一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系難題(精品)[竹菊書苑]

1、韋達(dá)定理及其綜合應(yīng)用韋達(dá)定理及其綜合應(yīng)用 1向上教學(xué) 韋達(dá)定理的應(yīng)用：韋達(dá)定理的應(yīng)用： 1.已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根和未知系數(shù) 2.求與已知方程的兩個(gè)根有關(guān)的代數(shù)式的值 3.已知方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中 字母系數(shù)的值 4.已知兩數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù) 5.已知方程的兩根x x1 1， ，x x2 2 ，求作一個(gè)新的一元二次 方程x x2 2 (x (x1 1+x+x2 2) x+ x) x+ x1 1x x2 2 =0 =0 6.利用求根公式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式axax2 2+bx+c+bx+c = = a(x- xa(x- x1 1)(x- x)(x- x2 2) ) 2向上教學(xué)

2、 題題1 1： （1）若關(guān)于）若關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的的一根是另一根的4倍，則倍，則k= _ （2 2）已知：）已知：a,ba,b是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+2000 x+1=0+2000 x+1=0 的兩個(gè)根，求：（的兩個(gè)根，求：（1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = _ 3向上教學(xué) 解法一解法一：（：（1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = （1+2000a+a1+2000a+a2 2 +6a) +

3、6a)（1+2000b+b1+2000b+b2 2 +5b) +5b) = 6a = 6a5b=30ab5b=30ab 解法二解法二：由題意知：由題意知 a a2 2 +2000a+1=0 +2000a+1=0； b b2 2 +2000b+1=0 +2000b+1=0 a a2 2 +1=- 2000a; b +1=- 2000a; b2 2 +1=- 2000b +1=- 2000b （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = =（2006a - 2000a)2006a - 2000a)（2005b - 2000b) 2005b

4、 - 2000b) = =6a6a5b=30ab5b=30ab 4向上教學(xué) ab=1ab=1， a+b=-200 a+b=-200 （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = = （ abab +2006a+a+2006a+a2 2) )（ abab +2005b+b+2005b+b2 2) ) =a(b =a(b +2006+a) +2006+a) b(b( a a +2005+b)+2005+b) =a(2006-2000) =a(2006-2000) b(2005-2000) =30abb(2005-2000) =30ab 5

5、向上教學(xué) 解法三解法三：由題意知由題意知 a a2 2 +2000a+1=0 +2000a+1=0； b b2 2 +2000b+1=0 +2000b+1=0 a a2 2 +1=- 2000a; b +1=- 2000a; b2 2 +1=- 2000b +1=- 2000b （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = =（2006a - 2000a)2006a - 2000a)（2005b - 2000b) 2005b - 2000b) = =6a6a5b=30ab5b=30ab 6向上教學(xué) 題題2 2： 已知已知:等腰三角形的

6、兩條邊等腰三角形的兩條邊a,b是方程是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,另另 一條邊一條邊c=1， 求求:k的值。的值。 7向上教學(xué) 題題3 3：已知關(guān)于已知關(guān)于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+3x+1-m=0+3x+1-m=0 （1 1）請(qǐng)為）請(qǐng)為m m選取一個(gè)你喜愛(ài)的數(shù)值，使方程選取一個(gè)你喜愛(ài)的數(shù)值，使方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 （2）設(shè)）設(shè)x1 1,x2 2是（是（1）中方程的兩個(gè)根，不解）中方程的兩個(gè)根，不解方程方程 求：求：（x1 1-2）（）（x2 2 2） （x1 1- x2 2) 2 2 （3）請(qǐng)用（）請(qǐng)用（

7、1）中所）中所選取的選取的m m值，值，因式分解：因式分解：x2 2+3x+1-m （4）若已知）若已知x1 12 2+ x2 22 2=10，求此時(shí)，求此時(shí)m的值。的值。 （5）問(wèn)：是否存在符合條件的）問(wèn)：是否存在符合條件的m，使得，使得x1 12 2+ x2 22 2=4？ 若存在，求出若存在，求出m，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 8向上教學(xué) 題題4 4：已知已知是方程是方程x2x70的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。求的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。求 34的值。的值。 解法解法1 、是方程是方程x2x70的兩實(shí)數(shù)根的兩實(shí)數(shù)根 270 270 且且2 7272 34723（72）4282（ ）282（2）32

8、 9向上教學(xué) 解法2 由求根公式得12 12 34 （12 ）23(12 )4(12 ) 943(9448)32 22 222 10向上教學(xué) 解法3 由已知得：2 7 （）218 令34A 34B AB4（）4（）4184（2） 64 AB2()4()2() ()4() 0 得：2A64 A32 11向上教學(xué) 題題5 5：已知已知x1、x2是方程是方程x2x90的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式。x13 7x223x266的值。的值。 解：x1、x2是方程x2x90的兩根 x1x21 且x12x190 x22x290 即 x12x19 x22x29 x137x223x266 x1(

9、x19)7(x29)3x266 x129x110 x23 x199x110 x23 10(x1x2)616 12向上教學(xué) 題題6 6：已知已知aa210，bb210，ab，求，求aba b的值的值 分析分析：顯然已知二式具有共同的形式：x2x10 于是a和b可視為該一元二次方程的兩個(gè)根再觀察 待求式的結(jié)構(gòu)，容易想到直接應(yīng)用韋達(dá)定理求解 解解：由已知可構(gòu)造一個(gè)一元二次方程x2x1=0， 其二根為a、b 由韋達(dá)定理，得ab1，ab1 故abab2 13向上教學(xué) 題題7 7：若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)x、y、z滿足滿足x6y，z2xy9 求證求證xy 證明證明：將已知二式變形為xy6，xyz29 由韋達(dá)定理知x、y是方程u26u(z29)0的兩個(gè)根 x、y是實(shí)數(shù)，364z2360 則z20，又z為實(shí)數(shù)， z20，即0 于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy 14向上教學(xué) 由已知二式，易知x、y是t23t80的兩個(gè)根， 由韋達(dá)定理 可得。 15向上教學(xué) 題題9 9：已知方程已知方程x2pxq0的二根之比為的二根之比為1 2，方程，方程 的判別式的值為