正方形的判定方法

1、第十八章第十八章 平行四邊形平行四邊形 18.2.3 18.2.3 正方形的判定定理正方形的判定定理 株潭中學(xué)數(shù)學(xué)教研組株潭中學(xué)數(shù)學(xué)教研組 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo): : 1.了解并掌握正方形的多種了解并掌握正方形的多種 判定方法判定方法. 2. 會(huì)用正方形的判定解決實(shí)會(huì)用正方形的判定解決實(shí) 際問題際問題. 一個(gè)角是直角一個(gè)角是直角 有一個(gè)角是有一個(gè)角是直角直角且一組且一組鄰邊相等鄰邊相等的的平行平行四邊形叫做四邊形叫做正方形正方形 正方形正方形 平行四邊形平行四邊形 正方形的正方形的 兩條對(duì)角線互相垂直平分兩條對(duì)角線互相垂直平分 且相等且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 正方形的對(duì)

2、邊平行且相等正方形的對(duì)邊平行且相等 正方形的四個(gè)角都是直角正方形的四個(gè)角都是直角 邊邊 對(duì)角線對(duì)角線 角角 正方形的定義與性質(zhì)正方形的定義與性質(zhì) 正方形的性正方形的性 質(zhì)質(zhì) 且一組鄰邊相等且一組鄰邊相等 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): : 你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出一種正方形你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出一種正方形 的判定方法嗎？的判定方法嗎？ 邊相等 有一組鄰 動(dòng)手操作：動(dòng)手操作：你能否利用手中的矩形白紙裁你能否利用手中的矩形白紙裁 出一個(gè)正方形呢？請(qǐng)你與同學(xué)交流一下，你出一個(gè)正方形呢？請(qǐng)你與同學(xué)交流一下，你 能說說矩形與正方形的關(guān)系嗎？能說說矩形與正方形的關(guān)系嗎？ 總結(jié)：矩形總結(jié)：矩形+（ ）=正方形正方形 有一

3、組鄰邊相等的矩形是有一組鄰邊相等的矩形是正方形正方形。 有一個(gè)角是直角的菱形是有一個(gè)角是直角的菱形是正方形正方形。 是直角 有一個(gè)角 想一想：想一想：可以活動(dòng)的菱形模型能變成一個(gè)可以活動(dòng)的菱形模型能變成一個(gè) 正方形嗎？如何變？正方形嗎？如何變？ 總結(jié)：菱形總結(jié)：菱形+（ ）=正方形正方形 你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出一種正方形你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出一種正方形 的判定方法嗎？的判定方法嗎？ 有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊 形叫做形叫做正方形正方形。 邊相等邊相等 有一組鄰有一組鄰 是直角是直角 有一個(gè)角有一個(gè)角 思考：思考：如果是平行四邊形呢？如果

4、是平行四邊形呢？ 總結(jié)：總結(jié)： （ ） + （ ）+ 平行四邊形平行四邊形 = 正方形。正方形。 邊相等邊相等 有一組鄰有一組鄰 是直角是直角 有一個(gè)角有一個(gè)角 你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出一種正方形的你能從這個(gè)變化過程中總結(jié)出一種正方形的 判定方法嗎？判定方法嗎？ 有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角 的平行四邊形是正方形。的平行四邊形是正方形。 1.定義法：定義法： 2.矩形法和菱形矩形法和菱形法：法： 1）一組鄰邊相等的矩形是正方形）一組鄰邊相等的矩形是正方形 2）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形 正方形的判定方法：正方形的判定方法：

5、1.判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確 練習(xí)：練習(xí)： 1 1）. .對(duì)角線相等的菱形是正方形對(duì)角線相等的菱形是正方形 2 2）. .對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 3 3）. .對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 4 4）. .四條邊都相等的四邊形是正方形四條邊都相等的四邊形是正方形 5 5）. .四個(gè)角都相等的四邊形是正方形四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 6 6）. .四邊相等，有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形四邊相等，有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形. . （對(duì)）（對(duì)） （錯(cuò)）（錯(cuò)） （對(duì)）（對(duì)） （錯(cuò)）（錯(cuò)） （錯(cuò)）（錯(cuò)）

6、（錯(cuò)）（錯(cuò)） 下列說法正確的是（下列說法正確的是（ ） A.A.四條邊相等的四邊形是正方形四條邊相等的四邊形是正方形 B.B.兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 C.C.兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形 D.D.兩條對(duì)角線分別平分一組對(duì)角的四邊形是正方形兩條對(duì)角線分別平分一組對(duì)角的四邊形是正方形 練習(xí)：練習(xí)： 2.看一看，選一選看一看，選一選. B B 1.1.已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，ACBACB9090， CDCD平分平分ACBACB，DEBCDEBC， DFACDFAC，垂足分，垂足分 別

