《中位線》導(dǎo)學(xué)案.doc

1、23.4中位線課前知識(shí)管理1、連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位 .如圖1.在厶ABC中，點(diǎn)E, F分別是ABAC的中點(diǎn)，則線段 EF就是 ABC的一條中位線.定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半 用符號(hào)語(yǔ)言表述為：如圖，EF/ BC,并且 EF = 1 BC .2名師導(dǎo)學(xué)互動(dòng)典例精析：知識(shí)點(diǎn)1:用三角形中位線判斷四邊形形狀例1、在梯形ABCD中，AD/ BC, AB=CD E、F、GH分別是ABBC CD DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH()（A）等腰梯形（B）矩形（C）菱形（D）正方形【解題思路】因?yàn)樘菪蜛BCD中，AD/ BC AB=CD所以梯形為等腰梯形，等腰梯形的

2、對(duì)角 線長(zhǎng)相等，即 AC=BD而根據(jù)三角形中位線定理，可知EF與HG都平行且等于 AC的一半,同理，EH和FG都平行且等于BG的一半，所以EF=FG=GH=HE所以四邊形為菱形.【解】選C.【方法歸納】順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)， 原四邊形的兩條對(duì)角線和中點(diǎn)四邊形之間的關(guān)系為:原四邊形兩條對(duì)角線中點(diǎn)四邊形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四邊形對(duì)應(yīng)練習(xí)：順次連結(jié)等腰梯形四邊中點(diǎn)得到一個(gè)四邊形，再順次連結(jié)所得四邊形各邊中點(diǎn)得到的圖形是.答案：矩形.知識(shí)點(diǎn)2:利用三角形中位線計(jì)算例2、如圖，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC，AD = 3，BC = 5，AC，BD相交

3、于0點(diǎn)，且/ BOC =60；，順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得四邊形的周長(zhǎng)是（）B . 20C. 16A . 24D. 12【解題思路】過(guò)D作FD/ AC交BC的延長(zhǎng)線交于 E,由已知條件易知 DBE是等邊三角形， 而四邊形ACED為平行四邊形,易得AC=BD=BE=DE=AD+BC由三角形中位線定理可得,中位線 等于第三邊的一半，所以順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形的周長(zhǎng)為16.【解】選C.【方法歸納】梯形中常見(jiàn)的輔助線常有平移一腰，作底邊上的高線，平移一條對(duì)角線，延長(zhǎng)兩腰等方法通過(guò)輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為特殊三角形，或平行四邊形，矩形等以便找出等量關(guān) 系對(duì)應(yīng)練習(xí)：如圖所示，EF是厶ABC的中位

4、線，BD平分.ABC交EF于D，若ED=2，則EB=知識(shí)點(diǎn)3:應(yīng)用三角形中位線定理說(shuō)明角相等例3、已知，如圖，四邊形 ABCD中，AB = CD , E、F分別是 AD、BC的中點(diǎn)，BA、FE 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) M , CD、FE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) N.試說(shuō)明：/ AME =Z DNE.【解題思路】 因E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，可考慮連結(jié) BD，構(gòu)造出中位線【解】連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)O,連結(jié)0E、OF.易得EO= - AB，且EO / AB , FO= - CD , 2 2且 FO/ CD. / OEF = Z AME，/ OFE = Z DNE. 又因?yàn)?AB = CD , EO= FO

5、，/ OEF=Z OFE，/ AME =Z DNE.【方法歸納】要善于利用點(diǎn)構(gòu)造“中位線”研究相關(guān)問(wèn)題，一般是由“中點(diǎn)”聯(lián)想到“中位 線”，多數(shù)情況下這個(gè)想法是行得通的.對(duì)應(yīng)練習(xí)：如圖所示，在ABC中，AC=5，中線AD=4，則AB邊的取值范圍是（）A. 1 ： AB ： 9 B. 3 ： AB : 13C. 5 ： AB : 13D. 9 ： AB ： 13答案：B知識(shí)點(diǎn)4 :應(yīng)用三角形中位線定理證明線段相等例4、如圖所示，在 ABC中，D E分別是 AB AC上的點(diǎn)，且 BD=CE M N分別是BE CD 的中點(diǎn)，過(guò) M N的直線交 AB于P,交AC于點(diǎn)Q.求證：AP=AQ.【解題思路】

