第一章 §3 反證法

1、第第 一一 章章 3 3 理解教材新知理解教材新知 把握熱把握熱 點考向點考向 應用創(chuàng)新演練應用創(chuàng)新演練 考點一考點一 考點二考點二 考點三考點三 1問題：在今天商品大戰(zhàn)中，廣告成了電視節(jié)目中問題：在今天商品大戰(zhàn)中，廣告成了電視節(jié)目中 的一道美麗的風景線，幾乎所有的廣告商都熟諳這樣的的一道美麗的風景線，幾乎所有的廣告商都熟諳這樣的 命題變換藝術如宣傳某種食品，其廣告詞為：命題變換藝術如宣傳某種食品，其廣告詞為：“擁有的擁有的 人們都幸福，幸福的人們都擁有人們都幸福，幸福的人們都擁有”該廣告詞實際說明了該廣告詞實際說明了 什么？什么？ 提示：說的是提示：說的是“不擁有的人們不幸福不擁有的人們不幸

2、福” 2已知正整數(shù)已知正整數(shù)a，b，c滿足滿足a2b2c2.求證：求證：a，b， c不可能都是奇數(shù)不可能都是奇數(shù) 問題問題1：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？ 提示：不能提示：不能 問題問題2：a，b，c不可能都是奇數(shù)的反面是什么？此時，不可能都是奇數(shù)的反面是什么？此時， 還滿足條件還滿足條件a2b2c2嗎？嗎？ 提示：提示：a，b，c都是奇數(shù)此時不滿足條件都是奇數(shù)此時不滿足條件a2b2c2. 1反證法的定義反證法的定義 在證明數(shù)學命題時，先假定在證明數(shù)學命題時，先假定 成立，成立， 在這個前提下，若推出的結果與在這個前提下，若推出的結果與 、 、 相相

3、矛盾，或與命題中的矛盾，或與命題中的 相矛盾，或與相矛盾，或與 相矛相矛 盾，從而斷定盾，從而斷定 不可能成立，由此斷定不可能成立，由此斷定 成立，這種證明方法叫作反證法成立，這種證明方法叫作反證法 命題結論的反面命題結論的反面 定義定義公理公理定理定理 已知條件已知條件 假定假定 命題的反面命題的反面 命題命題 的結論的結論 2反證法的證題步驟反證法的證題步驟 (1)作出作出 的假設；的假設； (2)進行推理，進行推理， ； (3) ，肯定結論，肯定結論 否定結論否定結論 導出矛盾導出矛盾 否定假設否定假設 1反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來

4、達 到肯定命題結論的目的到肯定命題結論的目的 2可能出現(xiàn)矛盾的四種情況：可能出現(xiàn)矛盾的四種情況：(1)與題設矛盾；與題設矛盾；(2) 與假定矛盾；與假定矛盾；(3)與公理、定理或已被證明了的結論矛盾；與公理、定理或已被證明了的結論矛盾； (4)在證明過程中，推出自相矛盾的結論在證明過程中，推出自相矛盾的結論 思路點撥思路點撥此題為否定形式的命題，可選用反證此題為否定形式的命題，可選用反證 法，證題關鍵是利用等差中項、等比中項法，證題關鍵是利用等差中項、等比中項 一點通一點通 (1)對于這類對于這類“否定否定”型命題，顯然從正面證明需要證明型命題，顯然從正面證明需要證明 的情況太多，不但過程繁瑣

5、，而且容易遺漏，故可以考慮的情況太多，不但過程繁瑣，而且容易遺漏，故可以考慮 采用反證法一般地，當題目中含有采用反證法一般地，當題目中含有“不可能不可能”“都不都不”“沒沒 有有”等否定性詞語時，宜采用反證法證明等否定性詞語時，宜采用反證法證明 (2)反證法證明反證法證明“肯定肯定”型命題適宜于結論的反面比原結型命題適宜于結論的反面比原結 論更具體更容易研究和掌握的命題論更具體更容易研究和掌握的命題 2已知已知a是整數(shù)，是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)也是偶數(shù) 證明：證明：假設假設a不是偶數(shù)，則不是偶數(shù)，則a為奇數(shù)為奇數(shù) 設設a2m1(m為整數(shù)為整數(shù))，則，則a24m24m1

