平面向量地數(shù)量積地性質(zhì)

1、靜童互動探究就號難期生丘動挫”崩能個 J平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)【問題導(dǎo)思】已知兩個非零向量a, b, &為a與b的夾角.1. 若ab= 0,則a與b有什么關(guān)系？【提示】a b= 0, aM0,0,二 cos 0= 0, 0= 90, a丄b.2. aa等于什么？【提示】|a| |a|cos 0 = |a|分配律：(a + b) c= a c+ b c； 數(shù)乘向量結(jié)合律：對任意實數(shù) 入，Xa b) = (?a) b = a ( X).(1) 如果e是單位向量，則 a e= e a= |a|cos a, e(2) a丄b? a b= 0;(3) a a= |a|2 即 |a|= a a；a b(4

2、) cos a,工0)；(5) |a b|變戲訓(xùn)練1. (2013玉溪高一檢測)已知|a|= 6，|b| = 3, a b= 12,則a在b方向上的射影的數(shù)量是()A. 4B.4C. 2D.2a b 122【解析】cos = 麗=贏=-3,向量a在向量b方向上的射影的數(shù)量為 |a|cos= 6X3 = 4，故選 A.【答案】 A2. 已知|a| = 6， e為單位向量，當(dāng)向量a、e之間的夾角0分別等于45 90 135時，分別求出a e及向量a在e方向上的正射影的數(shù)量.【解】 當(dāng)向量a和e之間的夾角0分別等于45 90 135時，|a| |e|cos 45 =6X 1子=3 2;|a| |e|

3、cos 90 =6X 1 X 0= 0；|a|e|cos 135 =6X 1X (-2?)= 3,2.當(dāng)向量a和e之間的夾角0分別等于45 90, 135時，a在e方向上的正 射影的數(shù)量分別為：|a|cos 0= 6Xcos 45 2;|a|cos 0= 6xcos 90 0;”皿與向量模有關(guān)的問題、/Sil已知向量a與b的夾角為120,且|a|= 4, |b|= 2，求：(1)|a|a|cos 0= 6 x cos 135 3 2.+ b|;(2)|(a+ b) ( 2b)|.【思路探究】利用a a= a2或|a|= .a2求解.【自主解答】由已知 a b= |a|b|cos 0= 4x2x

4、cos 120 4, a2= |af= 16,2 2b = |b| = 4.(1) v |a+ b|2= (a + b)2 = a2 + 2a b+ b2= 16+ 2x ( 4) + 4= 12,二 |a+ b|= 2 3.2 2(2) v (a+ b) ( 2b) = a a b 2b = 16 ( 4) 2x4= 12,二 |(a+ b) (a 2b)|= 12.I規(guī)律方法I1. 此類求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與數(shù)量積聯(lián)系 .2利用a a=a2= |af或|a|= a2，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.a h訓(xùn)練設(shè)&、e2是夾角為45的兩個單位向量，且 a= ei + 2e2,

5、b= 2& + e2,試求|a + b|的值.【解】I a+ b= (ei + 2e?)+ (2e + e2)= 3(e + e2), |a+ b|= |3(e1 + e2)| = 3|e1 + e?|= 3p(e1 + e f=3 . e1 + 2e1 e2 + e2 = 3 2+ 2.與向量夾角有關(guān)的問題(2014濟(jì)南高一檢測)若向量a,b,c兩兩所成的角均為120,且|a|= 1, |b|= 2, |c| = 3,求向量a+ b與向量a+ c的夾角0的余弦值.【思路探究】先利用已知條件，分別求出(a+ b) (a + c), |a + b|和|a + c|的大小，再根據(jù)向量的夾角公式求解

6、【自主解答】I (a+ b) (a+ c) = a2 + a b+ a c + be9 =1+ 1X 2X cos 120 + 1 x 3X cos 120 2X 3X cos 120 =空,|a+ b|= ia+ b =、ja + 2a b+ b*忙 + 2X 1X 2X cos 120 22 =晶|a+ c|= a2 + 2a c+7,9n(a+ b)(a+ c) 23/21-cos 0= 一 _ ,|a+ b|a+ c| 3x714所以向量a+ b與a+ c的夾角0的余弦值是一3 2114 .I規(guī)律方法I1求向量a, b夾角的流程圖I1 I1a b I1求|a|, |b 計算 a b計算

7、 cos 0=-結(jié)合180,求解 0| |a|b| r2. 當(dāng)題目中涉及向量較多時，可用整體思想代入求值，不必分別求值，以避 免復(fù)雜的運算.變耳訓(xùn)練(1)(2014遼寧師大附中高一檢測)若向量a與b不共線，a b0,且c= a則a與c的夾角為(nA.0B.6nC.3nD.2(2)(2014貴州省四校高一聯(lián)考角是()若 |a| = 2, |b| = 4 且(a+ b)丄 a,貝U a 與 b 的夾2n 代亍nB.34 nCE【解析】(1)v a c= a a囂丿b =2nD.2na222ab a b= a a = 0,又 a 0,ncm0,. a丄c, a與c的夾角為2，故選D., 2 2（2）