6、欲證AP=AQ可考慮證明NAPQ=NAQP.根據(jù)題設(shè)條件，可取 BC的中點(diǎn)F, 連結(jié)FM FN,（如圖3）貝U MF NF分別是 BCED BCD的中位線.利用BD=CE易證FM=FN 從而.1-/2，由平行線的性質(zhì)可知.1 =/APQ2二/AQP，于是.APQ二/AQP成 立，進(jìn)而結(jié)論成立.【解】證明：取BC的中點(diǎn)F,連結(jié)FM FN,由條件知：MF NF分別是 BCED BCD的中11位線， FM/ AC, FN/ BD, FM = CE,FN = BD ,二 N APQ1,NAQP2 .又因22為 BD=CE 所以 FM=FM . 1-/2，所以 APQ =/AQP，所以 AP=AQ.【方

7、法歸納】 若已知條件中有中點(diǎn)， 常取某一邊中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線，運(yùn)用三角形中 位線性質(zhì)定理得到某些線段相等或角相等對(duì)應(yīng)練習(xí)：已知，如圖，四邊形 ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)0,且AC = BD , E、F分別 是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于點(diǎn)M、N.試說(shuō)明：0M = 0N.解：取 AB 的中點(diǎn) P,連結(jié) EP、FP易得 EP= 1 BD 且 EP / BD , FP= - AC 且 FP/ AC.2 2DNE =Z PEN，/ CMF =Z PFM ,又 AC = BD , PE= PF,./ PEN = Z PFMDNE = Z CMF OM = ON.知識(shí)點(diǎn)5 :應(yīng)用中位

8、線定理求面積例5、如圖，在 ABC中，BCAC,點(diǎn)D在BC上，且 DC = AC，/ ACB的平分線 CF交 AD于F,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié) EF，若四邊形BDFE的面積為6,求厶ABD的面積.【解題思路】由題意，易得EF / BD，空=-，并推出 AEFABD ,=(-)2 ,BD 2S出bd2S_6-即 匹(一)2，從而可求出 ABD的面積.S.ABD2點(diǎn)【解】T CF平分.ACB , . - r/2.又 DC =AC , CF是厶ACD的中線,F是AD的中點(diǎn)./點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)， EF / BD ,EFAEF s ABD，BD-6S.BD _ 6 _ ()2S ABD21 2-(2)，

9、 S.AEF - S ABD 1 S四邊形 BDFE - SABDS abd =8，即 ABD的面積為8.【方法歸納】在運(yùn)用相似三角形的面積比等于相似比的平方”這一性質(zhì)時(shí)，同樣要注意是對(duì) 應(yīng)三角形的面積比.不要犯由EF : BD=1 : 2,得AEF : Sa ABD =1 : 2,或 SAEF : S 四邊形 BDFE =1 : 2,之類的錯(cuò)誤.對(duì)應(yīng)練習(xí)：已知，如圖，ABC的中線AD、BE交于點(diǎn)G試說(shuō)明：Sabg = S四邊形cegd.解：連結(jié)DE，易得DE / AB , S ABE = SABD .又因?yàn)?AD 是 ABC 的 BC 邊上的中線，- Sabd = Sacd , Sabe =

10、 Sacd. /. Sabe Saeg=SACD SAEG，即卩 SABG = S 四邊形 CEGD.易錯(cuò)警示例6、已知等腰 ABC中，/ C=90 , AB=10 , D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求 DE的長(zhǎng).1錯(cuò)解：由已知可得，DE是厶ABC的中位線，所以 DE=AB=5.2錯(cuò)因分析：DE是厶ABC的中位線沒(méi)錯(cuò)，但中位線 DE的第三邊卻不是 AB，而是BC,造成錯(cuò)解的原因是對(duì)中位線定理中的“第三邊”理解不透正解：由已知可得：BC=A B- 2=5 2 , 因此DE= - BC=乞2 .2 2課堂練習(xí)評(píng)測(cè)考點(diǎn)1:三角形中位線BC=2DE;1、如圖， ABC中，點(diǎn) D、E分別是 AB、AC的

11、中點(diǎn)，則下列結(jié)論：AD ab、ADEABC :其中正確的有（）AE AC（A） 3個(gè) 熊方亮（B） 2個(gè)（C） 1個(gè)（D） 0個(gè)2、如圖，AD是 ABC的中線，/ ADC=45 ,把 ADC沿AD 對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置, 則BC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是 .R0C3、如圖，DE 是 ABC 的中位線，DE = 2cm , AB AC = 12cm，則 BC 二cm,梯形DBCE的周長(zhǎng)為 cm.課后作業(yè)練習(xí)【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1 連結(jié)三角形 的線段叫做三角形的中位線.2 三角形的中位線 于第三邊，并且等于 .3一個(gè)三角形的中位線有 條.4如圖（1）所示，EF是厶ABC的中位線，若 BC=8cm貝U EF

