靜態(tài)場邊值問題

1、 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2 邊值問題、唯一性定理 鏡像法 分離變量法 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室3 靜態(tài)場問題 分布型問題：已知場源（如電荷分布、電流分布），直接計(jì)算空 間各點(diǎn)的場強(qiáng)或位函數(shù) 邊值型問題：已知空間某一確定區(qū)域內(nèi)的場源分布與位函數(shù)滿足 的某種類型的方程，以及該區(qū)域邊界面上的位函數(shù)（或位函數(shù)的 法向?qū)?shù)）邊界條件，求場內(nèi)位函數(shù)的分布 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室4 邊值型問題的方法 解析方法：鏡像法、分離變量法、復(fù)變函數(shù)法、格林函數(shù)法等 數(shù)值方法：有限差分法、積分方程法、有限元法、邊界元法等 求解邊值型問題的空間電場、磁

2、場分布可以轉(zhuǎn)化為求解給定邊界條件 下位函數(shù)的Poisson方程或Laplace方程，由電場、磁場的場強(qiáng)與位函 數(shù)的關(guān)系得到空間電場、磁場的分布 Laplace方程為二階偏微分方程，可以應(yīng)用的求解方法包括解析法、數(shù) 值法、實(shí)驗(yàn)?zāi)M法、圖解法等 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室5 第一類邊值問題 給定求解區(qū)域整個(gè)邊界上的位函數(shù)值，稱為第一類邊值問題 式中，Si為求解區(qū)域的邊界，fi為邊界Si上位函數(shù)的值 nif F i Si , 2 , 1 0 2 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室6 第二類邊值問題 給定求解區(qū)域整個(gè)邊界上位函數(shù)沿邊界外法向的偏導(dǎo)數(shù)值，稱為 第二類邊值問

3、題 式中，gi為邊界Si上位函數(shù)的外法向偏導(dǎo)數(shù)值 nig n F i Si , 2 , 1 0 2 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室7 第三類邊值問題 將求解區(qū)域的邊界分為兩部分，一部分邊界上給定位函數(shù)值，另 一部分邊界上給定位函數(shù)沿邊界外法向的偏導(dǎo)數(shù)值，稱為第三類 邊值問題 式中fi 、gi分別為邊界Si上的位函數(shù)值與位函數(shù)外法向偏導(dǎo)數(shù)值 nkkig n kif F i S i S i i , 2, 1 , 2 , 1 0 2 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室8 輔助邊界條件 求解區(qū)域填充的為分區(qū)均勻媒質(zhì)，任意兩種媒質(zhì)分界面上的邊界 條件稱為輔助邊界條件 無限大求

4、解空間 場源分布于有限區(qū)域中 r r lim 0 無窮遠(yuǎn)處的邊界條件 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室9 唯一性定理 任意靜態(tài)電磁場，當(dāng)空間各點(diǎn)的電荷分布（或電流分布）與整個(gè) 邊界上的邊界條件已知時(shí)，空間各部分的場唯一確定?；蛘哒f滿 足邊界條件的Poisson方程或Laplace方程的解是唯一的 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室10 平面鏡像法 無限大導(dǎo)體平面問題 無限大接地導(dǎo)體平面上方，距導(dǎo)體面為h處存在一點(diǎn)電荷q，求解導(dǎo)體 平面上方空間的電位 導(dǎo)體平面上方的電位由點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生 導(dǎo)體平面上感應(yīng)電荷的分布與空間電場有關(guān)，且為未知量 導(dǎo)體平面

5、上方，除點(diǎn)電荷所在點(diǎn)（奇異點(diǎn)）外，電位均滿足Laplace方程 導(dǎo)體平面為求解空間的邊界，其電位為零 因此，由電荷分布直接求解電位比較困難，或直接求解Laplace方程亦相 當(dāng)復(fù)雜 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室11 鏡像法鏡像法：在點(diǎn)電荷q相對于導(dǎo)電平面的對稱位置放置一虛擬的等值異號的 點(diǎn)電荷-q（鏡像電荷），設(shè)導(dǎo)電平面下方的媒質(zhì)與其上方相同，并移去 導(dǎo)電平面，將問題轉(zhuǎn)化為無限大均勻媒質(zhì)中兩點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位問題 （鏡像問題） 問題轉(zhuǎn)化后，場源、邊界條件均未發(fā)生變化 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室12 導(dǎo)電平面上方的電位為q與-q各自產(chǎn)生電位的疊加 對于導(dǎo)體平面