8、因為（a+ b）丄a，所以（a+ b） a= a + a b= 0, 即卩 a b= a = 4，所以a b 412 ncos = 麗7廠24 =一，又因 0 , n,所以a與b的夾角是, 故選A.【答案】D (2)A升K 1B P3 阱 3巧育厭解疑辨俱避易我易誤辨析混淆兩向量夾角為鈍角與兩向量數(shù)量積為負(fù)之間關(guān)系致誤典例 設(shè)兩向量ei, e2滿足：斜| = 2,血|= 1, ei, e的夾角為60.若向量 2tei + 7e2與向量ei + te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.1【錯解】由已知得& e2 = 2x ix二1,于是(2tei + 7e2)(ei +1e2)= 2te 2 2

9、 2(2t ei + 7e2)(e +1 e2) = 2te + (2t + 7)ei e2+ 7t 2 = 2t + 15t+ 7.因為2tei + 7e2與ei + te2的夾角為鈍角，2 1所以 2t + 15t+ 70,解得7t 但是，當(dāng)2tei + 7e2與ei + te2異向共線時，它們的夾角為180,也有2t2 + 15t+ 70,這是不符合題意的.此時存在實數(shù)人使得 + (2t2 + 7)ei e2 + 7te2 = 2t2 + 15t+ 7.因為2tei + 7e2與ei + te2的夾角為鈍角，所以 2t?+ 15t+ 70,解得7t.故所求實數(shù)t的取值范圍是一7,弓2 .

10、1. 兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可以為正（當(dāng)a0,0,0 090時），也可以為負(fù)（當(dāng)a 0,0,90 9 180時），還可以為0（當(dāng)a = 0 或 b= 0 或 A 90時）.2. 數(shù)量積對結(jié)合律一般不成立，因為 （a b） c= |a|b|cos c是一個與c 共線的向量，而（a c） b= |a|c|cosa，c b是一個與b共線的向量，兩者一般不 同3. a在b方向上的射影與b在a方向上的射影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū) 分.隧堂繚主主工動達(dá)”改捋交謚學(xué) 習(xí)恆I余弦值為.【解析】由 a匸 |a+ 2b|,兩邊平方，得 |a|2= (a+ 2b)2=|a|2 + 4|

11、b|2 + 4a b,a b 一 |bpi所以 a b=- |b|2.又|a匸3|b|,所以 cosa, b=麗廠3 = 3.1【答案】-13. 已知|a| = 4, |b|= 6, a與b的夾角為60則向量a在向量b方向上的射影 是.1【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60 =4X- = 2.【答案】24已知|a匸4, |b|= 5,當(dāng)(1)a/ b; (2)a丄b; (3) a與b的夾角為30時，分別 求a與b的數(shù)量積.【解】當(dāng)a / b時，若a與b同向，貝U A 0a b= |a|b|cos 0 丄4X 5 = 20；若a與b反向，貝U A 180, ab= |a|b|c

12、os 180 =4X 5X (- 1)=-20.當(dāng)a丄b時，=nn a b= |a|b|cos2= 4X 5X 0= 0.當(dāng)a與b的夾角為30時，a b= |a|b|cos 30 = 4X 5X今=10 3.濡下濟(jì) 自馳評估捉”者耘自主測 if K 1一、選擇題1.|= 1, |b| = 2, c= a+ b且 c丄a,則 a 與 b 的夾角為()A.30 B.60 C. 120 D.150 【解析】ca,設(shè)a與b的夾角為0,則(a+ b) a = 0,所以a2 + a b= 0,所以 a2 + |a|b|cos 0= 0,1貝U 1 + 2cos 0= 0,所以 cos 0=女，所以 0=

13、120.故選 C.【答案】C2.若向量a與b的夾角為60, |b| = 4,且(a+ 2b) (a 3b)= 72,則a的模 為()A.2B.4 C.6D.12【解析】T (a+ 2b) (a 3b) = a2 a b 6b2= |af|a| |b|cos 60 6|b|2= |af 2|a| 96= 72,|af 2|a| 24 = 0,二 |a|= 6.【答案】C34ABC 中，ABACV 0,則厶 ABC 是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形-【解析】T AB AC = AB|AC|cos Av 0, cos Av 0. a A是鈍角. ABC是鈍角三角形.

