隨機(jī)過程蒙特卡羅法的原理和應(yīng)用

1、隨機(jī)過程期末論文姓名：韓江平 學(xué)號(hào)：12015001107 專業(yè)：物理電子蒙特卡羅計(jì)算方法基本簡(jiǎn)介：蒙特卡羅方法（MonteCarlomethod），也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方法?？捎糜诟鞣N非線性系統(tǒng)的分析與仿真，由于計(jì)算量大和需要產(chǎn)生大量隨機(jī)數(shù)，一般都會(huì)使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量模擬仿真?；舅枷耄寒?dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)是的量時(shí)，通過某種實(shí)驗(yàn)的方法，得到該事件

2、發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值。以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。1、工作過程蒙特卡羅方法的解題過程可以歸結(jié)為三個(gè)主要步驟:構(gòu)造或描述概率過程;實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣;建立各種估計(jì)量。(1)構(gòu)造或描述概率過程對(duì)于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題，如粒子輸運(yùn)問題，主要是正確描述和模擬這個(gè)概率過程，對(duì)于本來不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題，比如計(jì)算定積分，就必須事先構(gòu)造一個(gè)人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。(2) 實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣 構(gòu)造了概率模型以后，由于

3、各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)，就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實(shí)驗(yàn)的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。最簡(jiǎn)單、最基本、最重要的一個(gè)概率分布是(0，1)上的均勻分布(或稱矩形分布)。隨機(jī)數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個(gè)簡(jiǎn)單子樣，也就是一個(gè)具有這種分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的問題，就是從這個(gè)分布的抽樣問題。在計(jì)算機(jī)上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機(jī)數(shù)，或偽

4、隨機(jī)數(shù)序列。不過，經(jīng)過多種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，它與真正的隨機(jī)數(shù)，或隨機(jī)數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來使用。由已知分布隨機(jī)抽樣有各種方法，與從(0,1)上均勻分布抽樣不同，這些方法都是借助于隨機(jī)序列來實(shí)現(xiàn)的，也就是說，都是以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)為前提的。由此可見，隨機(jī)數(shù)是我們實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。(3)建立各種估計(jì)量一般說來，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后，我們就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問題的解，我們稱它為無偏估計(jì)。建立各種估計(jì)量，相當(dāng)于對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問題的解2、 應(yīng)用領(lǐng)域蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)(如粒

5、子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算、核工程)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)問題的日趨復(fù)雜，蒙特卡羅方法的應(yīng)用也越來越廣泛。它不僅較好地解決了多重積分計(jì)算、微分方程求解、積分方程求解、特征值計(jì)算和非線性方程組求解等高難度和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算問題，而且在統(tǒng)計(jì)物理、核物理、真空技術(shù)、系統(tǒng)科學(xué)、信息科學(xué)、公用事業(yè)、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)，可靠性及計(jì)算機(jī)科學(xué)等廣泛的領(lǐng)域都得到成功的應(yīng)用。3、 方法優(yōu)缺點(diǎn)蒙特卡羅法在具體的工作中主要由兩部分構(gòu)成：第一部分是需要產(chǎn)生某一概率分布的隨機(jī)變量。第二部分是用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)字特征估計(jì)出來，從而得到實(shí)際問題的數(shù)值解。優(yōu)點(diǎn)：1、能夠比較逼真的描述具有隨機(jī)性質(zhì)

6、的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程。2、 受幾何條件限制小。3、 收斂速度與問題的維度無關(guān)。4、 具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案和多個(gè)未知數(shù)所求量的能力。5、 誤差容易確定。6、 程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。缺點(diǎn)：1、收斂速度慢。2、 誤差具有概率性。3、 在粒子輸運(yùn)過程中，計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。具體應(yīng)用 由于蒙特卡羅法是用于隨機(jī)輸入非線性系統(tǒng)性能的統(tǒng)計(jì)分析。因此是一種概率統(tǒng)計(jì)，接下來具體介紹一下我所了解的幾種蒙特卡羅法的具體應(yīng)用。1、 求解不規(guī)則圖形的面積在求解一些非線性方程在某一區(qū)間的積分的時(shí)候，也即求解該方程與坐標(biāo)軸所圍成的面積的時(shí)候，往往無法求解，而蒙特卡羅法則可以很好地解決這個(gè)問題，此方法需要大量的產(chǎn)生

