yx,5 yx yx 33 318 21,24 xy xy若求的能力提升：最小值。 24 xy 解： 2 22 11 ,2. 24 xy xy xy 當(dāng)且僅當(dāng)2即時(shí)取等號(hào) 當(dāng)時(shí)取到最小值為2 2 22 xy 2 2 22 xy 2 2 22 2 xy ( , )320 3271 xy x yxy y 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求 的最小值. 3 3 3 3 3332711 12 31 2317 333 1 17 3 2

14、33 , xy xy xy xy xy y xy xy 解： 當(dāng)且僅當(dāng)=即時(shí)取得等號(hào) 此時(shí)最小值為 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯(cuò)，指出有錯(cuò)誤的地方。閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯(cuò)，指出有錯(cuò)誤的地方。 11 21.abRab ab 1.已知 ，且，求的最小值 122 11 ,222) 11 ()2( 22 1 22 1 , baba ba b b a aRba，解法一： .24 11 , 1 222 ) 11 )(2( 11 ,12 的最小值為的最小值為 、及及解法二：由解法二：由 baab ab ba ba ba Rbaba 例五例五.錯(cuò)題辨析錯(cuò)題辨析 . 6 9

15、1 1 2 11 , 3 1 , 12 , 1 2 11 ba baba ba abba 又 成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)解法三： 正確解法正確解法“1”代換法代換法 . 11 12的最小值的最小值，求，求，且，且，已知已知 ba baRba 例五例五. .已知正數(shù)已知正數(shù)a a、b b滿足滿足a+2b=1a+2b=1，求，求 ba 11 的最小值的最小值 正解：正解： 223 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) b a a b 2 即即:ba2 時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)號(hào) 12 2 ba ba 而 22 2 22 1 a b 即此時(shí)即此時(shí)223 min z ba 11 b ba a ba22 b a a b 2 3 正確解法正確

16、解法“1”代換法代換法 均值不等式應(yīng)用（三） 解決實(shí)際問題 例六例六. （1）用籬笆圍成一個(gè)面積為）用籬笆圍成一個(gè)面積為 100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、 寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的 籬笆是多少？籬笆是多少？ （2）一）一段長為段長為36 m的籬笆圍成一個(gè)一的籬笆圍成一個(gè)一 邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、 寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大 面積是多少面積是多少? 例六（例六（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，的矩形菜

17、園， 問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最 短的籬笆是多少？短的籬笆是多少？ （2）一）一段長為段長為36 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形 菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積 最大，最大面積是多少最大，最大面積是多少? 解：（解：（1）設(shè)矩形菜園的長為）設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為，寬為y m， 則則xy=100，籬笆的長為，籬笆的長為2（x+y）m. 2 xy xy 2 100,xy 2()40 xy 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)時(shí)成立，

18、此時(shí)x=y=10. 因此，這個(gè)矩形的長、寬都為因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最時(shí)，所用的籬笆最 短，最短的籬笆是短，最短的籬笆是40m. 4 ( )(-1) 1 f xxx x 4 1 6 4 yx x1 4 x1 x1 解解: 4 4 x1x1 x1 即 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)號(hào) 1 x-1,0 x1 4 ( )(-1) 1 f xxx x （3） 值域?yàn)橹涤驗(yàn)?，+） 2 710 (1) 1 xx yx x 5 4 x 1 42 45 yx x 2 710 (1) 1 xx yx x 4 259t t 4 =t t 值域?yàn)橹涤驗(yàn)?，+） 5 4 x 1 42 45