高中直線與方程知識點解析及經(jīng)典例題

1、高中直線與方程知識點解析及經(jīng)典例題高中數(shù)學必修2知識點直線與方程一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與x軸的傾斜程度。當時，； 當時，； 當時，不存在。過兩點的直線的斜率公式： 注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接

2、求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。xyoa1a2l1l2例.如右圖，直線l1的傾斜角a=30，直線l1l2，求直線l1和l2的斜率.解：k1=tan30= l1l2 k1k2 =1k2 =例：直線的傾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.30（3）直線方程點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點式：（）即不包含于平行于x軸或y直線兩點軸的直線，直

3、線兩點，當寫成的形式時，方程可以表示任何一條直線。截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。對于平行于坐標軸或者過原點的方程不能用截距式。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）；例題：根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點A(8，2)； .(2)經(jīng)過點B(4,2)，平行于x軸； .(3)在軸和軸上的截距分別是； .4)經(jīng)過兩點P1(3，2)、P2(5，4)； .例1：直線的方程為Ax+By+C=0，若直線經(jīng)過原點且位于第二、四象限，則（ ）AC=0，B0BC

4、=0，B0，A0 CC=0，AB0例2：直線的方程為AxByC=0，若A、B、C滿足AB.0且BC0，則l直線不經(jīng)的象限是（ ） A第一 B第二 C第三 D第四 （4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）過定點的直線系（）斜率為k的直線系：，直線過定點；（）過兩條直線，的交點的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（三）垂直直線系垂直于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系： 例1：直線l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0所經(jīng)過的定點為 。(mR)（5）兩直線平行與垂直當，時，（1）；（2）注意：利用斜率

5、判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（3）與重合；（4）與相交。另外一種形式：一般的，當， 與時，（1），或者。（2）。（3）與重合=0。（4）與相交。例.設直線 l1經(jīng)過點A(m，1)、B(3，4)，直線 l2經(jīng)過點C(1，m)、D(1，m+1)， 當(1) l1/ / l2 (2) l1l1時分別求出m的值例1.已知兩直線l1： x+(1+m) y =2m和l2：2mx+4y+16=0，m為何值時l1與l2相交平行例2. 已知兩直線l1：(3a+2) x+(14a) y +8=0和l2：(5a2)x+(a+4)y7=0垂直，求a值（6）兩條直線的交點 相交交點坐標即方程組的一組解

6、。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合例3.求兩條垂直直線l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y2=0的交點坐標例4. 已知直線l的方程為，(1)求過點（2，3）且垂直于l的直線方程；(2)求過點（2，3）且平行于l的直線方程。例2：求滿足下列條件的直線方程(1) 經(jīng)過點P(2，3)及兩條直線l1： x+3y4=0和l2：5x+2y+1=0的交點Q；(2) 經(jīng)過兩條直線l1： 2x+y8=0和l2：x2y+1=0的交點且與直線4x3y7=0平行；(3) 經(jīng)過兩條直線l1： 2x3y+10=0和l2：3x+4y2=0的交點且與直線3x2y+4=0垂直；（7）兩點間距離公式：設是平面直角坐

7、標系中的兩個點，則 （8）點到直線距離公式：一點到直線的距離（9）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。對于 來說：。例1：求平行線l1：3x+ 4y 12=0與l2： ax+8y+11=0之間的距離。例2：已知平行線l1：3x+2y 6=0與l2： 6x+4y3=0，求與它們距離相等的平行線方程。 (10) 對稱問題1) 中心對稱 A、若點及關于對稱，則由中點坐標公式得 B、直線關于點的對稱，主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們對于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用，由點斜式得出所求直線的方程。2)

8、軸對稱 A、點關于直線的對稱： 若與關于直線對稱，則線段的中點在對稱軸上，而且連結的直線垂直于對稱軸，由方程組可得到點關于對稱的點的坐標（其中。 B、直線關于直線的對稱：此類問題一般轉化為關于直線對稱的點來解決，若已知直線與對稱軸相交，則交點必在與對稱的直線上，然后再求出上任一個已知點關于對稱軸對稱的點，那么經(jīng)過交點及點的直線就是；若已知直線與對稱軸平行，則與對稱的直線和到直線的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出的對稱直線。例1：已知直線l：2x3y+1=0和點P(1，2). (1) 分別求：點P(1，2)關于x軸、y軸、直線y=x、原點O的對稱點Q坐標(2) 分別求：直線l

9、：2x3y+1=0關于x軸、y軸、直線y=x、原點O的對稱的直線方程.(3) 求直線l關于點P(1，2)對稱的直線方程。(4) 求P(1，2)關于直線l軸對稱的直線方程。例2：點P(1，2)關于直線l： x+y2=0的對稱點的坐標為 。11. 中點坐標公式：已知兩點P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，則線段的中點M坐標為(，)例. 已知點A(7，4)、B(5,6),求線段AB的垂直平分線的方程直線方程練習題1過點且平行于直線的直線方程為_2若直線x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，則a=_3、直線2x+3y-5=0關于直線y=x對稱的直線方程為_4、與直線2x+3y-6=0關于點(1,-1)對稱的直線是_5、過點P(4,-1)且與直線3x-4y+6=0垂直的直線方程是_6. 過點（1，2）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程_7兩直線2x+3yk=0和xky+12=0的交點在y軸上，則k的值是_8、兩平行直線的距離是_9、已知三角形ABC的頂點坐標為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中