7、隨機(jī)數(shù)。首先，用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)矩形將所求的不規(guī)則圖形包含住，假設(shè)矩形面積為A，離原點(diǎn)最遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)此時(shí)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生大量的隨機(jī)坐標(biāo)(s，t)，0sm,0t25才可近似作為大樣本，采用上述的參數(shù)估計(jì)方法。以上為在復(fù)雜武器系統(tǒng)后期進(jìn)行非線性系統(tǒng)的模擬仿真，通過蒙特卡羅法來得到系統(tǒng)性能的分析，來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性等方面。3、蒙特卡羅法模擬光子和電子(Na(Tl)晶體對(duì)光子響應(yīng)函數(shù)計(jì)算光子和電子的耦合輸運(yùn)) 確定Na(Tl)晶體對(duì)光子的響應(yīng)函數(shù)是光子光譜學(xué)中的一個(gè)重要問題，為了把實(shí)驗(yàn)測(cè)得的多能光子脈沖高度譜分解成單色光子脈沖高度譜，需要把Na(Tl)晶體對(duì)光子的響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行刻度。 由于光子和探測(cè)器內(nèi)物質(zhì)

8、發(fā)生反應(yīng)后，產(chǎn)生次級(jí)光子和電子，而電子和正電子在運(yùn)輸過程中又會(huì)產(chǎn)生光子，這種光子和電子耦合運(yùn)輸過程是非常復(fù)雜的，用一般數(shù)值方法難以解決，蒙特卡羅法能夠在較少近似的情況下，真實(shí)的模擬這種復(fù)雜的物理過程，因而該方法成為計(jì)算此類問題的有效工具。蒙特卡羅法模擬光子和電子的步驟使用蒙特卡羅法模擬初始光子及其所有次級(jí)光子和電子的軌道，計(jì)算相應(yīng)函數(shù)，能量沉積譜和探測(cè)效率。1、 光子的模擬步驟（1） 光子由源出發(fā)，入射到探測(cè)器，由于從源各向同性，發(fā)射的光子擊中探測(cè)器的數(shù)量不多，為提高抽樣效率，在絕對(duì)坐標(biāo)系下，以r=(0,0,)為球心，以R=為半徑，做一個(gè)包含探測(cè)器的輔助球，首先確定擊中該球的光子，然后再?gòu)闹羞x

9、取擊中探測(cè)器的光子。（2） 光子輸運(yùn)，確定碰撞點(diǎn)的位置，對(duì)于初始光子，使用首次限制碰撞技巧，限制其在探測(cè)器內(nèi)與原子核首次發(fā)生作用，同時(shí)引入權(quán)重糾偏因子 其中u（E）、LI分別為光子沿其運(yùn)動(dòng)方向經(jīng)過的第i個(gè)介質(zhì)區(qū)域 的衰減系數(shù)和輸運(yùn)距離。對(duì)于初始光子的非首次碰撞及次級(jí)光子，采用一般方法輸運(yùn)，如光子逃出系統(tǒng)，其歷史結(jié)束，否側(cè)發(fā)生碰撞。 （3）如光子在探測(cè)器內(nèi)與原子核發(fā)生作用，確定作用類型。 （4）如發(fā)生光電效應(yīng)，將K層的電子結(jié)合能EK 累加到沉積能量記錄單元中去確定光電子的能量和運(yùn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)向電子模擬。 （5）如發(fā)生康普頓散射，確定光子散射后的能量和運(yùn)動(dòng)方向，存儲(chǔ)起來，計(jì)算康普頓電子的能量和運(yùn)動(dòng)方向

