河南省初中數(shù)學競賽預賽試題及答案

1、 全國初中數(shù)學競賽預賽試題及參考答案（競賽時間：2014年3月2日上午9：00-11：00）一、選擇題（共6小題，每小題6分，共36分） 以下每小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是準確的. 請將準確選項的代號字母填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1若是最大的負整數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)，則的值為【 】（A）2013 （B）2014 （C）2015 （D）0【答】D 解：最大的負整數(shù)是1，=1；絕對值最小的有理數(shù)是0，=0；倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)是1，=1.=0.2. 已知實數(shù)滿足則代數(shù)式的值是【 】（A） （B）3 （C） （D

2、）7【答】A解：兩式相減得3如圖，將表面展開圖（圖1）還原為正方體，按圖2所示擺放，那么，圖1中的線段MN在圖2中的對應線段是【 】（A） （B） （C） （D） （第3題圖） 【答】C解：將圖1中的平面圖折成正方體，MN和線段c重合.不妨設圖1中完整的正方形為完整面，AMN和ABM所在的面為組合面，則AMN和ABM所在的面為兩個相鄰的組合面，比較圖2，首先確定B點，所以線段d與AM重合，MN與線段c重合.4. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列7個代數(shù)式，中，其值為正的式子的個數(shù)為【 】（第4題圖）（第5題圖）（A）2個 （B）3個 （C）4個 （D）4個以上 【答】C解：由圖象可得：，.拋

3、物線與軸有兩個交點，.當=1時，即.當=時，即.從圖象可得，拋物線對稱軸在直線=1的左邊，即，.所以7個代數(shù)式中，其值為正的式子的個數(shù)為4個.5. 如圖，RtOAB的頂點O與坐標原點重合，AOB=90，AO=2BO，當A點在反比例函數(shù) （x0）的圖象上移動時，B點坐標滿足的函數(shù)解析式為【 】 （A） （x0） （B）（x0） （C） （x0） （D）（x0）【答】B解：如圖，分別過點分別做軸的垂線，那么，則，故.6如圖，四邊形ABHK是邊長為6的正方形，點C、D在邊AB上，且AC=DB=1，點P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分別

4、為MN、QR的中點，連接EF，設EF的中點為G，則當點P從點C運動到點D時，點G移動的路徑長為【 】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B解：設KH中點為S，連接PE、ES、SF、PF、PS，可證明四邊形PESF為平行四邊形，G為PS的中點, 即在點P運動過程中，G始終為PS的中點，所以G的運行軌跡為CSD的中位線,CD=ABACBD=611=4，點G移動的路徑長為=2.二、填空題（共6小題，每小題6分，共36分）7已知，化簡得 .【答】解：， 原式=.8. 一個不透明的袋子中有除顏色外其余都相同的紅、黃、藍色玻璃球若干個，其中紅色玻璃球有6個，黃色玻璃球有9個，已知從袋子中隨機摸出一

5、個藍色玻璃球的概率為，那么，隨機摸出一個為紅色玻璃球的概率為 . 【答】解：設口袋中藍色玻璃球有個，依題意，得，即=10，所以P（摸出一個紅色玻璃球）=.9. 若，則= .【答】8解：，.則，即.10如圖，在RtOAB中，AOB=30，AB=2，將RtOAB繞O點順時針旋轉90得到RtOCD，則AB掃過的面積為 .（第10題圖）【答】解：RtOAB中，AOB=30，AB=2， AO=CO=，BO=DO=4，陰影部分面積= =.11如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是AD上一個動點，把BAE沿BE向矩形內部折疊，當點A的對應點A1恰落在BCD的平分線上時，CA1= .【答】 解：過

6、A1作A1MBC，垂足為M，設CM=A1M=x，則BM=4x，在RtA1BM中，=，x =A1M=，在等腰RtA1CM中，C A1=.12已知a、b、c、d是四個不同的整數(shù)，且滿足a+b+c+d =5，若m是關于x的方程（xa）（xb）（xc）（xd）=2014中大于a、b、c、d的一個整數(shù)根，則m的值為 .【答】20解：（ma）（mb）（mc）（md）=2014，且a、b、c、d是四個不同的整數(shù)，因為m是大于a、b、c、d的一個整數(shù)根，（ma）、（mb）、（mc）、（md）是四個不同的正整數(shù). 2014=121953，（ma）+（mb）+（mc）+（md）=1+2+19+53=75.又a+b

7、+c+d =5，m =20.三、解答題（第13題14分，第14題16分，第15題18分，共48分）13.某學校為九年級數(shù)學競賽獲獎選手購買以下三種獎品，其中小筆記本每本5元，大筆記本每本7元，鋼筆每支10元，購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍，共花費346元，若使購買的獎品總數(shù)最多，則這三種獎品的購買數(shù)量各為多少？解：設購買小筆記本x本，大筆記本y本，鋼筆z支，則有，.易知0x69，0y49，0z34, 4分，即.x，y，z均為正整數(shù)，0，即0z14z只能取14，9和4. 8分當z為14時， =2，=28. .當z為9時， =26，=18. .當z為4時， =50，=8. .綜上所述，若使購

8、買的獎品總數(shù)最多，應購買小筆記本50本，大筆記本8本，鋼筆4支. 14分14. 如圖，在矩形ABCD中，AD=8，直線DE交直線AB于點E，交直線BC于F，AE=6. （1）若點P是邊AD上的一個動點（不與點A、D重合），設DP為x,四邊形AEHP的面積為y,試求y與x的函數(shù)解析式； （2）若AE=2EB. 求圓心在直線BC上，且與直線DE、AB都相切的O的半徑長； 圓心在直線BC上，且與直線DE及矩形ABCD的某一邊所在直線都相切的圓共有多少個？（直接寫出滿足條件的圓的個數(shù)即可.）14、解：（1）在Rt中，5分（2）.7分若與直線DE、AB都相切，且圓心在AB的左側，過點作于，則可設. 解得

9、10分若與直線DE、AB都相切，且圓心在AB的右側，過點作于，則可設解得即滿足條件的圓的半徑為或6.13分6個.16分15. 如圖1，等腰梯形OABC的底邊OC在x軸上，ABOC，O為坐標原點，OA = AB =BC，AOC=60，連接OB，點P為線段OB上一個動點，點E為邊OC中點. （1）連接PA、PE，求證：PA=PE； （2）連接PC，若PC+PE=，試求AB的最大值；（3）在（2）在條件下，當AB取最大值時，如圖2，點M坐標為（0，1），點D為線段OC上一個動點，當D點從O點向C點移動時，直線MD與梯形另一邊交點為N，設D點橫坐標為m，當MNC為鈍角三角形時，求m的范圍.解：（1）證明：如圖1，連接AE.5分 (2)PC+PE=，PC+PA=.顯然有OB=ACPC+PA=.7分在RtBOC中,設AB=OA=BC=x，則OC=2x，OB=，2.即AB的最大值為2. 10分 (3) 當AB取最大值時，AB=OA=BC=2，OC=4. 分三種情況討論：當N點在OA上時，如圖2，若CNMN時，此時線段OA上N點下方的點（不包括N、O）均滿足MNC為鈍角三角形.過N作NFx軸，垂足為F，A點坐標為（1，），可設N點坐標為（，），則DF=am，NF=，F(xiàn)C=