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1、高等代數(shù)第六章自測(cè)題第六章 線性空間 自測(cè)題一.填空題(20分)1.若是線性空間V的一個(gè)基,則滿足條件(1)是 ;(2)對(duì)V中任意向量, .2.數(shù)域P上的線性空間V的非空子集W是V的子空間的充要條件為 .3.已知為線性空間V的子空間, 為直和的充要條件為 .4.設(shè)V和W是數(shù)域P上兩個(gè)線性空間,V到W的一個(gè)同構(gòu)映射滿足如下三個(gè)條件:(1)是V到W的 ;(2)對(duì),有 ;(3)對(duì),有 .5.向量空間V的基到基的過(guò)渡矩陣為_(kāi) .6.復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域上的向量空間,則_,它的一個(gè)基為_(kāi) _.復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的向量空間,則_ _,它的一個(gè)基為_(kāi) _ _.二.選擇題(10分)1.若均為線性空間的子空間,則下
2、列等式成立的是( )(A); (B);(C); (D)2.按通常矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算,下列集合不構(gòu)成P上線性空間的是:( )(A); (B);(C); (D).3.數(shù)域P上線性空間的維數(shù)為,且任意中向量可由線性表出,則下列結(jié)論成立的是:( )(A); (B); (C); (D)4.設(shè)則( )(A)2; (B)3; (C)4; (D)55.設(shè)線性空間,則的基為:( )(A); (B); (C);(D)三.(10分) 在線性空間中求由線性方程組:所確定的的子空間的基和維數(shù).四.(15分)設(shè)中的兩個(gè)基分別為,,,.(1)求由基的過(guò)渡矩陣.(2)已知向量在基下的坐標(biāo)為,求在基下的坐標(biāo).五.(15分)
3、設(shè),,求及.六.(15分) 設(shè):1)證明:全體與A可交換的矩陣組成的一子空間,記作;2)當(dāng)A=E時(shí),求;3)當(dāng)時(shí),求的維數(shù)與一組基.七.(15分)已知的兩個(gè)子空間,證明:答案:一.1.線性無(wú)關(guān),可以由線性表示 2. 對(duì)V的加法和數(shù)乘封閉3. 或 4. 線性映射, 5. 6. 2,它的一個(gè)基為1,i; 2,它的一個(gè)基為1.二C C B C A三. 解:由,的維數(shù)為2,一組基為.四. 解:(1)由,過(guò)渡矩陣.(2) 坐標(biāo)為五.解:由,六. 證明 1)設(shè)與A可交換的矩陣的集合記為.顯然,,,故.若是一數(shù),可得,故.所以構(gòu)成的子空間。2)當(dāng)時(shí),.3)設(shè)為可與A交換的矩陣,由第四章習(xí)題5知,B只能是對(duì)角矩陣,故維數(shù)為;為一組基.七. 證明:顯然,又
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