12、=cmSVJBD(1) (2)5 .三角形的三邊長(zhǎng)分別是(3)(4)3cm, 5cm, 6cm,則連結(jié)三邊中點(diǎn)所圍成的三角形的周長(zhǎng)是cm.6. 在Rt ABC中，/ C=90, AC=?5 ?BC=?12, ?則連結(jié)兩條直角邊中點(diǎn)的線段長(zhǎng)為 7. 若三角形的三條中位線長(zhǎng)分別為2cm, 3cm, 4cm,則原三角形的周長(zhǎng)為()A. 4.5cm B . 18cm C . 9cm D . 36cm&如圖 所示，A B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小聰想用繩子測(cè)量A B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，一位同學(xué)幫他想了一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A B的點(diǎn)C,找到AC, BC的中點(diǎn)D, E,并且測(cè)出DE的

13、長(zhǎng)為10m,則A, B間的距離為( )A. 15m B . 25m C . 30m D . 20m9 .已知 ABC的周長(zhǎng)為1,連結(jié) ABC的三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，？再連結(jié)第二個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類推，第2007個(gè)三角形的周長(zhǎng)是(A.2006B2007C.2 2006D.12200710.如圖所示，已知四邊形 ABCD R, P分別是DC BC上的點(diǎn)，E, F分別是AP, RP的 中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)， 那么下列結(jié)論成立的是()A.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大B .線段EF的長(zhǎng)逐漸減少C.線段EF的長(zhǎng)不變D .線段EF的長(zhǎng)不能確定11 .如圖(4),

14、在厶ABC中，E, D, F分別是 AB BC, CA的中點(diǎn)，AB=6, AC=4,則四邊形 AEDF? 的周長(zhǎng)是()A. 10 B . 20 C . 30 D . 40【應(yīng)用拓展】12.如圖所示, ABCD勺對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn) O, AE=EB求證:113. 如圖所示，在厶 ABC中，點(diǎn)D在BC上且CD=CA CF平分/ ACB AE=EB求證：EF BD.14. 如圖所示，已知在 口ABCD中, E, F分別是AD, BC的中點(diǎn)，求證： MN BC.【綜合提高】15. 某廠有一塊如圖所示的厶 ABC鐵板，根據(jù)需要，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)平行四邊形鐵板.要把材料完全利用起來(lái)，可怎樣加工？請(qǐng)

15、你利用學(xué)過(guò)的知識(shí)幫助工人師傅把切割的線用虛線畫出來(lái)，并指出加工后的平行四邊形.能否將此三角形鐵板加工成長(zhǎng)方形？請(qǐng)予以探索.16、如圖所示，在 ABC中，AD是中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的延長(zhǎng)線與 AC的交 點(diǎn)試說(shuō)明AF、FC的關(guān)系.17、如圖所示， AE平分/ BAC , BE丄AE，垂足為 E, D為BC的中點(diǎn)，/ BAE=3 6,則試求/ BED的度數(shù).18、已知：如圖所示，BD、CE分別是 ABC?的外角平分線，過(guò)點(diǎn) A作AF丄BD，AG丄CE,垂足分別為 F、G .連結(jié)FG,延長(zhǎng)AF、AG ,與直線BC相交，？易證FG=1-（AB+BC+AC ）.若（1） BD、CE分別是 ABC

16、的內(nèi)角平分線（如圖）；（2） ?BD?為2 ABC的內(nèi)角平分線，CE ABC的外角平分線（如圖），則在圖、圖兩種情況下， ?線段FG與厶ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，？并對(duì)其中的一種情況給予證明.23.4課堂作業(yè)參考答案:1、AADC=45，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知 DC =DC ,Z C DC=90 .又BD=CD，由勾股定理可知， BC =、.2BC3、4, 12課后作業(yè)參考答案：1、兩邊中點(diǎn)2、平行，第三邊的一半3、34、45、76、6.57、B8、D9、C10、C11、A12、由BO=D（和EA=EB得OE是中位線，所以 OE/ BC.13、 由等腰三角形三線合一得 FA=FD又由E是中點(diǎn)，所以EF是中位線，即得結(jié)論.14、提示：證厶AEMA FBM得ME=MB同理得NE=NC于是 皿“是厶EBC的中位線，即得結(jié)論15、參照?qǐng)D形：116、取BF的中點(diǎn)G,連結(jié) DG,貝U DG是厶BCF的中位線，DG= FC，再證明 AF=DG.217、延長(zhǎng)BE交AC于F,則AABE = AFE，那么AFB = 54 , DE是厶BCF的中位線，所以有 NBED=NBFC=126 .1118.解：猜想結(jié)果：圖中，F(xiàn)G= (AB+AC-BC );圖中，F(xiàn)G= (BC+AC-A