直角三角形等腰直角三角形斜邊直線專題

1、直角三角形等腰直角三角形斜邊直線專題直角三角形、斜邊中線、等腰直角三角形專題一、直角三角形的性質(zhì)1一塊直角三角板放在兩平行直線上，如圖，1+2=度2如圖，ABC中，BAC=90，ADBC，ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，AG平分DAC，求證：BAD=C；AEF=AFE；AGEF3如圖所示，在ABC中，CD，BE是兩條高，那么圖中與A相等的角有 4如圖，已知ABC中，ABAC，BE、CF都是ABC的高，P是BE上一點(diǎn)且BP=AC，Q是CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且CQ=AB，連接AP、AQ、QP，求證：APQ是等腰直角三角形二、含30角的直角三角形的性質(zhì)5在RtABC中，ACB=60，DE是斜邊AC的中垂線

2、，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)若BD=2，求AD的長(zhǎng) 6如圖，AOP=BOP=15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC=6，求PD的長(zhǎng) 7如圖所示，矩形ABCD中，AB=AD，E為BC上的一點(diǎn)，且AE=AD，求EDC的度數(shù) 8如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，DFAB于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，若AE=2，求AF的長(zhǎng) 9如圖所示，已知1=2，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，求CD的長(zhǎng) 10如圖，在RtABC中，ACB=90，B=30，AD平分BAC，DEAB于E，求證：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD； 3、 直角三角形斜邊中線

3、問(wèn)題11如圖，在ABC中A=60，BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，求證：PMN為等邊三角形； 12已知銳角ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M是線段BC的中點(diǎn)，連接DM，EM（1）若DE=3，BC=8，求DME的周長(zhǎng)；（2）若A=60，求證：DME=60；（3）若BC2=2DE2，求A的度數(shù)13如圖，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AD，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，EF=2，求AC的長(zhǎng) 14如圖，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，M為EF中點(diǎn)，求AM的最小值 15如圖，在ABC中，ACB

4、=90，B=20，D在BC上，AD=BD，E為AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于點(diǎn)F，求DFE等于多少 16如圖，在RtABC中，ACB=90，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB，若B=50，求ACB=17如圖，ABC中，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BEAC，若DE=5，AE=8，求BC的長(zhǎng)度 18 如圖，在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作RtACE，又BED=90求證：AC=BD19已知：如圖，在RtABC中，ACB=90，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，CHAB于點(diǎn)H，CD平分ACB（1）求證：1=2（2）過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線交CD延長(zhǎng)線于E，求證：CM=EM；（3）AEB是什么三角形？證明

5、你的猜想20如圖，已知在ABC中，延長(zhǎng)CA到D，使BA=BD，延長(zhǎng)BA到E，使CA=CE，設(shè)P、M、N分別是BC、AD、AE的中點(diǎn)求證：PMN是等腰三角形四、等腰直角三角形問(wèn)題21如圖，ACB、CDE為等腰直角三角形，CAB=CDE=90，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，求證：AFDF，AF=DF22已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，AE平分CAB交CD于E，在DB上取點(diǎn)F，使DF=DE，求證：CF平分DCB23如圖，OBD和OCA是等腰直角三角形，ODB=OCA=90M是線段AB中點(diǎn)，連接DM、CM、CD若C在直線OB上，試判斷CDM的形狀24如圖，已知點(diǎn)D在AC上，ABC和ADE都是等腰直

6、角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)（1）求證：BMD為等腰直角三角形；（2）將圖中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，則（1）題中的結(jié)論“BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由25已知：如圖ABC中，A=90，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EDF=90（1）求證：DEF為等腰直角三角形；（2）求證：S四邊形AEDF=SBDE+SCDF；（3）如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在射線CA上且保持EDF=90，DEF還仍然是等腰直角三角形嗎？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明理由26ABC中，ABC=45，ABBC，BEAC于點(diǎn)E，ADBC于點(diǎn)D（1）如圖1，作ADB的角平分線DF交