6、上方區(qū)域，原問題與鏡像問題二者電荷分布相同，邊界條 件相同，根據(jù)唯一性定理，二者的電位分布相同 對于導(dǎo)體平面下方區(qū)域，原問題與鏡像問題電荷分布不同，鏡像法不適 用 若點(diǎn)電荷不止一個(gè)，而是離散分布的N個(gè)，則需分別設(shè)置N個(gè)點(diǎn)電荷的鏡 像電荷，鏡像電荷與原點(diǎn)電荷分別相對于導(dǎo)電平面對稱，帶等值異號的 電量 qq 21 44r q r q 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室13 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷 3 2 3 1 11 4rr qx Ex 3 2 3 1 11 4rr qy Ey 3 2 3 1 4r hz r hzq Ez 導(dǎo)體平面上方的電場強(qiáng)度 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)

7、實(shí)驗(yàn)室14 ns D z E 3 222 2hyx qh 導(dǎo)體平面上的面電荷密度 dSq ss 3 2222 hyx dxdyqh 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室15 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室16 無限大接地導(dǎo)體平面上方，距導(dǎo)體面為h處放置一電荷均勻分布的無 限長直導(dǎo)線，電荷密度為l，且導(dǎo)線平行于導(dǎo)體平面，求導(dǎo)體平面上 方的電位 疊加原理：無限長直導(dǎo)線分解為無窮多的線電荷元，每個(gè)電荷元均近似 認(rèn)為是點(diǎn)電荷，這些點(diǎn)電荷的鏡像電荷的疊加為一無限長直導(dǎo)線，與原 導(dǎo)線相對于導(dǎo)電平面對稱，帶等量異號電荷，電荷密度為-l，設(shè)導(dǎo)電平 面下方媒質(zhì)與上

8、方相同，并移去導(dǎo)電 平面 原問題轉(zhuǎn)化為無限大空間中兩平行的帶等量異號電荷的無限長均勻直導(dǎo) 線產(chǎn)生的電位問題 待求電位為 1 2 ln 2r r l 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室17 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室18 無限大介質(zhì)平面 無限大空間存在介電常數(shù)分別為1、2的兩種介質(zhì)，分界面為無限大 平面，介質(zhì)1中距分界面為h放置一點(diǎn)電荷q，求兩介質(zhì)中的電場或電 位 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室19 待求的電場（位）由點(diǎn)電荷q與分界面上束縛電荷共同產(chǎn)生 原問題分為上、下兩個(gè)區(qū)域分別求解：上為區(qū)域1，填充介質(zhì)1，介電常 數(shù)為1，下為區(qū)域2，填充介質(zhì)2

9、，介電常數(shù)為2 求解區(qū)域1的電場（位）：在點(diǎn)電荷q相對于分界面的對稱位置放置鏡像 電荷q代替分界面上的束縛電荷，移去分界面，設(shè)全空間均為介質(zhì)1，電 場（位）由q與q共同產(chǎn)生 求解區(qū)域2的電場（位）：在點(diǎn)電荷q的位置再放置點(diǎn)電荷q代替束縛電 荷，移去分界面，設(shè)全空間均為介質(zhì)2，電場（位）由點(diǎn)電荷q與q共同 產(chǎn)生 求解：首先確定出電荷q與q 由電場出發(fā)，結(jié)合電場強(qiáng)度與電位移的邊界條件 由電位出發(fā)，結(jié)合電位的邊界條件 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室20 區(qū)域1中的電場 區(qū)域2中的電場 邊界條件 2 21 2 11 1 44r q r q E 3 32 2 4r qq E tt EE

10、21 nn EE 2211 分界面上已無電荷分布 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室21 qqqq qqqq 21 qq qq 21 12 21 21 兩區(qū)域中的電場或電位可以由離散點(diǎn)電荷分布直接求出 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室22 無限大空間包括介電常數(shù)分別為1、2的兩種介質(zhì)，分界面為無限大 平面，介質(zhì)1中距分界面為h放置一電荷均勻分布的無限長直導(dǎo)線，電 荷密度為l，求兩介質(zhì)中的電場或電位 疊加原理 設(shè)鏡像電荷l以及l(fā) 由電場（位）分布及邊界條件確定電荷l與l ll 21 21 ll 21 12 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室23 課后作業(yè) 無