14、【答案】C4. (2014懷遠(yuǎn)高一檢測)已知i與j為互相垂直的單位向量，a= i 2j, b= i + 5且a與b的夾角為銳角，則實數(shù) 入的取值范圍是()A.(， 2)U 2, 1( nD, 2【解析】va b= (i 2j) (i + 5)= 1 2A0,1 5v2，又 a、b 同向共線時，a b0,設(shè)此時 a= kb(k0),貝U i 2j = k(ik= 1,、一2= k 入 = 2,二a、b夾角為銳角時，入的取值范圍是（一X, 2）U 2, 2，故選 a.【答案】A5. （2014皖南八校高一檢測）在厶OAB中，已知0A= 4, OB= 2,點P是AB的垂直平分線I上的任一點，貝U O

15、P AB=()A.6B. 6 C.12D. 121 【解析】 設(shè)AB的中點為M，則OP AB= (OM + MP) AB = OM AB=(OA+ 1 2 2OB) (O B OA) = (OB OA) = 6.故選 B.【答案】 B二、填空題6. (2014北大附中高一檢測)向量a與b的夾角為120 |a|= 1, |b| = 3,則|5ab| =.25 - 10X、丿3- 29= 49,所以 |5a-b|= 7.【解析】因為 a b= |a|b|cos 120 =號，所以 |5a bf = 25a2 10a b+ b2=【答案】77. 已知a丄b, |a| = 2, |b|= 3,且3a

16、+ 2b與2a- b垂直，則 入等于.【解析】：(3a + 2b)丄(2 b)(2 b) (3a + 2b) = 0, 3 22+ (2 入一3)a b 2b2 = 0.又T |a| = 2, |b| = 3, a丄b,-12 2+ (2 入3) X 2X 3X cos 90 18= 0,3 12 2 18 = 0,2= 2.【答案】38. (2014溫州高一檢測)已知a是平面內(nèi)的單位向量，若向量 b滿足b( a b)=o,則|b|的取值范圍是.【解析】設(shè)a, b的夾角為9,由b(a b) = 0, 得 |b| |a|cos B|b 0.解得|b|= 0或|b|=|a|cos A cos其1,

17、所以|b|的取值范圍是0,1.【答案】0,1三、解答題9. 已知向量a、b的長度|a| = 4, |b|= 2.若a、b的夾角為120求|3a 4b|;若|a+ b| = 2,3,求a與b的夾角9【解】(1)a b= |a|b|cos 120 =4 X 2 X = 4.又 |3a 4bJ (3a 4b)2 = 9a2 24a b+ 16b2=9 X 42 24X ( 4)+ 16 X 22 = 304,|3a 4b| = 4,19.(2)v |a+ b|2= (a + b)2 = a2 + 2a b+ b2=42 + 2a b+ 22= (2 3)2,a b 41-a b= 4,cos|a |

18、b 廠 4X 2= 2又 9 0, n. A 310. 已知a丄b,且|a|= 2, |b|= 1,若有兩個不同時為零的實數(shù)k, t，使得a+ (t 3)b與一ka + tb垂直，試求k的最小值.【解】/ ab,. a b= 0,又由已知得a+ (t 3)b ( ka+tb)= 0, ka + t(t 3)b 0.|a|= 2, |b| 1,a 4k + t(t 3) 0.1 2 c、 1329-k 4(t 3t)4(t2 16(t 工 ).故當(dāng)t I時，k取最小值一16.11. (2014 淄博高一檢測)設(shè)向量 a, b滿足 |a| |b| 1,且 |3a 2b| .7.(1)求a與b夾角的

19、大?。磺骯+ b與b夾角的大小;求|3a+ b|3a- b|的值.【解】設(shè) a 與 b 的夾角為 9, (3a- 2b)2 = 9|a|2 + 4|b|212ab= 7,1又|a| |b| ，a b= 2，|a|b|cos A 1 即 cos A n又茨0, n, a a與b的夾角為3.213(2) 設(shè) a+ b與 b 的夾角為 a, t (a+ b) b= b + a b= 1+|a+ b|= , a2 + b2 + 2a b= _3, |b|= 1,3(a+ b) b2 逅-cos a 齊麗,n又a 0 , n, a a+ b與b的夾角為2 2 2(3) (3a+ b)2= 9|a|2 + 6a b+ |b|2= 9+ 3+ 1 = 13,(3a b)2 = 9|a|2 6a b+ |bj 9 3+ 1 = 7,|3a+ b|鳥妬展I打昇施教鬧視曹|3a b|917敖呼備i果資源（教師用書獨具）備選俚I題已知向量a、b不共線，且|2a+ b|= |a + 2b|,求證：(a+ b)丄(a b).【思路探究】證明a+ b與a b垂直，轉(zhuǎn)化為證明a+ b與a b的數(shù)量積為零.【自主解答】v |2a+ b|=|a+