7、BE于點(diǎn)F，連接AF求證：FAB=FBA；（2）如圖2，連接DE，點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DG、EG依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；用等式表示線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明27如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，D為BC中點(diǎn)，DEAB，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BFAC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF、AF、AD，AD與CF交于點(diǎn)G（1）求證：ACDCBF；（2）AD與CF的關(guān)系是；（3）求證：ACF是等腰三角形；（4）ACF可能是等邊三角形嗎？（填“可能”或“不可能”）直角三角形斜邊中線等腰直角三角形專題參考答案與試題解析1【解答】解：如圖，1=3，2=4（對(duì)頂角相等），3+4=9

8、0，1+2=90故答案為：90【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2如圖，ABC中，BAC=90，ADBC，ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，AG平分DAC，給出下列結(jié)論：BAD=C；AEF=AFE；EBC=C；AGEF其中正確的結(jié)論是（）ABCD【分析】根據(jù)同角的余角相等求出BAD=C，再根據(jù)等角的余角相等可以求出AEF=AFE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AGEF【解答】解：BAC=90，ADBC，C+ABC=90，BAD+ABC=90，BAD=C，故正確；BE是ABC的平分線，ABE=CBE，ABE+AEF=90，CBE+BFD=90，AEF=

9、BFD，又AFE=BFD（對(duì)頂角相等），AEF=AFE，故正確；ABE=CBE，只有C=30時(shí)EBC=C，故錯(cuò)誤；AEF=AFE，AE=AF，AG平分DAC，AGEF，故正確綜上所述，正確的結(jié)論是故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵3如圖所示，在ABC中，CD，BE是兩條高，那么圖中與A相等的角的個(gè)數(shù)有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【分析】根據(jù)已知條件CD，BE是兩條高可知：A+DCA=90，ABE+BHD=90，A+ABE=90，CHE+HCE=90，再根據(jù)同角

10、的余角相等即可得到答案【解答】解：CDAB，CDA=BDH=90，A+DCA=90，ABE+BHD=90，BEAC，A+ABE=90，CHE+HCE=90，A=BHD=CHE，故選：B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直得到有哪些角互余4如圖，已知ABC中，ABAC，BE、CF都是ABC的高，P是BE上一點(diǎn)且BP=AC，Q是CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且CQ=AB，連接AP、AQ、QP，判斷APQ的形狀【分析】利用BE、CF都是ABC的高，求證1=2，然后求證ACQPBA，利用AQ=AP，AQAP，即可證明APQ是等腰直角三角形【解答】解：APQ是等腰直角三角形BE、CF都是ABC的高，

11、1+BAE=90，2+CAF=90（同角（可等角）的余角相等）1=2又AC=BP，CQ=AB，在ACQ和PBA中，ACQPBAAQ=AP，CAQ=BPA=3+90QAP=CAQ3=90AQAPAPQ是等腰直角三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題5（2016秋泰山區(qū)期中）在RtABC中，ACB=60，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)若BD=2，則AD的長(zhǎng)是（）A3B4C5D4.5【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出A的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，解答即可【解答】解：ACB=60，B=90，A=30，

12、DE是斜邊AC的中垂線，DA=DC，ACD=A=30，BD=2，AD=4，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵6（2016秋大豐市月考）如圖，AOP=BOP=15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC=6，則PD等于（）A4B3C2D1【分析】過(guò)點(diǎn)P作PEOB于E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得AOP=COP，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出PCE=AOB=30，再根據(jù)直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PEOB于E，PCOA，AOP=C

