高中直線與方程知識(shí)點(diǎn)解析及經(jīng)典例題

1、高中直線與方程知識(shí)點(diǎn)解析及經(jīng)典例題高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)直線與方程一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與x軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接

2、求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。xyoa1a2l1l2例.如右圖，直線l1的傾斜角a=30，直線l1l2，求直線l1和l2的斜率.解：k1=tan30= l1l2 k1k2 =1k2 =例：直線的傾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.30（3）直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）即不包含于平行于x軸或y直線兩點(diǎn)軸的直線，直

3、線兩點(diǎn)，當(dāng)寫(xiě)成的形式時(shí)，方程可以表示任何一條直線。截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。對(duì)于平行于坐標(biāo)軸或者過(guò)原點(diǎn)的方程不能用截距式。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）；例題：根據(jù)下列各條件寫(xiě)出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，2)； .(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，平行于x軸； .(3)在軸和軸上的截距分別是； .4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(3，2)、P2(5，4)； .例1：直線的方程為Ax+By+C=0，若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且位于第二、四象限，則（ ）AC=0，B0BC

4、=0，B0，A0 CC=0，AB0例2：直線的方程為AxByC=0，若A、B、C滿(mǎn)足AB.0且BC0，則l直線不經(jīng)的象限是（ ） A第一 B第二 C第三 D第四 （4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）過(guò)定點(diǎn)的直線系（）斜率為k的直線系：，直線過(guò)定點(diǎn)；（）過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（三）垂直直線系垂直于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系： 例1：直線l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為 。(mR)（5）兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，（1）；（2）注意：利用斜率

5、判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（3）與重合；（4）與相交。另外一種形式：一般的，當(dāng)， 與時(shí)，（1），或者。（2）。（3）與重合=0。（4）與相交。例.設(shè)直線 l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，1)、B(3，4)，直線 l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，m)、D(1，m+1)， 當(dāng)(1) l1/ / l2 (2) l1l1時(shí)分別求出m的值例1.已知兩直線l1： x+(1+m) y =2m和l2：2mx+4y+16=0，m為何值時(shí)l1與l2相交平行例2. 已知兩直線l1：(3a+2) x+(14a) y +8=0和l2：(5a2)x+(a+4)y7=0垂直，求a值（6）兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解

6、。方程組無(wú)解 ； 方程組有無(wú)數(shù)解與重合例3.求兩條垂直直線l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)例4. 已知直線l的方程為，(1)求過(guò)點(diǎn)（2，3）且垂直于l的直線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)（2，3）且平行于l的直線方程。例2：求滿(mǎn)足下列條件的直線方程(1) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，3)及兩條直線l1： x+3y4=0和l2：5x+2y+1=0的交點(diǎn)Q；(2) 經(jīng)過(guò)兩條直線l1： 2x+y8=0和l2：x2y+1=0的交點(diǎn)且與直線4x3y7=0平行；(3) 經(jīng)過(guò)兩條直線l1： 2x3y+10=0和l2：3x+4y2=0的交點(diǎn)且與直線3x2y+4=0垂直；（7）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐

7、標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 （8）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（9）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。對(duì)于 來(lái)說(shuō)：。例1：求平行線l1：3x+ 4y 12=0與l2： ax+8y+11=0之間的距離。例2：已知平行線l1：3x+2y 6=0與l2： 6x+4y3=0，求與它們距離相等的平行線方程。 (10) 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1) 中心對(duì)稱(chēng) A、若點(diǎn)及關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 B、直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們對(duì)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用，由點(diǎn)斜式得出所求直線的方程。2)

8、軸對(duì)稱(chēng) A、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)： 若與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則線段的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，而且連結(jié)的直線垂直于對(duì)稱(chēng)軸，由方程組可得到點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)（其中。 B、直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)：此類(lèi)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)來(lái)解決，若已知直線與對(duì)稱(chēng)軸相交，則交點(diǎn)必在與對(duì)稱(chēng)的直線上，然后再求出上任一個(gè)已知點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)的直線就是；若已知直線與對(duì)稱(chēng)軸平行，則與對(duì)稱(chēng)的直線和到直線的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出的對(duì)稱(chēng)直線。例1：已知直線l：2x3y+1=0和點(diǎn)P(1，2). (1) 分別求：點(diǎn)P(1，2)關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q坐標(biāo)(2) 分別求：直線l

9、：2x3y+1=0關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)的直線方程.(3) 求直線l關(guān)于點(diǎn)P(1，2)對(duì)稱(chēng)的直線方程。(4) 求P(1，2)關(guān)于直線l軸對(duì)稱(chēng)的直線方程。例2：點(diǎn)P(1，2)關(guān)于直線l： x+y2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 。11. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，則線段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(，)例. 已知點(diǎn)A(7，4)、B(5,6),求線段AB的垂直平分線的方程直線方程練習(xí)題1過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線方程為_(kāi)2若直線x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，則a=_3、直線2x+3y-5=0關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的直線方程為_(kāi)4、與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱(chēng)的直線是_5、過(guò)點(diǎn)P(4,-1)且與直線3x-4y+6=0垂直的直線方程是_6. 過(guò)點(diǎn)（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程_7兩直線2x+3yk=0和xky+12=0的交點(diǎn)在y軸上，則k的值是_8、兩平行直線的距離是_9、已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中