6、. 4(m2m)是偶數(shù)，是偶數(shù)， 4m24m1為奇數(shù)，即為奇數(shù)，即a2為奇數(shù)，與已知矛盾為奇數(shù)，與已知矛盾 a一定是偶數(shù)一定是偶數(shù). 例例2求證函數(shù)求證函數(shù)f(x)2x1有且只有一個零點有且只有一個零點 思路點撥思路點撥一般先證存在性，再用反證法證唯一性一般先證存在性，再用反證法證唯一性 一點通一點通 (1)結論以結論以“有且只有有且只有”、“只有一個只有一個”、“唯一存在唯一存在”等形等形 式出現(xiàn)的式出現(xiàn)的“唯一唯一”型命題，由于反設結論易于導出矛盾，所型命題，由于反設結論易于導出矛盾，所 以用反證法證明簡單而又明了以用反證法證明簡單而又明了 (2)“有且只有有且只有”的含義有兩層存在性：本

7、題中只需的含義有兩層存在性：本題中只需 找到函數(shù)找到函數(shù)f(x)2x1的一個零點即可唯一性：正面直的一個零點即可唯一性：正面直 接證明較為困難，故可采用反證法尋求矛盾，從而證明原接證明較為困難，故可采用反證法尋求矛盾，從而證明原 命題的正確性命題的正確性 3過平面過平面上一點上一點A，作直線，作直線a，求證：，求證：a是唯一的是唯一的 證明：證明：假設假設a不是唯一的，則過點不是唯一的，則過點A至少還有一條直線至少還有一條直線b滿滿 足足b. a，b是相交直線，是相交直線，a，b可以確定一個平面可以確定一個平面. 設設和和相交于過點相交于過點A的直線的直線c. a，b，ac，bc，又，又abA

8、，c. 這與這與c 矛盾矛盾 故過點故過點A垂直于平面垂直于平面的直線有且只有一條，即的直線有且只有一條，即a是唯是唯 一的一的 4用反證法證明：過已知直線用反證法證明：過已知直線a外一點外一點A只有一條直線只有一條直線b 與已知直線與已知直線a平行平行 證明：證明：假設過點假設過點A還有一條直線還有一條直線b與已知直線與已知直線a平行，平行， 即即bbA，ba. 因為因為ba，由平行公理知，由平行公理知bb. 這與假設這與假設bbA矛盾，所以過直線外一點只有一條矛盾，所以過直線外一點只有一條 直線與已知直線平行直線與已知直線平行. 精解詳析精解詳析假設假設a，b，c都不大于都不大于0，即，即

9、a0，b0， c0. 所以所以abc0. 而而abc 一點通一點通 (1)對于否定性命題或結論中出現(xiàn)對于否定性命題或結論中出現(xiàn)“至多至多”“至少至少”“不可能不可能” 等字樣時，常用反證法等字樣時，常用反證法 (2)常用的常用的“原結論詞原結論詞”與與“反設詞反設詞”歸納如下表：歸納如下表： 原結論詞原結論詞 至少有一個至少有一個 至多有至多有 一個一個 至少有至少有 n個個 至多有至多有n個個 反設詞反設詞 一個也沒有一個也沒有 (不存在不存在) 至少有至少有 兩個兩個 至多有至多有 n1個個 至少有至少有n1個個 6用反證法證明：若函數(shù)用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上是增函

10、數(shù)，上是增函數(shù)， 則方程則方程f(x)0在區(qū)間在區(qū)間a，b上至多有一個實根上至多有一個實根 證明：證明：假設方程假設方程f(x)0在區(qū)間在區(qū)間a，b上至少有兩個實根，上至少有兩個實根， 不妨設不妨設，為其兩個實根，且為其兩個實根，且，則，則f()f()0. 因為函數(shù)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，又上是增函數(shù)，又， 所以所以f()f()，這與假設，這與假設f()f()0相矛盾相矛盾 所以方程所以方程f(x)0在區(qū)間在區(qū)間a，b上至多有一個實根上至多有一個實根 用反證法證題要把握三點：用反證法證題要把握三點： (1)必須先否定結論，對于結論的反面出現(xiàn)的多種可能，必須先否定結論，對于結論的反面出現(xiàn)的多種可能， 要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的 (2)反證法必須從否定結論進行推理，且必須根據(jù)這一條反證法必須從否定結論進行推理，且必須根據(jù)這一條 件進行論證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)