13、OP，PCE=BOP+COP=BOP+AOP=AOB=30，又PC=6，PE=PC=3，AOP=BOP，PDOA，PD=PE=3，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出含30的直角三角形是解題的關(guān)鍵7（2015春蘭溪市期末）如圖所示，矩形ABCD中，AB=AD，E為BC上的一點(diǎn)，且AE=AD，則EDC的度數(shù)是（）A30B75C45D15【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出C=ABC=90，AB=CD，DCAB，推出AE=2AB，得出AEB=30=DAE，求出EDC的度數(shù)，即可求出答案【解答】解

14、：四邊形ABCD是矩形，C=ABC=90，AB=CD，DCAB，AB=AD，E為BC上的一點(diǎn)，且AE=AD，AE=2AB，AEB=30，ADBC，AEB=DAE=30，AE=AD，ADE=AED=（180EAD）=75，ADC=90，EDC=9075=15，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出ABC和EBA的度數(shù)，題目比較好，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目8（2013春重慶校級(jí)期末）如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，DFAB于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，若AE=2，則AF的

15、長(zhǎng)為（）AB2C+1D3【分析】過(guò)點(diǎn)E作EHAC交BC的延長(zhǎng)線于H，證明ABH是等邊三角形，求出CH，得到BD的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BF，計(jì)算即可【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EHAC交BC的延長(zhǎng)線于H，H=ACB=60，又B=60，EBH是等邊三角形，EB=EH=BH，CH=AE=2，ED=EC，EDC=ECD，又B=H，BED=HEC，在BED和HEC中，BEDHEC，BD=CH=2，BA=BC=4，BF=BD=1，AF=3故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、等邊三角形的三個(gè)角都是60是解題的

16、關(guān)鍵9（2012春古冶區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，已知1=2，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，那么CD的長(zhǎng)是（）A2B3C1D1.5【分析】在RtAEC中，由于=，可以得到1=2=30，又AD=BD=4，得到B=2=30，從而求出ACD=90，然后由直角三角形的性質(zhì)求出CD【解答】解：在RtAEC中，=，1=2=30，AD=BD=4，B=2=30，ACD=180303=90，CD=AD=2故選A【點(diǎn)評(píng)】本題利用了：（1）直角三角形的性質(zhì)；（2）三角形內(nèi)角和定理；（3）等邊對(duì)等角的性質(zhì)10（2012秋包河區(qū)期末）如圖，在RtABC中，ACB=90，B=30，AD平分BAC，DEAB于E，以下結(jié)

17、論（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；（4）DE=AC中，正確的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，AC=BE，結(jié)合含30角的直角三角形的性質(zhì)可得BD=2CD，而AC和BD不一定相等，所以可得出答案【解答】解：ACB=90，B=30，AD平分BAC，DEAB，DC=DE，ADC=ADE=60，AD平分CDE，AC=AE，在RtBDE中，B=30，BD=2DE=2CD，在RtADE中，DE=AE=AC，正確的有（1）、（2）、（3），故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)及含30角的直角三角形的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是

18、解題的關(guān)鍵11（2015秋江陰市期中）如圖，在ABC中A=60，BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：PM=PN；PMN為等邊三角形；下面判斷正確是（）A正確B正確C都正確D都不正確【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出ABM=ACN=30，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BCN+CBM=60，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出BPN+CPM=120，從而得到MPN=60，又由得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確【解答】解：BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)

19、N，P為BC邊的中點(diǎn)，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正確；A=60，BMAC于點(diǎn)M，CNAB于點(diǎn)N，ABM=ACN=30，在ABC中，BCN+CBM18060302=60，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=260=120，MPN=60，PMN是等邊三角形，正確；所以都正確故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12已知銳角ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M是線段BC的中點(diǎn)，連接DM，EM

20、（1）若DE=3，BC=8，求DME的周長(zhǎng)；（2）若A=60，求證：DME=60；（3）若BC2=2DE2，求A的度數(shù)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ABC+ACB=120，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DM=BM，EM=CM，推出ABC=BDM，ACB=CEM，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）求出EM=EN，解直角三角形求出EMD度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可【解答】解：（1）CD，BE分別是AB，AC邊上的高，BDC=BEC=90，M是線段BC的中點(diǎn)，BC=8，DM=BC=4，EM=BC=