7、為別為E E、F F 求證：求證： 四邊形四邊形CFDECFDE是正方形是正方形 知識(shí)應(yīng)用：知識(shí)應(yīng)用： A A F F C C D D B BE E .由已知得矩形；由已知得矩形； .然后證一組鄰邊相等；然后證一組鄰邊相等； .再得正方形；再得正方形； 證題思路分析證題思路分析 從條件分析從條件分析 證明：證明： DECDECECFECFCFDCFD9090， 四邊形四邊形CFDECFDE是矩形是矩形 . . CD CD平分平分ACBACB， DEBCDEBC， DFACDFAC， DEDEDFDF 矩形矩形CFDECFDE是正方形是正方形 過程欣賞過程欣賞： （第一步）（第一步） （第二步）

8、（第二步） （第三步）（第三步） A A F F C C D D B BE E A B C D C/ A/ B/ D/ . .由已知證三角形全等；由已知證三角形全等； . .然后證菱形；然后證菱形； . .再證直角；再證直角； . .最后證正方形最后證正方形 證題思路分析證題思路分析 從條件分析從條件分析 2.2.已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)AA、BB、CC、DD分分 別是正方形別是正方形ABCDABCD四條邊上的點(diǎn)，并且四條邊上的點(diǎn)，并且 AA=BB=CC=DDAA=BB=CC=DD 求證：四邊形求證：四邊形ABCDABCD是正方形是正方形 知識(shí)應(yīng)用：知識(shí)應(yīng)用： 證明：證明：四邊形四邊形AB

9、CD是正方形是正方形 又又AA=BB=CC=DD A=B=C=D=90 四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形 又又ADA=BAB， AAD+ADA=90 DAB=180（AAD+BAB）=90 AB=BC=CD=DA DA=AB=BC=CD AAD BBA CCB DDC AAD+BAB=90 菱形菱形ABCD是正方形是正方形 A B C D C/ A/ B/ D/ 過程欣賞過程欣賞： AD=AB=BC=CD，且，且ADA=BAB （第一步）（第一步） （第二步）（第二步） （第三步）（第三步） （第四步）（第四步） 1.1.如圖，在直角三角形中，如圖，在直角三角形中，C=90C=90，A A、B

10、 B的平的平 分線交于點(diǎn)分線交于點(diǎn)D D。DEACDEAC，DFABDFAB。 求證求證: :四邊形四邊形CEDFCEDF為正方形為正方形 AB C D E F G 證明：證明：過點(diǎn)過點(diǎn)D作作DGAB，垂足為，垂足為G DEAC，DFAB DEC= DFC=90 又又 C=90 四邊形四邊形ADFC是矩形是矩形 AD是是CAB的平分線的平分線 DEAC，DGAB DE=DG 同理：同理：DG=DF ED=DF 矩形矩形ADFC是正方形是正方形 知識(shí)鞏固：知識(shí)鞏固： 2.2.已知：如圖，在矩形已知：如圖，在矩形ABCDABCD中，中，AFAF，BHBH，CHCH，DFDF分分 別是各內(nèi)角平分線，

11、別是各內(nèi)角平分線，AFAF和和BHBH交于交于E E，CHCH和和DFDF交于交于G G。 求證：四邊形求證：四邊形EFGHEFGH是正方形是正方形 知識(shí)鞏固：知識(shí)鞏固： A H B F E G C D 過程欣賞過程欣賞： 證明：證明：AFAF、DFDF、BHBH、CHCH分別為分別為BADBAD、 CDACDA、ABCABC、DCBDCB的角平分線的角平分線, , BAE=FAD=45BAE=FAD=45,CDG=FDA=45,CDG=FDA=45 ABE=HBC=45 ABE=HBC=45,DCG=HCB=45,DCG=HCB=45 HEF=AEB=180HEF=AEB=180-ABE-B

12、AE=90-ABE-BAE=90 AFD=180 AFD=180-FAD-FDA=90-FAD-FDA=90 同理可得：同理可得：HGF=90HGF=90,BHC=90,BHC=90 四邊形四邊形EFGHEFGH為矩形為矩形 BAE=CDG,ABE=DCG,AEB=DGC,AB=DCBAE=CDG,ABE=DCG,AEB=DGC,AB=DC AEBAEBDGCDGC AE=DGAE=DG 又又FDA=FAD=45FDA=FAD=45 即即 AF=DFAF=DF EF = AF-AE = DF-DG = GFEF = AF-AE = DF-DG = GF 四邊形四邊形EFGHEFGH是正方形是正方形 A H B F E G C D 5 5種識(shí)種識(shí) 別方法別方法 三個(gè)角是直角三個(gè)角是直角 一個(gè)角是直角一個(gè)角是直角 或或?qū)蔷€相等對(duì)角線相等 一組鄰邊相等一組鄰邊相等 或或?qū)蔷€垂直對(duì)角線垂直 一組鄰邊相等一組鄰邊相等 或或?qū)蔷€垂直對(duì)角線垂直 一個(gè)角是直角一個(gè)角是直角 或或?qū)蔷€相等對(duì)角線相等 一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等 四條邊相等四條邊相等 或或每條對(duì)角線都平分一組對(duì)角每條對(duì)角線都平分一組對(duì)角 四邊形四邊形 平行四邊形平行四邊形 幾種特殊四邊形的判定小結(jié)：幾種特殊四邊形的判定小結(jié)： 矩形