10、，轉(zhuǎn)向電子模擬。 （6）如發(fā)生對(duì)生成，分別計(jì)算電子、正電子的能量和運(yùn)動(dòng)方向，轉(zhuǎn)向電子模擬。 （7）如發(fā)生三產(chǎn)生作用，確定反沖電子的能量，將其累加到沉積能量記錄單元中，轉(zhuǎn)向步驟6。二、電子、正電子的模擬（1）用散射關(guān)系式計(jì)算能量為E0的電子或正電子的射程，以及軔致光子的數(shù)目n，如果n不是整數(shù)，用隨機(jī)抽樣方法確定軔致光子的個(gè)數(shù)K，即：K=n+1 當(dāng)n-nK=n 其他表示取整，如果K1，在電子射程中，均勻抽取K個(gè)軔致光子產(chǎn)生時(shí)該電子所走的軌跡長(zhǎng)度，從小到大排列好。（2） 對(duì)于正電子，計(jì)算飛行湮沒的概率P，并以概率P發(fā)生飛行湮沒，同時(shí)確定發(fā)生飛行湮沒時(shí)的能量EP。（3） 如果電子或正電子的能量小于某一

11、確定值，引入射程截?cái)啵瑢?duì)其進(jìn)行直線處理，即，計(jì)算電子射程及其到達(dá)區(qū)域邊界的距離，并判別電子在該區(qū)域內(nèi)死亡或者逃脫，如果電子射程小于到達(dá)邊界距離，則電子死亡，否則逃脫，逃脫時(shí)，根據(jù)能量射程關(guān)系式計(jì)算出電子逃出該區(qū)域時(shí)的能量，進(jìn)入新區(qū)域，重復(fù)該過程，直到電子離開探測(cè)器。對(duì)于正電子，在探測(cè)器死亡時(shí)，發(fā)生湮沒，產(chǎn)生兩個(gè)光子，存儲(chǔ)起來，轉(zhuǎn)向步驟7。（4） 如果電子或正電子能量大于E*進(jìn)行多次散射，假設(shè)第n次散射后的能量為En，第n+1次散射的能量為En+1=KEn。利用射程關(guān)系式計(jì)算出輸運(yùn)長(zhǎng)度L=LN-LN+1。其中Ln為En時(shí)的的射程。如果L大于電子到區(qū)域邊界的距離，則電子離開區(qū)域。計(jì)算離開時(shí)的能量，

12、進(jìn)入新的區(qū)域或者離開探測(cè)器，否側(cè)，進(jìn)入n+1的狀態(tài)，轉(zhuǎn)向3。（5） 對(duì)于任何情況的電子（直線處理或多次散射），均依照電子所走過的軌跡長(zhǎng)度總和確定是否有軔致光子產(chǎn)生，如有，確定軔致光子能量，位置和運(yùn)動(dòng)方向，存儲(chǔ)起來。在沒有軔致光子的產(chǎn)生情況下，沉積能量不考慮軔致光子能量這一部分。（6） 對(duì)于正電子，在多次散射中及可能發(fā)生飛行湮沒的情況下，當(dāng)電子能量Ep時(shí)。發(fā)生飛行湮沒，正電子消失，產(chǎn)生兩個(gè)光子，將他們存儲(chǔ)起來。（7） 在電子和正電子模擬結(jié)束后，將存儲(chǔ)的光子取出，轉(zhuǎn)向光子的模擬，存儲(chǔ)的全部次級(jí)光子模擬結(jié)束，一個(gè)由源發(fā)出的光子的全部歷史結(jié)束，根據(jù)其沉積總能量記錄對(duì)能量沉積譜的貢獻(xiàn)。 由整個(gè)光子、電子的模擬步驟來看，兩種粒子的耦合輸運(yùn)問題模擬很復(fù)雜，模擬過程單位需要統(tǒng)一?？偨Y(jié) 總的來說，蒙特卡羅法在解決非線性復(fù)雜問題的模擬仿真上面很方便，在解決每個(gè)具體問題時(shí)，首先要搞清楚整個(gè)系統(tǒng)的各個(gè)部分構(gòu)