21、4，DME的周長(zhǎng)是DE+EM+DM=3+4+4=11；（2）證明：A=60，ABC+ACB=120，BDC=BEC=90，M是線段BC的中點(diǎn)，DM=BM，EM=CM，ABC=BDM，ACB=CEM，EMC+DMB=ABC+ACB=120，DME=180120=60；（3）解：過(guò)M作MNDE于N，DM=EM，EN=DN=DE，ENM=90，EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，（2EM）2=2（2EN）2，EM=EN，sinEMN=，EMN=45，同理DMN=45，DME=90，DMB+EMC=18090=90，ABC=BDM，ACB=CEM，ABC+ACB=（180DMB+18

22、0EMC）=135，BAC=180（ABC+ACB）=45【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半13（2014春永川區(qū)校級(jí)期中）如圖，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AD，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，EF=2，則AC的長(zhǎng)是（）A3B4C5D6【分析】連結(jié)AF由AB=AD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AFBD再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC=2EF=4【解答】解：如圖，

23、連結(jié)AFAB=AD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，AFBD在RtACF中，AFC=90，E是AC的中點(diǎn)，EF=2，AC=2EF=4故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AFBD是解題的關(guān)鍵14（2011秋姜堰市期末）如圖，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為（）A2B2.4C2.6D3【分析】先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AP最短時(shí)的長(zhǎng)，然后即可求出AM

24、最短時(shí)的長(zhǎng)【解答】解：連結(jié)AP，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，BAC=90，PEAB，PFAC，四邊形AFPE是矩形，EF=APM是EF的中點(diǎn)，AM=AP，根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，即APBC時(shí)，AP最短，同樣AM也最短，當(dāng)APBC時(shí)，ABPCBA，=，=，AP最短時(shí)，AP=4.8當(dāng)AM最短時(shí)，AM=2.4故選B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形判定與性質(zhì)、垂線段最短和直角三角形斜邊上的中線的理解和掌握，此題涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，有一定的拔高難度，屬于中檔題15（2010武隆縣模擬）如圖，在ABC中，ACB=90，B=20，D在BC上，AD=BD，E為AB的中點(diǎn)

25、，AD、CE相交于點(diǎn)F，DFE等于（）A40B50C60D70【分析】根據(jù)已知得，BAC=70，BAD=B，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出ECB=B，從而得出ACE，再由三角形的內(nèi)角和定理得AFC，根據(jù)對(duì)頂角相等求出答案【解答】解：ACB=90，B=20，BAC=70，AD=BD，BAD=B=20，DAC=50，E為AB的中點(diǎn)，BE=CE，ECB=B=20，ACE=70，在ACF中，ACF+AFC+FAC=180，AFC=60，DFE=AFC=60（對(duì)頂角相等），故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握16（2016

26、江岸區(qū)模擬）如圖，在RtABC中，ACB=90，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB，若B=50，則ACB=10【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出BCD、DCA的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出BCD的度數(shù)，計(jì)算即可【解答】解：ACB=90，B=50，A=40，ACB=90，CD是斜邊上的中線，CD=BD，CD=AD，BCD=B=50，DCA=A=40，由翻折變換的性質(zhì)可知，BCD=BCD=50，ACB=BCDDCA=10，故答案為：10【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵17（2016

27、秋嵊州市期末）如圖，ABC中，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BEAC，若DE=5，AE=8，則BC的長(zhǎng)度為2【分析】由BEAC，D為AB中點(diǎn)，DE=5，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求得AB的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得BC的長(zhǎng)【解答】解：BEAC，AEB=90，D為AB中點(diǎn)，AB=2DE=25=10，AE=8，BE=6BC=2，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及勾股定理注意掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵18如圖，在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作RtACE，又BED=90求證：AC=BD【分析】連接EO，首先根