11、限大介質(zhì)平面鏡像法中，利用兩區(qū)域中的電位公式及分界面處電位 的邊界條件確定點(diǎn)電荷q與q，并求出兩區(qū)域中的電場強(qiáng)度與電位 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室24 概述 分離變量法是求解數(shù)學(xué)物理方程應(yīng)用最廣泛的一種方法 分離變量法將待求的多變量函數(shù)表示為若干單變量函數(shù)的乘積， 從而將求解多變量函數(shù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，然后結(jié) 合邊界條件求解常微分方程 應(yīng)用分離變量法時(shí)，通常將邊界面與某一坐標(biāo)面相重合，或分段 重合，在此坐標(biāo)系中，單變量函數(shù)的自變量即為坐標(biāo)變量 待求問題 2 2 2 2 2 2 2 , zyx zyx 0 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室25 分離變

12、量法 分離變量 zZyYxXzyx, 0 2 2 2 2 2 2 dz Zd XY dy Yd ZX dx Xd YZ 0 Z Z Y Y X X 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室26 常微分方程 2 x k X X 2 y k Y Y 2 z k Z Z 或 0 2 XkX x 0 2 YkY y 0 2 ZkZ z Kx、ky、kz稱為分離常數(shù)，滿足：Kx2 + ky2 + kz2 = 0 分離常數(shù)可以等于實(shí)數(shù)、虛數(shù)或零，不同的取值決定了常微 分方程解的不同形式 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室27 常微分方程的解（以X(x)為例） kx2 0 kx2 0 kx

13、2 = 0 xkaxkaxX xx sincos 21 xkshbxkchbxX xx21 21 cxcxX Kx為實(shí)數(shù) Kx為虛數(shù) 系數(shù)a1、a2，b1、b2，c1、c2的值由邊界條件確定 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室28 分離變量取值由邊界條件確定 在某一坐標(biāo)方向?yàn)橹芷谛赃吔鐥l件 在某一坐標(biāo)方向?yàn)榉侵芷谛赃吔鐥l件 在某一坐標(biāo)方向與該坐標(biāo)變量無關(guān) 分離常數(shù)為虛數(shù) 分離常數(shù)為零 分離常數(shù)為實(shí)數(shù) 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室29 例. 無限長矩形管，管壁長為a，寬為b，除上壁電位為U0外，區(qū)域各壁 電位均為零，求管內(nèi)電位分布。 2021-7-17東南大學(xué)毫米波

14、國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室30 解. 矩形管內(nèi)無電荷分布，電位滿足Laplace方程 矩形管無限長，管壁電位沿z方向無變化，因此管內(nèi)電位與z無關(guān)，則電位滿足二 維Laplace方程 分離變量 0 2 2 2 2 2 2 zyx 0 2 2 2 2 yx yYxXyx, (x, y, z) (x, y) 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室31 邊界y = 0，x = 0與x = a處電位均為零，為周期性邊界條件，因此kx為實(shí)數(shù)，則ky 必為虛數(shù)，設(shè)kx = k，ky = jk 以及 電位為 kxakxaxXsincos 21 shkybchkybyY 21 kybkybkxakxasincoss

15、incos 2121 yYxXyx, 待求系數(shù)a1、a2，b1、b2以及k的值由邊界條件確定 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室32 邊界條件 由邊界條件（1）、（2）可得a1 = 0，b1 = 0，因此 (1). (0, y) = 0,x = 0, 0 y b (2). (x, 0) = 0, 0 x a, y = 0 (3). (a, y) = 0, x = a, 0 y b (4). (x, b) = U0, 0 x a, y = b kxshkybayxsin, 22 kxshkyAsin 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室33 由邊界條件（3） 即 可得 電位

16、為 0sin,kashkyAya 0sinka , 2 , 1m a m k , 2 , 1sin, my a m shx a m Ayx 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室34 Laplace方程解的線性疊加仍然滿足方程，因此可以得到電位解的一般形式為 確定Am的值，由邊界條件（4） 式中 1 sin, m m y a m shx a m Ayx 1 0 sin m m b a m shx a m AU 1 sin m m x a m B abmshAC mm 常數(shù)U0在0 x a范圍內(nèi)的Fourier級數(shù)展開 2021-7-17東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室35 確定Cm的值 式中，n為一整數(shù) a m m a dxx a n x a m Cdxx a n U