28、據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO，BO=DO，即O為BD和AC的中點(diǎn)，在RtAEC中EO=AC，在RtEBD中，EO=BD，進(jìn)而得到AC=BD，再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可證出結(jié)論【解答】證明：連接EO，四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO，BO=DO，在RtEBD中，O為BD中點(diǎn)，EO=BD，在RtAEC中，O為AC中點(diǎn)，EO=AC，AC=BD【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半19已知：如圖，在RtABC中，ACB=90，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，CHAB于點(diǎn)H，CD平分ACB（1）求證：1=2（2）過(guò)點(diǎn)M作AB

29、的垂線交CD延長(zhǎng)線于E，求證：CM=EM；（3）AEB是什么三角形？證明你的猜想【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性質(zhì)得到CAB=ACM，由余角的性質(zhì)得到CAB=BCH，等量代換得到BCH=ACM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到ACD=BCD，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)EMAB，CHAB，得到EMAB，由平行線的性質(zhì)得到HCD=MED，由于HCD=MCD，于是得到MCD=MED，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù) CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出AEB是直角三角形，由于 EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到結(jié)論【解答】證明：（

30、1）RtABC中，ACB=90，M是AB邊的中點(diǎn)，AM=CM=BM，CAB=ACM，CAB=90ABC，CHAB，BCH=90ABC，CAB=BCH，BCH=ACM，CD平分ACB，ACD=BCD，ACDACM=BCDBCH，即1=2；（2）EMAB，CHAB，EMCH，HCD=MED，HCD=MCD，MCD=MED，CM=EM；（3）AEB是等腰直角三角形，CM=EM AM=CM=BM，EM=AM=BM，AEB是直角三角形，EM垂直平分AB，EA=EB，AEB是等腰三角形，AEB是等腰直角三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義

31、，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵20如圖，已知在ABC中，延長(zhǎng)CA到D，使BA=BD，延長(zhǎng)BA到E，使CA=CE，設(shè)P、M、N分別是BC、AD、AE的中點(diǎn)求證：PMN是等腰三角形【分析】連接BM、CN，根據(jù)等腰三角形三線合一得到BMC=90，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MP=BC，同理NP=BC，得到答案【解答】證明：連接BM、CN，BA=BD，DM=MA，BMAD，BMC=90，又BP=PC，MP=BC，同理，NP=BC，MP=NP，PMN是等腰三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形三

32、線合一是解題的關(guān)鍵21如圖，ACB、CDE為等腰直角三角形，CAB=CDE=90，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，求證：AFDF，AF=DF【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得ABF=BAF，DBF=BDF，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出AFD=2ABC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可【解答】證明：CAB=CDE=90，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，AF=BF=AE，DF=BF=AE，AF=DF，ABF=BAF，DBF=BDF，由三角形的外角性質(zhì)得，AFD=ABF+BAF+DBF+BDF=2ABC，ABC是等腰直角三角形，

33、ABC=45，AFD=90，AFDF，綜上所述，AFDF，AF=DF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵22已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，AE平分CAB交CD于E，在DB上取點(diǎn)F，使DF=DE，求證：CF平分DCB【分析】延長(zhǎng)FE交AC于點(diǎn)G，利用角平分線的性質(zhì)可知EG=ED，然后證明CEGFED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可求出ECF=BCF【解答】解：延長(zhǎng)FE交AC于點(diǎn)G，DE=DF，CD是斜邊AB上的高，DEF=45，DC

34、B=45，EFBC，EFC=FCB，CGF=90，AE平分CAB，CGF=BDC=90，GE=DE，在CGE與FDE中，CGEFDE（ASA），CE=FE，ECF=EFC，ECF=BCF，CF平分DCB【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度較高23如圖，OBD和OCA是等腰直角三角形，ODB=OCA=90M是線段AB中點(diǎn)，連接DM、CM、CD若C在直線OB上，試判斷CDM的形狀【分析】由OBD和OCA是等腰直角三角形得到ACB=ADB=90，OBD=45，由M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DM=

35、AM=BM，CM=AM=BM，則CM=DM，MBD=MDB，MCB=MBC，理由三角形外角性質(zhì)得AMD=2MBD，AMC=2MBC，則AMDAMC=2（MBDMBC）=2OBD=90，于是可得到CDM為等腰直角三角形【解答】解：CDM為等腰直角三角形理由如下：OBD和OCA是等腰直角三角形，ACB=ADB=90，OBD=45，而M為AB的中點(diǎn)，DM=AM=BM，CM=AM=BM，CM=DM，MBD=MDB，MCB=MBC，AMD=2MBD，AMC=2MBC，AMDAMC=2（MBDMBC）=2OBD=90，即CMD=90，CM=DM，CDM為等腰直角三角形同理可得：第2個(gè)圖中CDM為等腰直角三

36、角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，靈活利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)是關(guān)鍵24（2010渝中區(qū)模擬）如圖，已知點(diǎn)D在AC上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)（1）求證：BMD為等腰直角三角形；（2）將圖中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，則（1）題中的結(jié)論“BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可以證明BMD=90，所以BMD為等腰直角三角形；（2）延長(zhǎng)DM交BC于N，先根據(jù)EDB=

37、ABC=90證明EDBC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出DEM=MCN，從而證明EDM與MNC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=MN，然后即可證明BMDM，且BM=DM【解答】（1）證明：點(diǎn)M是RtBEC的斜邊EC的中點(diǎn)，BM=EC=MC，MBC=MCBBME=2BCM（2分）同理可證：DM=EC=MC，EMD=2MCDBMD=2BCA=90，（4分）BM=DMBMD是等腰直角三角形（5分）（2）（1）題中的結(jié)論仍然成立理由：延長(zhǎng)DM與BC交于點(diǎn)N，（6分）DEAB，CBAB，EDB=CBD=90，DEBCDEM=MCN又EMD=NMC，EM=MC，EDMMNC（8分）DM=MNDE

38、=NC=AD又AB=BC，ABAD=BCCN，BD=BNBMDM即BMD=90（9分）ABC=90，BM=DN=DMBMD是等腰直角三角形（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，難度中等25（2011秋昌平區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖ABC中，A=90，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EDF=90（1）求證：DEF為等腰直角三角形；（2）求證：S四邊形AEDF=SBDE+SCDF；（3）如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在射線CA上且保持EDF=90，DEF還仍然是

39、等腰直角三角形嗎？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明理由【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ADBC，AD=BD，1=45，從而得到1=B，再根據(jù)同角的余角相等求出2=4，然后利用“AAS”證明BDE和ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，從而得證；（2）同理求出ADE和CDF全等，根據(jù)全等三角形的面積相等即可得證；（3）依然成立，連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD，CAD=45，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出DAF=DBE，然后利用“AAS”證明BDE和ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，從而得證【解答】（1）證明：如圖，連接AD，A=90，AB=AC，D是斜邊

40、BC的中點(diǎn)，ADBC，AD=BD，1=45，1=B=45，EDF=90，2+3=90，又3+4=90，2=4，在BDE和ADF中，BDEADF（ASA），DE=DF，又EDF=90，DEF為等腰直角三角形；（2）解：同理可證，ADECDF，所以，S四邊形AEDF=SADF+SADE=SBDE+SCDF，即S四邊形AEDF=SBDE+SCDF；（3）解：仍然成立如圖，連接AD，BAC=90，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，ADBC，AD=BD，1=45，DAF=1801=18045=135，DBE=180ABC=18045=135，DAF=DBE，EDF=90，3+4=90，又2+3=90，2=4，在BDE和ADF中，BDEADF（ASA），DE=DF，又EDF=90，DEF為等腰直角三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三